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濮阳市一高 2024 级高二上学期第三次质量检测
数学试题参考答案
一、单项选择题
1. B【详解】由双曲线方程知：实轴长 ，虚轴长 ， 渐近线方程为
.
故选：B.
2．A【详解】 ， ，则 ， ， ，
，即 ， ，故数列 是以3为周期的周期数列，
则 ，故选：A．
3.答案A【详解】当 时， ，即 ，解得 或 .
当 时，直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，此时 ；
当 时，直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，此时 .
因为 ，因此，“ ”是“直线 与直线
平行”的充分不必要条件.故选：A.
4．C【详解】因为 ，所以 ，因为 ，
所以.故选：C
5.故选：A【详解】设 ， ，由 ， 得：
，则有 ，
因为 为圆 上任意一点，所以 ，代入
可得： ，整理得： ，
即方程 就是动点 的轨迹方程.故选：A
6．B【详解】如图，
由M为椭圆C上任意一点，则 ，
又N为圆E： 上任意一点，且 ,
则 （当且仅当M、N、E共线且N在M、E之间时取等号），又因
，
当且仅当M、N、E、 共线且M、N在E、 之间时等号成立．
因 , ，则 ，
故 的最小值 ，故选：B
7．D【详解】以 为坐标原点，以 的正方向为 轴正方向，建立如图所示的
空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
∴ ， ， ．
设平面 的法向量为 ，则 ．
令 ，则 ， ，∴ ．∴点 到平面 的距离 ．故选：D
8．C【详解】抛物线 的焦点 ，设直线 的方程为 ， ，
由 消去 得 ，则 ， ，
由 ，得 ，解得 ，
抛物线 的准线方程为 ， ， ，
于是 ，
，因此
，当且仅当 ，即 时取等号，
所以当 时， 取得最小值 .故选：C
二、多项选择题
9. BCD
【详解】对A：因为圆 的圆心为 ，因为 ，所以不存在 ，使
得直线 经过圆心，即不存在实数 ，使圆 关于直线 对称.故A错误；
对B：因为 恒成立，所以直线 过定点 ，故B正确；对C：因为 ，所以点 在圆 ： 内部，又直线 过定点 ，
所以直线 与圆 必有两个不同的公共点，故C正确；
对D：当 时，直线 ： 即 .
圆心 到直线 的距离为： ，所以弦长为： ，故D正确.
故选：BCD
10. AD
【详解】由题设， ，则 ，又 在椭圆内部，则 ，即 ，
对C： ，故选项C错误；
对B：当 时，有 ，则 ，故选项B错误；
对A：由 ，即 ，所以以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点，
所以椭圆上不存在点Q使得 ，故选项A正确；
对D：由椭圆的定义有 ，所以，当且仅当 时等号成立，
当 时， ,由于 ，则 能取到，满足条件；
当 时， ,由于 ，则 不能取到，此时 ,
综上选项D正确.故选：AD.
11. AC
【详解】选项A：当 在平面 内运动时，P到平面 的距离不变，
平面 的面积不变，所以四棱锥 的体积不变，故A正确；
选项B：以D为原点， 为x，y，z轴正方向建系，如图所示，
则 ，设 ，则
，
设 与 所成角为 ， ，则 ，
因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，
因为 在 上单调递减，所以 ，故B错误；
选项D：已知直线AP与平面ABCD所成的角为 ，
若点P在平面 和平面 内，
因为 ，且为最大角，所以点P仅在点 ， 处；
若点P在平面 内，则点P的轨迹为 ；
若点P在平面 内，则点P的轨迹为 ；
A B C D
1 1 1 1
若点P在平面 内，作 平面ABCD，如图所示，
因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以点P的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆的四分之一，
所以点P的轨迹长度为 ，综上，点P的轨迹总长度为 ，故D错误；
选项C： ，设 ，
则 ，
设平面 的法向量 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，所以 ，
因为 平面 ，所以 ，则 ，
所以 ，
即当 时，PF长度的最小值是 ，故C正确. 故选：AC
三、填空题
12. /1.5【详解】因 ，则直线 与 互相平行，而 分别为 与 上任一点，
故当线段 为两直线的公垂线段时， 的值最小，
此时 的最小值即这两平行直线之间的距离 ，
而 即 ，故 .故答案为： .
