数学答案A·2025年5月高二阶段考_2024-2025高二（7-7月题库）_2025年6月试卷_0609安徽省金榜教育2024-2025学年高二下学期五月份阶段性考试

数学参考答案 A 命题人：宿松中学徐河水等 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合 题目要求。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B C A D A B D x2 y2 c 1.【解析】双曲线标准方程为 - =1，实半轴长a=2，虚半轴长b= 5，c=3，故离心率e= 4 5 a 3 = ，选C. 2 1 1 2.【解析】由y=2ae2ax知切线斜率为y =2a，故2a= ，得a= ，选B. x=0 2 4 3.【解析】由T r+1 =C n r-x  r得x2系数为C2=15，解得n=6，选C. n 4.【解析】由P B   A  PAB =  PA  ，故PAB  =PA  PB  ，P A   B  PAB =  PB  =PA  ，选A. p+n π 1 3 p+n 5.【解析】由已知p2+n2=1，且 =cos = ，p+n= ，故pn= 3 3 2 2  2-p2+n2  1 =- ， 2 8   即cos OA，OB  1  =pn=- ，选D. 8 6.【解析】由s =20有a +a =10,又a +a =20，设公差为d，故5d=a -a =10，即d=2，易得a 4 1 4 4 6 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 =2，则S =n2+n， = = - ,则 + +⋯⋯+ =1- = .选A. n S n(n+1) n n+1 S S S 11 11 n 1 2 10 7.【解析】抛物线x2=4y的准线为直线l：y=-1，焦点为F(0,1)，设P到直线l 和直线l 的距离分别为 1 2 d 1 ,d 2 ，d 1 =PF  +1,d 1 +d 2 =d 2 +PF  +1，设F到直线l 的距离为d，则d +d ≥d+1，又d= 2 1 2 0+4+6  =2，故d +d 最小值为3，选B. 5 1 2 8.【解析】设gx  =fx  =3ax2+2bx+c，由已知gx  =0的两根为x 1 ，x 2 ，故关于x的方程g fx    = 0的根等价于fx  =x 1 和fx  =x 2 的根，由于f(x 1 )=x 2 ,若x 1 x 2 ，则方程 fx  =x 2 有2不同实根，且 fx  =x 1 有1个实根，共3个不同实根；故选D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 题号 9 10 11 答案 AC ABD ACD 9.【解析】对A，PQ⎳BD ，BD ⊂平面ABC D ，故PQ⎳平面ABC D ，A正确； 1 1 1 1 1 1 对B，P∉平面CC D D，Q∈平面CC D D，故PQ与CD 异面，B错误； 1 1 1 1 1 5 对C，过点C，D，P，Q的球的直径为CQ= ，故球的表面积等于 2 5π ，C正确； 4 6 对D，PQ⎳BD ，BD 与AB所成角的正弦值为 ，故PQ与AB所成角的 1 1 3 6 正弦值为 ，D错误.故选AC. 3 数学参考答案 第1页（共5页）10.【解析】直线l方程为:mx+y-2  +x-1=0,直线l过定点P1,1  ,A正确;由于点P在圆C内,故直线l -m-1 与圆C相交,B正确;圆心C到直线l距离为  m+1  2 1 = ,解得m=- ,直线l的斜率为1,其倾 2+m2 2 2 斜角等于45°,C错误;m=0时,l⊥PC,直线l被圆C截得的弦长最小,D正确;选ABD. 11.【解析】易得a =-1,a =1,a =2,故a =a ,A正确；令n=2k,则a -a =2k,取k=1012,得a - 2 3 4 1 4 2k+1 2k 2025 a =2024，B错误;令n=2k-1，则a +a =2k-1，故a +a =4k-1,即a +a =4n 2024 2k 2k-1 2k+1 2k-1 2n+1 2n-1 -1,故a +a 2n+1 2n-1  构成公差为4的等差数列,C正确；a +a =2k+1,故a +a =1,D正确; 2k+2 2k+1 2k+2 2k 选ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.【答案】a =2n+1【解析】设公比为q，则(a q2)2=a q6，所以a =q2，a q5+2a q3=3a q4，故q=1 n 1 1 1 1 1 1 (舍)或q=2，所以a =4，故a =2n+1. 1 n 13.【答案】17【解析】有2种情况.