文档内容
{#{QQABJQaAggAAQIBAAAgCEwVoCgAQkAGACYgGhBAMIAAAiANABCA=}#}{#{QQABJQaAggAAQIBAAAgCEwVoCgAQkAGACYgGhBAMIAAAiANABCA=}#}{#{QQABJQaAggAAQIBAAAgCEwVoCgAQkAGACYgGhBAMIAAAiANABCA=}#}{#{QQABJQaAggAAQIBAAAgCEwVoCgAQkAGACYgGhBAMIAAAiANABCA=}#}湖湘名校教育联合体 年下学期高二 月大联考数学
２０２４ １０
参考答案、提示及评分细则
．【答案】
１ B
【解析】a b ．
＝１×１＋１×(－１)＋０×２＝０
．【答案】
２ B
【解析】由题知 点 在直线l 上 逆时针旋转 直线l 与直线l 垂直 斜率为 所以直线l 方程为
, (０,１) １ , ９０°, ２ １ , －１, ２
x y ．
＋ －１＝０
．【答案】
３ D
【解析】圆C 圆心为 圆C 圆心为 两圆心的距离d ２ ２ r r
１ (０,０), ２ (２,３), ＝ (２－０)＋(３－０)＝ １３,１＝２,２＝３,
知两圆相交 选 ．
１＜ １３＜５, , D
．【答案】
４ C
【解析】因为椭圆的右焦点坐标为 所以λ λ 则λ ．
(２,０), ＞５,－５＝４, ＝９
．【答案】
５ C
【解析】 ABCD四点共面 x y １ x y １
∵ , , , ,∴ ＋ ＋ ＝１,＋ ＝
２ ２
(x y)
xy ＋ ２ １ １ xy １当且仅当x １y １时取得等号 xy的最大值为１．
∵２ ≤２ ＝２× ＝ ,∴２ ≤ ＝ ,＝ ,２
２ １６ ８ ８ ４ ４ ８
．【答案】
６ A
【解析】方法一 如图所示 建立空间直角坐标系
: , ,
棱长均为 AC BD OE
∵ ２∴ ＝ ＝２２, ＝ ２,
A B C P
(２,０,０), (０,２,０), (－ ２,０,０), (０,０,２),
( ) ( )
M ２ ２ N ２ ２
, ,０ , － , ,０
２ ２ ２ ２
( ) PN→ ( )
MN→ PN→ ２ ２ μ ６ ６ ６
＝(－ ２,０,０), ＝ － , ,－ ２ ,＝ PN→ ＝ － , ,－
２ ２ ６ ６ ３
则点M 到直线PN的距离d MN→ ２ PN→ μ２ １５．
＝ ( )－( )＝
３
方法二 连接PM PN MN．PN PM MN 由余弦定理得 PNM ２＋３－３ ６
: , , ＝ ＝ ３, ＝ ２, cos∠ ＝ ＝ ,
２× ２× ３ ６
PNM ３０ 则点M 到直线PN的距离d MN PNM ３０ １５．
sin∠ ＝ , ＝ ×sin∠ ＝ ２× ＝
６ ６ ３
方法三 连接MO 过O作OH PN于H 则线段MH 长就是点M 到直线PN 的距离 MO OH ２
: , ⊥ , ,| |＝１,| |＝
３
MH ２ １５．
| |＝ １＋ ＝
３ ３
高二数学试题参考答案 第 页 共 页
【 １ ( ８ )】
{#{QQABJQaAggAAQIBAAAgCEwVoCgAQkAGACYgGhBAMIAAAiANABCA=}#}．【答案】
７ B
ì
【解析】由题可知fx í
ïï
－
x
,
x
≥０ fa x２ fx 可转化为fa x２ f x fx 在R上单调递
,()＝ïï ,(－ )≥ ２ () (－ )≥ (２ ), ( )
î xx
－ ,＜０
减a x２ x 使得a x２ x恒成立 得到 x２ x 解得x的解集为 ．
,－ ≤２ , ≤ ＋２ , ３≤ ＋２ , :(－∞,－３]∪[１,＋∞)
．【答案】
８ A