13. 【详解】由题意得圆心 为 ，半径为 ，圆心 到直线 的距离为
，
因为圆上到直线的距离为 的点有且仅有 个，所以 ，即 ，
解得 或 ，故答案为： .
14. / 【详解】如图，延长 交 于另一点 ，连接 ，由椭圆的对称性，得
．设 ，则 ．
在 中，利用余弦定理得
，即 ，解得 ，所以 ．
在 中，利用余弦定理得 ，
即 ，化简得 ，所以 的离心率 ．故答案为： ．
四、解答题
15. （1）圆 的圆心为 ，
由圆心在直线 上可得 ，即圆心 ；
易知圆心到直线 的距离为 ，
由弦长公式可得 ，解得 ；
所以圆 的方程为 ；......................................................................6分
（2）当切线斜率不存在时，过点 的直线方程为 ，
显然 到 的距离等于3，符合题意；
当切线斜率存在时，可设过点 的直线方程为 ，
则圆心 到 的距离为 ，解得 ；
此时切线方程为 ，即 ；
综上可知，切线的方程为 或 . ...................................................13分16．（1）作 平面 ，以E为原点，以 的方向分别为x轴，y轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则点 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
所以 ，令 ，解得 ，
设平面 的法向量为 ，
所以 ，令 ，解得 ，
，
由图可知，二面角 的余弦值为 . ......................................................8分（2）因为 ，设
则 ，
由（2）知平面 的法向量为
若 平面PBC，则有 ，解得 ，
所以线段PE上存在点M，使得 平面PBC，点M即 中点. ......................15分
17.【详解】（1）因为双曲线 的实轴长为2，故 ，
而双曲线的渐近线为 ，
故右焦点 到渐近线的距离为 ，
故双曲线的方程为： . ........................................................6分
（2）显然直线 与 轴不垂直，设 ： ， ， ，
由双曲线的对称性知 的中点为 ，故 ，联立
故 ， ，
由于A， 均在双曲线右支，故 ，故 ，
而 ，
代入韦达定理得 ，
令 ，则 ，
易知 在 上为减函数，则当 时， ，
综上： 的面积的最小值为12. ...............................................15分
18．解析：（1）证明：在图1中，连结AE，由已知条件得 ，
∵ 且 ，
∴四边形ABCE为菱形，连结AC交BE于点F，
∴ ，又∵在 中， ，
∴ ，
在图2中， ，∵ ，∴ ，
由题意知 ，且 ，∴ 平面ABED，又 平面 ，
∴平面 平面ABED； .................................4分
（2）如图，以D为坐标原点，DA， 分别为x，y轴， 方向为z轴正方向建立空间直角
坐标系．由已知得各点坐标为 ， ，
， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ， ，
所以 ，即 ，
令 ，解得 ， ，
所以 ， ，记直线 与平面 所成角为 ，
则 ． ..................................10分
（3）假设存在，设 ，所以 ， ，
∵ 平面 ，易得平面 的一个法向量 ，
设平面PBE的一个法向量 ，
由 ，可得 ，可取 ，
则 ，
解得 ，此时 ．.................................17分
19．（1）设直线 的方程为 ，
代入 得 ，
设点 ，则 ，
而线段 中点纵坐标为4，则 ，解得 ，
故 的方程为 . ...............................................4分
（2）（i）由（1） ，且 ，
则所以 . ...............................................9分
（ii）法一：如图，作出符合题意的图形，
由已知得 ，
设直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ， ，
，
，
整理得 ，即 ，
当 时，直线 与直线 重合，舍去
， 直线 的方程 ，直线 过定点 . ...............................................17分