第一种情况，有3名工人岗位变动，有2C3=8种方式；第二种情 4 况，有4名工人岗位变动，有9种方式；共有17种轮岗方式. 14.【答案】1【解析】由x∈0，+∞  ，可得a>0，故axeax≥x2+1  lnx2+1  =lnx2+1  elnx2+1  ，令 gt  =tet，t∈0，+∞  ，gt  =t+1  et>0，故gt  单调递增，由gax  ≥g lnx2+1    ，且ax> 0，lnx2+1  >0，得ax≥lnx2+1  lnx2+1 ，故a≥  ，令ϕx x  =lnx2+1  -x，x∈0，+∞  ，则 ϕx  2x x-1 = -1=- x2+1  2 <0，故ϕx x2+1  单调递减，故ϕx  <ϕ0  =0，即lnx2+1  0，故a≥1，而a∈Z，故a最小值为1. x 四、解答题:共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【解析】(1)设同学M第1次选择甲组题为事件A，乙组题为事件B，答题正确为事件C. 已知PA  =PB  1 = ，PCA 2  7 = ，PCB 10  1 = ，3分 2 则PC  =PAC  +PBC  =PA  PCA  +PB  PCB  1 7 1 1 3 = × + × = ， 2 10 2 2 5 3 故同学M第1次答题正确的概率 . 6分 5 (2)同学M总得分X可取0，2，3，4，6，则 PX=0  1 3 1 1 1 3 3 = × × + × × = ,PX=2 2 10 2 2 2 10 20  1 7 3 1 1 7 7 = × × + × × = ， 2 10 10 2 2 10 25 PX=3  1 3 1 1 1 1 1 = × × + × × = ， 2 10 2 2 2 2 5 PX=4  1 7 7 49 = × × = ，PX=6 2 10 10 200  1 1 1 1 = × × = . 9分 2 2 2 8 X的分布列为： X 0 2 3 4 6 3 7 1 49 1 P 20 25 5 200 8 11分 EX  3 7 1 49 1 289 =0× +2× +3× +4× +6× = . 13分 20 25 5 200 8 100 16.【解析】(1)因为点A 在底面ABC上的射影在AC上，所以平面A C CA⊥平面ABC. 1分 1 1 1 又AC⊥BC，所以BC⊥平面A C CA，所以BC⊥AC . 3分 1 1 1 数学参考答案 第2页（共5页）连接A C，因为AA =AC，所以四边形A ACC 是菱形，所以A C⊥AC ，5分 1 1 1 1 1 1 所以AC ⊥平面A BC，所以AC ⊥A B. 7分 1 1 1 1 (2)取AC的中点O.因为∠A AC=60°，所以△A AC是等边三角形，从而A O⊥AC. 1 1 1 由平面A C CA⊥平面ABC，可得A O⊥平面ABC.8分 1 1 1  以O为坐标原点，射线OA为x轴正方向，射线OA 为z轴正方向，向量CB为y轴正方向， 1  以CB  为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系. 则A1，0，0  ，B-1，1，0  ，A 10，0， 3  ，  AB=-2，1,0   ，AA 1 =-1，0， 3  . 10分  设平面A 1 AB的法向量为m=x 0 ，y 0 ，z 0  ，   由   m  ⋅A  B  =0， 得   -2x 0 +y 0 =0， . m⋅AA 1 =0 -x 0 + 3z 0 =0  取z 0 = 3，则x 0 =3，y 0 =6，所以m=3，6， 3  . 12分  又平面ABC的一个法向量为n=0，0，1  ，     m⋅n 所以cos‹m，n›=  m   n  3 1 1 = = ,二面角A -AB-C的余弦值为 . 15分 48 4 1 4 17.【解析】(1)f'(x)=2ex-2x+a，若f(x)为R上的增函数， 则f'(x)=2ex-2x+a≥0恒成立，即2ex-2x≥-a恒成立. 2分 设F(x)=2ex-2x，则F'(x)=2(ex-1)， 当x∈(-∞,0)时，F'(x)<0，当x∈(0,+∞)时，F'(x)>0， 所以F(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，5分 所以F(x)≥F(0)=2，故-a≤2，所以a≥-2. 7分 (2)证法1：若a=-2，由(1)知f(x)为R上的增函数. 由于f(0)=2，已知x ≠x ，且f(x )+f(x )=4，不妨设x <00， 2 2 令gx  =f(x)+f(-x)-4，x∈0，+∞  ，即证明gx  >0. 