【解析】由题可知AO AB ABD为等腰直角三角形． 动点Q在 ACD内运动 BQ 过点B向
２＝２, ＝４,△ ∵ △ , ＝ １０,
AD作垂线 垂足为点M BM 过M 向DC作垂线 垂足为N MN ２ ６６ 点Q在以M 为圆心
, , ＝２２, , , ＝ ＞ ２,∴ ,
１１
为半径的半圆上 点Q的轨迹长度为 ．
２ ,∴ ２π
．【答案】
９ AD
【解析】对于 选项 A １T １１π ５π π T ω 正确
A , ＝２, ＝ － ＝ , ＝π,＝２,A ;
２ １２ １２ ２
( ) ( )
对于 选项 将点 ５π 代入解析得 ５π φ 解得 φ π 错误
B , ,－２ ,－２＝２cos２× ＋ , ＝ ,B ;
１２ １２ ６
k
对于 选项 令 x π k k Z 得x π πk Z 当k 时x π 错误
C , ２ ＋ ＝ π,∈ , ＝－ ＋ ,∈ , ＝０ ,＝－ ,C ;
６ １２ ２ １２
é ù é ù
对于 选项x ê ê π π ú ú x π ê ê ５π π ú ú [ ] 正确．
D ,∈ë－ ,－ û,２ ＋ ∈ë－ ,－ û⊆ －π,０ ,D
２ ６ ６ ６ ６
．【答案】
１０ ABC
【解析】对于 选项 过E M B三点在同一个平面 F在平面外 直线EF与MB为异面直线 正确
A , , , , , ,A ;
EF→ FG→ FG→
对于 选项 可以建系用空间向量表示 也可以在截面正六边形中 利用投影得 １FG→ 故
B , , , FG→ FG→ ＝ , B
２
正确
;
对于 选项 AQ→ AA→ １AC→ AA→ １ AA→ AB→ BC→ 变形得 AQ→ AB→ AD→ AA→ 正确
C , ＝ １＋ １ ＝ １＋ (１ ＋ ＋ ), ４ ＝ ＋ ＋３ １,C ;
４ ４
对于 选项 以点D为坐标原点 DADCDD 分别为xyz轴建系可得 E F G
D , , , , １ ,, , (２,０,１), (１,０,０), (０,２,１),
M 设P t 平面PGM 的法向量n xyz
(２,１,２), (０,,０), ＝(,,),
{n GM→
＝０
由 可求得一个n t t
, ＝(３－ ,２,２－４),
n GP→
＝０
要使EF 面PGM 则n EF→ 且EF 面PGM
∥ , ＝０ ⊄ ;
由n EF→ 解得t 此时EF 面PGM 不合题意 或直接由几何法也可得出 故 错误．
＝０ ＝１, ⊂ , ( ), D
．【答案】
１１ ABD
【解析】对于 选项 圆C的圆心为 半径为 AB R２ d２ 故 正确
A , (１,１), ２, ＝２ － ＝ ６, A ;
对于 选项 圆C x ２ y ２ 设点Pt t 以CP为直径的圆的方程为 x x t
B , :(－１)＋(－１)＝２①, (,－１－ ), ( －１)( － )＋
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【 ２ ( ８ )】
{#{QQABJQaAggAAQIBAAAgCEwVoCgAQkAGACYgGhBAMIAAAiANABCA=}#}y y t 化简为x２ t x y２ ty 得切点弦AB的方程为tx y x
(－１)(＋１＋ )＝０, －(＋１)＋ ＋ －１＝０②,②－① (－ )＋１－
ì
ï
x １
{x y ï ï ＝
－ ＝０ ３
y 与t无关 得 解之得í 正确
－２ ＝０, , , ï ,B ;
x y
１－ －２ ＝０ ïïy １
î ＝
３
( )
对于 选项 在 ABC中 CA CB M 为中点 则CM AB 又直线AB恒过定点E １ １ 所以一定有CM
C , △ , ＝ , , ⊥ , , ,
３ ３
( ) ( ) ( )
ME 即点M 在以CE为直径的圆x x １ y y １ 上 即M 是圆心为C′ ２ ２ 半
⊥ , (－１) － ＋( －１) － ＝０ , , ,
３ ３ ３ ３
径为 ２的圆上的点．又点P 在直线上 故 PM 的最小值为圆C′上的点到直线的最短距离 故 PM
, , min＝
３
２ ２
＋ ＋１
３ ３ ２ ５２ 故 错误
－ ＝ , C ;
２ ３ ６
AC
对于 选项 在 PAC中 ACP ２ 又 PC
D , Rt△ ,cos∠ ＝PC＝PC, ≥
d C到l的距离 ＝ ３２ , 故 cos∠ ACP ≤ ２ ,cos∠ ACB ＝２cos ２ ∠ ACP －１≤
２ ３
１ 所以CA→ CB→ ACB ２ 又CA→ CB→
－ , ＝ ２× ２cos∠ ≤－ ＜０, ＝
９ ９
x y x y xx yy x x y
(１－１,１－１)(２－１,２－１)＝ １ ２＋ １ ２＋２－(１＋ ２＋ １
y 所以xx yy x x y y 故 正确．
＋ ２), １ ２＋ １ ２＋２＜ １＋ ２＋ １＋ ２, D
．【答案】．
１２ ０７
【解析】PA B PA PB PAB ． ． ． ． ．．
( ∪ )＝ ( )＋ ( )－ ( )＝０４＋０５－０４×０５＝０７
．【答案】
１３ ５
【解析】过点M 且与lx y 垂直的直线方程是y x 与l相交于点
(１,－２) :＋２ －２＝０ ＝２ －４,
则点M 关于l的对称点是Q 连接NQ与l交于点P PM PN 的最
(２,０), (３,２), , ＋
小值是 NQ ．
| |＝５
．【答案】５
１４
３
b b (b)２ c２
【解析】由题意 b a ３ ２ ４ 离心率e
,０＜ ＜ ≤ ⇒a≥ ⇒ a ≥ , ＝ a２ ＝
２ ３ ９
a２ b２ b２
－ ５ ５ ．
a２ ＝ １－a２≤ ＝ ①
９ ３
如图 连接 MF NF 因为MF→ NF→ MFN 故四边形
, ２, ２, １ １＝０⇔∠ １ ＝９０°,
MFNF 为矩形．
１ ２
{m n a
在 FMF 中 令 FM m FM n 由定义及勾股定理得 ＋ ＝２ (１) 的平方得m２
Rt△ １ ２ , １ ＝ , ２ ＝ , ,(１) ＋
m２ n２ c２
＋ ＝４ (２)
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【 ３ ( ８ )】
{#{QQABJQaAggAAQIBAAAgCEwVoCgAQkAGACYgGhBAMIAAAiANABCA=}#}m２ n２ c２
n２ mn a２ 代入 式得mn a２ c２ 将 除以 式得 ＋ ４ ．又 MF
＋２ ＝４ , (２) ＝２ －２ (３), (２) (３) , mn ＝ a２ c２ １ ≥
２ －２
m m２ n２ m n m m２ n２
NF 则 ．左边y ＋ １易知在 上单调递增 故y ＋ １
２ １ , n≥２ ＝ mn ＝n＋m＝n＋m [２,＋∞) , ＝ mn ≥２＋ ＝
２
n
c２ c２
５ 所以 ４ ５ 整理得 c２ a２ 所以e ５ ５ 由 得e ５．
, a２ c２≥ , ９ ≥５ , ＝ a２≥ ＝ ②, ①② ＝
２ ２ －２ ２ ９ ３ ３
．【解析】 因为b A a B
１５ (１) (１－cos )＝ ３ sin ,
由正弦定理可得 B A A B． 分
sin (１－cos )＝ ３sin sin ２
又因为B 则 B
∈(０,π), sin ≠０,
( ) ( )
所以 A A．整理得 A π 即 A π １． 分
１－cos ＝ ３sin ２sin ＋ ＝１, sin ＋ ＝ ４