11分 由gx  =f(x)+f(-x)-4=2ex+2e-x-2x2-4，gx  =2ex-2e-x-4x， 令hx  =gx  ，则hx  =2ex+2e-x-4≥4 ex⋅e-x-4=0，故hx  =gx  在0，+∞  上单调递增 故gx  >g0  =0,故gx  在0，+∞  上单调递增,得gx  >g0  =0,得证！ 15分 证法2：若a=-2，由(1)知f(x)为R上的增函数. 由于f(0)=2，已知x ≠x ，且f(x )+f(x )=4，不妨设x <0h(0)=4， 13分 1 1 1 所以f(x )=4-f(x )0，即m>2或m<-2， 24m 36 且y +y =- ，y y = ，(*) 7分 1 2 3m2+4 1 2 3m2+4 因为x =my +4，x =my +4， 1 1 2 2 故k +k = y 1 + y 2 = y 1x 2 -1 1 2 x -1 x -1 1 2  +y 2x 1 -1  x 1 -1  x 2 -1  = 2my 1 y 2 +3y 1 +y 2  m2y 1 y 2 +3y 1 +y 2  ， 9分 +9 由于2my 1 y 2 +3y 1 +y 2  36 24m =2m× +3- 3m2+4 3m2+4  =0 故k +k =0. 11分 1 2 ②设点D坐标为x 0 ，y 0  ，由TP  DQ  =TQ  DP  TP ，有  TQ  DP =  DQ  ， CP 由①可得  CQ  y = 1  y 2  y DP = 1 ， y 2  DQ  = x 0 -x 1  x 0 -x 2  x -x =- 0 1 ， 13分 x -x 0 2 x y +x y 故x = 1 2 2 1 ，由于x =my +4，x =my +4， 0 y +y 1 1 2 2 1 2 则x = y 2my 1 +4 0  +y 1my 2 +4  = 2my 1 y 2 +4y 1 +y 2 y +y 1 2  2my y = 1 2 +4，15分 y +y y +y 1 2 1 2 24m 36 由①知y +y =- ，y y = ，故x =1， 1 2 3m2+4 1 2 3m2+4 0 故DF⊥x轴. 17分 19.【解析】(1)k=2时，fx  1 = 2  1 x-2  ex-2， k=3时，fx  1 = 2  2 x-4  ex-4， k=4时，fx  1 = 2  3 x-6  ex-6， 猜想：fx  1 = 2  k-1 x-2k+2  ex-2k+2，I k =2k-3，2k-1  ，k∈N*. 5分 (2)①当x∈I 1 =-1，1  时，由ϕx  =gx  有xex=2-1 2 x ，令hx  =xex-2-1 2 x ， 数学参考答案 第4页（共5页）则hx  =x+1  ex+2-1 2 x-1ln2>0，故hx  在区间I 上单调递增， 1 由于h1  2 =e- >0，h0 2  =-1<0，故ϕx  -g(x)在区间I 上有唯一零点. 10分 1 ②当x∈I k =2k-3，2k-1  ，k∈N*时，由fx  =gx  1 ，得 2  k-1 x-2k+2  ex-2k+2=2-1 2 x ， 即x-2k+2  ex-2k+2=2-1 2x-2k+2  ，令t=x-2k+2，则t∈-1，1  ，tet=2-1 2 t ， 由上可知，函数y=fx  与y=gx  在区间I 上有唯一交点，且x -2k+2=x ， k k 1 即x =x +2k-2，k∈N*，故x -x =2， k 1 k+1 k 故x n  构成首项为x 1 公差为2的等差数列，x n =x 1 +2n-1  . 12分 由于y k =fx k  =gx k  ，故 y k+1 = fx k+1 y k  fx k  = gx k+1  gx k  = 2-1 2 xk+1 =2-1 2xk+1-xk 2-1 2 xk  1 = ， 2 而fx 1  =x ex1>0，故y 1 n  构成首项为y 1 =fx 1  1 ，公比为 的等比数列. 2 故y n =fx 1  1  2  n-1 1 =x ex1 1 2  n-1 . 14分 故P 3n-2 x 1 +23n-3  1 ，x ex1 1 2  3n-3   ，P 3n-1 x 1 +23n-2  1 ，x ex1 1 2  3n-2   ， P 3n x 1 +23n-1  1 ，x ex1 1 2  3n-1   ，  1 从而P P = -2，x ex1 3n-1 3n-2 1 2  3n-2    1 ，P P = 2，x ex1 3n-1 3n 1 2  3n-1   ， 15分 1 1 由已知S = -2x ex1 n 2 1 2  3n-1 1 -2x ex1 1 2  3n-2   1 =x ex1 1 2  3n-2 ， 16分 S 1 1 故 n+1 = ，且S = x ex1>0，故S S 8 1 2 1 n n  构成等比数列. 17分 数学参考答案 第5页（共5页）