６ ６ ２
( )
因为A 所以A π π ７π 分
∈(０,π), ＋ ∈ , , ５
６ ６ ６
所以A π ５π 所以A ２π． 分
＋ ＝ , ＝ ６
６ ６ ３
在 ABC中a a２ b２ c２ bc A 且b
(２) △ ,＝２７, ＝ ＋ －２ cos , ＝２,
则有 c２ c 解得c 舍去负值 ． 分
２８＝４＋ ＋２ , ＝４( ) ８
方法 由面积有S S S 分
１: △ ABC ＝ △ ABD ＋ △ ACD, １０
１bc BAC １b AD CAD １c AD BAD 分
sin∠ ＝ sin∠ ＋ sin∠ , １２
２ ２ ２
即 AD AD 则AD ４ 线段AD的长是４． 分
２×４＝２ ＋４ , ＝ , １３
３ ３
CD AC
方法 由内角平分线定理有| | | | １
２: DB ＝ AB ＝ ,
| | | | ２
则AD→ １AB→ ２AC→ 分
＝ ＋ , １０
３ ３
AD→ ２ １ c２ ４ b２ ２cb １６ 分
| |＝ × ＋ × － ＝ , １２
９ ９ ９ ９
所以AD ４ 线段AD的长是４． 分
＝ , １３
３ ３
．【解析】 由题意 设圆C的标准方程为x２ y a２ r２ 分
１６ (１) , ＋(－ )＝ , ２
代入点A B 解之得a r 分
(２,０), (１,３), ＝１,＝ ５, ４
故圆C的标准方程为x２ y ２ ． 分
＋(－１)＝５ ６
也可由几何性质法求得线段AB的垂直平分线与y轴的交点 为圆心 再求出半径r 写出标准方
( (０,１) , ＝ ５,
程．
)
解法一 直线AB的方程为 x y AB 分
(２) : ３ ＋ －６＝０, ＝ １０, ８
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【 ４ ( ８ )】
{#{QQABJQaAggAAQIBAAAgCEwVoCgAQkAGACYgGhBAMIAAAiANABCA=}#}由S 得点P到直线AB的距离d ２×５ 分
△ ABP ＝５ ＝ ＝ １０, ９
１０
ì ï x y
ï
|３ ０＋ ０－６| {x {x
设P ( x ０, y ０), 则í ï １０
＝ １０
, 解得
０＝－２
或
０＝－１
, １１ 分
ï y y
îx２ y ２ ０＝２ ０＝－１
０＋(０－１)＝５
即P 或P
(－２,２) (－１,－１),
当P 时 直线BP的方程为x y 分
(－２,２) , －３ ＋８＝０, １３
当P 时 直线BP的方程为 x y
(－１,－１) , ２ － ＋１＝０,
综上直线BP的方程为x y 或 x y 分
－３ ＋８＝０ ２ － ＋１＝０ １５
解法二 因为直线AB的斜率k ３－０
: AB ＝ ＝－３,
１－２
所以直线AB的方程为y x 即 x y 分
＝－３ ＋６, ３ ＋ －６＝０, ８
AB ２ ２ 设点P到直线AB的距离为d 则d ２×５ 分
＝ (２－１)＋(０－３)＝ １０, , ＝ ＝ １０, ９
１０
则将直线AB沿着与AB垂直的方向平移 个单位即可
１０ ,
此时该平行线与圆的交点即为点P 设该平行线的方程为 x y C 分
, ３ ＋ ＋ ＝０, １０
C
则 ＋６ 解得C 或C 分
＝ １０, ＝４ ＝－１６, １１
１０
{x２ y ２ {x {x
＋(－１)＝５ ＝－１ ＝－２
当C 时 联立 解得 或 即P 或P 分
＝４ , , , (－２,２) (－１,－１), １３
x y y y
３ ＋ ＋４＝０ ＝－１ ＝２
当P 时 直线BP的方程为x y 分
(－２,２) , －３ ＋８＝０, １４
当P 时 直线BP的方程为 x y
(－１,－１) , ２ － ＋１＝０,
综上直线BP的方程为x y 或 x y 分
－３ ＋８＝０ ２ － ＋１＝０ １５
解法三 同解法一得到直线AB的方程为 x y 分
: ３ ＋ －６＝０, ８
点P到直线AB的距离d ２×５ 设P θ θ 其中θ 分
＝ ＝ １０, (５cos,１＋ ５sin ), ∈[０,２π), ９
１０
θ θ
则有 ３５cos＋１＋ ５sin －６ 分
＝ １０, １０
１０
ì ì
ï ï
ï θ ５ ï θ ２５
ïcos＝－ ïcos＝－
５ ５
联立 ２θ ２θ 解得í 或í 分
cos ＋sin ＝１, ï ï , １２
ï ï
ï θ ２５ ï θ ５
îsin ＝－ îsin ＝
５ ５
即P 或P
(－２,２) (－１,－１),
当P 时 直线BP的方程为x y 分
(－２,２) , －３ ＋８＝０, １３
当P 时 直线BP的方程为 x y 分
(－１,－１) , ２ － ＋１＝０, １４
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【 ５ ( ８ )】
{#{QQABJQaAggAAQIBAAAgCEwVoCgAQkAGACYgGhBAMIAAAiANABCA=}#}综上直线BP的方程为x y 或 x y 分
－３ ＋８＝０ ２ － ＋１＝０ １５
．【解析】 方法一
１７ (１) :
在图 中延长BA与EF相交于K 延长BA 与EF 相交于K 延长BH 与KK
１ , １ １ １ １ １, １
相交于I 连接GI交FF于M 如右图所示 由 ABH KBI 分
, １ , , △ ∽△ , ３
AH KI
得 求得KI ３ MF １ KI EG ５． 分
BA＝BK, ＝ , ＝ ( ＋ )＝ ６
２ ２ ４
方法二 在图 中过点G作BH 的平行线交DD于T点 连接TH 交FF于点M
: １ １ , １ ,
如 下 图 所 示 易 知 TD ３ MF １ HA TD ５．
, ＝ , ＝ ( ＋ ) ＝
２ ２ ４
分
６
在图 中 以A为坐标原点 分别以AFABAA为xyz轴建立如图所示的空
(２) ２ , , , , １ ,,
间直角坐标系A xyz 如下图所示 平面α即平面BGH 尽量用已知点 则B
－ , , ( ), (０,２,
G H HG→ HB→ 分
０), (２,１,１), (０,０,１), ＝(２,１,０), ＝(０,２,－１), ８
设面α的法向量是m xyz
＝(,,),
ì
ïïm
HG→
＝２
x
＋
y
＝０
有í 令y 则x z m 分
ïï , ＝２, ＝－１,＝４, ＝(－１,２,４), １０
îm HB→ y z
＝２ － ＝０
A B AG→ BG→ 分
１(０,０,２),１(０,２,２),１ ＝(２,１,－１),１ ＝(２,－１,－１), １１
设面ABG的法向量为n abc
１ １ ＝(,,),
ì
ï ï n A １ G→ ＝２ a ＋ b － c ＝０
有í 令c 则a b n 分
ïï , ＝２, ＝１,＝０,＝(１,０,２), １３
în BG→ a b c
１ ＝２ － － ＝０
m n
mn －１＋８ １０５．
cos＜ ,＞＝ m n ＝ ＝
| |×|| ２１× ５ １５
则面ABG与面α的夹角的余弦值是 １０５． 分
１ １ １５
１５
y
．【解析】 直线TE 的斜率为 x 分
１８ (１) １ x (≠－ ２), １
＋ ２
y
直线TE 的斜率为 x 分
２ x (≠ ２), ２
－ ２
y y
由题意可知 １ x２ y２ x 分
: x x ＝－ ⇒ ＋２ ＝２(≠± ２), ４
＋ ２ － ２ ２
所以曲线Γ是以坐标原点为中心 焦点在x轴上 不包括左右两顶点的椭圆 分
, , , ５
x２
其方程为 y２ x 分
＋ ＝１(≠± ２); ６
２
法一 直线l的斜率存在且不为 设ly kx Ax y Bx y M x
(２) : ０, :＝ ( ＋１), (１,１), (２,２), (０,
y 分
０), ７
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【 ６ ( ８ )】
{#{QQABJQaAggAAQIBAAAgCEwVoCgAQkAGACYgGhBAMIAAAiANABCA=}#}ì ïx２
ï y２
联立í２ ＋ ＝１ 整理得 k２x２ k２x k２ Δ k２ 恒成立 分
ï , (１＋２ ) ＋４ ＋２ －２＝０, ＝８ ＋８＞０ , ９
ï
îy kx
＝ (＋１)
ì ï k２
x x ４
ï ï １＋ ２＝－ １＋２ k２ k２
且í 则 AB k２ x x ２２( ＋１) 分
ï , ＝ １＋ １－ ２ ＝ k２ , １０
ïïxx ２
k２
－２
１＋２
î １ ２＝ k２
１＋２
ì ï k２
x ２
ï ï ０＝－ １＋２ k２ k２ k
则í 即M ２ k １ 分
ï , (－ k２ , k２ ),OM ＝－k, １１
k １＋２ １＋２ ２
ïïy
î ０＝ k２
１＋２
x２ k２
直线CD的方程为y １x 与 y２ x 联立得x２ ４ 分
＝－k , ＋ ＝１(≠± ２) ＝ k２ , １２
２ ２ １＋２
设点Cx y D x y 到直线ly kx 的距离分别为d d
(３,３), (－ ３,－ ３) :＝ (＋１) １,２,
kx y k kx y k kx y k２
则d ３－ ３＋ d － ３＋ ３＋ d d ２ ３－２ ３ ２ ２ ＋１ 分
１＝ k２ ,２＝ k２ ,１＋ ２＝ k２ ＝ k２ , １４
＋１ ＋１ ＋１ ＋１
k２ k２
四边形ACBD面积S １ AB d d １ ２２( ＋１) ２ ２ ＋１
＝
２
(１＋ ２)＝
２
×
１＋２
k２ × k２
＋１
１
k２
＋１ １ ２ 分
＝２２× k２ ＝２２ ＋k２ , １６
２ ＋１ ２ ２ ＋１
又k２ 所以S 故四边形ACBD面积的取值范围为 ． 分
＞０, ∈(２,２２), (２,２２) １７
法二 易知直线l的斜率存在且不为 设lx my Ax y Bx y Mx y 分
: ０, :＝ －１, (１,１), (２,２), (０,０), ７
ì ïx２
代入点得í ï ï ２
１
＋
y２
１＝１ 相减得( x １－ x ２)( x １＋ x ２) y y y y 分
ï , ＋(１－ ２)(１＋ ２)＝０, ８
ïï
x２
２ y２
２
î ＋ ２＝１
２
整理得k k １ 分
OM AB ＝－ ①; ９
２
{x my
＝ －１ m
联立 得 m２ y２ my 所以y y ２ yy －１ ．
, ( ＋２) －２ －１＝０, １＋ ２＝m２ ,１ ２＝m２
x２ y２ ＋２ ＋２
＋２ －２＝０
m２
AB m２ y y ２２( ＋１) 分
＝ １＋ １－ ２ ＝ m２ ; １１
＋２
设C ( x ３, y ３), D (－ x ３,－ y ３), 由 ① 得k OM k AB ＝－ １ , 直线CD方程为x ＝－m ２y , １２ 分
２
ì ïx２
ï ï ２ ＋
y２
＝１ m２ m２ m
联立í 解之得y２ 即 y ． 分
ï
ïïx ２y
, ＝m２
＋２
, ３ ＝ m２
＋２
＝ m２
＋２
１３
î ＝－m
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【 ７ ( ８ )】
{#{QQABJQaAggAAQIBAAAgCEwVoCgAQkAGACYgGhBAMIAAAiANABCA=}#}设点Cx y D x y 到直线lx my 的距离分别为d d
(３,３), (－ ３,－ ３) :＝ －１ ３,４,
２y my
x my x my x my ２(－m ３)－２ ３
则d ３－ ３＋１ d － ３＋ ３＋１ d d ２ ３－２ ３
３ ＝ m２ , ４ ＝ m２ , ３ ＋ ４ ＝ m２ ＝ m２ ＝
＋１ ＋１ ＋１ ＋１
４ m y
m＋２ ３ m２
２ ＋２ 分
m２ ＝ m２ １５
＋１ ＋１
m２
所以四边形ACBD的面积S １ AB d d ２２ ＋１ １ 分
＝
２
(３＋ ４)＝ m２
＋２
＝２２ １－m２
＋２
, １６
又m２ 所以m２ １ １ １ １
＞０, ＋２＞２⇒０＜m２ ＜ ⇒ ＜１－m２ ＜１,
＋２ ２ ２ ＋２
所以S 故四边形ACBD面积的取值范围为 ． 分
∈(２,２２), (２,２２) １７
．【解析】 card M S { } 集合M 有
１９ (１)∵ ( )＝４, ＝ １,２,３,４,５ ∴ :{１,２,３,４},{１,２,３,５},{１,２,４,５},{１,３,４,５},
． 分
{２,３,４,５} ４
取M { } 对于任意的xyz M 满足x y z McardM 分
(２) ＝ ６,７,８,９,,１５ , ,,∈ , ＋ ＋ ∉ , ( )＝１０, ６
当cardM 时 集合M 中的元素取从大到小对应cardM 的个数 均成立 分
( )＜１０ , ( ) , , ７
下证当 cardM 不成立
１１≤ ( )≤１５ ,
作三元子集M { } M {k k k} k 分
０＝ ５,１０,１５ , k ＝ ,１０－ ,１０＋ (＝１,２,３,４), ８
则S M M M M M 对S的任意一个 元子集S 必包含某个M
＝ ０∪ １∪ ２∪ ３∪ ４, １１ １, k,
若M S 则有 成立 与x y z S 矛盾 分
０⊆ １, １５＝５＋５＋５ , ＋ ＋ ∉ １ ; １０
若M k ⊆ S １( k ＝１,２,３,４), 则元素 １０＋ k ＝ k ＋ k ＋(１０－ k ) 与x ＋ y ＋ z ∉ S １ 矛盾 ,
cardM 的最大值为 分
∴ ( ) １０; １１
(３)( 反证法 ) 假设对任意的i ＜ j , card ( M i ∩ M j)＝２ 或card ( M i ∩ M j)＝０, １２ 分
若cardM M 三元子集至少有n 个 与元素只有n个矛盾 分
① ( i ∩ j)＝０, ＋１ , , １３
若cardM M
② ( i ∩ j)＝２,
若cardM M cardM M 则cardM M 分
( １∩ ２)＝２, ( ２∩ ３)＝２, ( １∩ ３)＝２, １４
将M M M M 分成若干组 每组中的两个三元子集都有 个公共元素 不同组中无公共元素．
１, ２,, n, n ＋１ , ２ ,
下证 任取一组有k个三元子集 有m个元素 则k m 分
, , , ＜ , １５
当k 时 m 则k m
＝１ , ＝３, ＜ ,
当k 时k m m 分
≥２ ,≤４＋( －４)＝ , １６
而三元子集有n 个 至少要有n 个元素 矛盾．
＋１ , ＋１ ,
一定存在两个不同的子集M M 使得cardM M ． 分
∴ i, j, ( i ∩ j)＝１ １７
高二数学试题参考答案 第 页 共 页
【 ８ ( ８ )】
{#{QQABJQaAggAAQIBAAAgCEwVoCgAQkAGACYgGhBAMIAAAiANABCA=}#}
