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2024 级高二年级第一学期阶段考试 数学科试卷（详解）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．集合 ， ，则 （ ）
2
A． ={ | <1} ={ | −2 <0} B． ∩ =
C．{ |0< <1} D．{ |−1< <0}
【答案】{ A|−1< <2} { |0< <2}
【详解】由 ，得 ，在数轴上表示集合A，B如图，
2
={ | −2 <0} ={ |0< <2}
，所以 .故选：A.
2．若 在 ∩ 上=是{ 单|0调<函 数<，1}则 的取值范围是（ ）
2
A． =−2 − 2 B ．+1 +3 −1,2 C． D．
3 9 3 9 9 3
【答案】2
D
,+∞ −2,2 −∞,−2 −∞,−2 ∪ 2,+∞
【详解】因为函数 的图象开口向下，对称轴为 ，
2 2 +1
=−2 − 2 +1 +3 =− 4
若 在 上是单调函数，则 或 ，解得 或 ，
2 +1 2 +1 9 3
−1,2 − 4 ≤−1 − 4 ≥2 ≤−2 ≥2
所以 的取值范围是 .
9 3
故选：
D.
−∞,−2 ∪ 2,+∞
3．已知复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A．1 2 +B ．=3−i C． D．
【答案】B −1 i −i
【详解】设 ，则 ，
由 = ，+可 i得 = − i ，化简得 ，
2 + =3−i 2 + i + − i=3−i 3 + i=3−i
从而 ，即 ，所以 ， 的虚部为 .故选：B.
3 =3 =1
=1−i −1
4．已
知
=−1
且
=−1
，则 的最大值为（ ）
A．2 >0, >0 B 2． + 5 5 =10 C． D．
3 5
2 2
【答案】D【详解】由 ，得 ，则 ，当且仅当 时取等号，
5 5
>0, >0 10=2 +5 ≥2 2 ⋅5 ≤2 =2, =1
所以当 时， 取得最大值为 .故选：D
5 5
=2, =1 2
试卷第1页，共11页5．若 ，则 （ ）
2
A．tan =6 cos B ．+sin2 = C． D．
13 13 1 1
37 −37 4 −4
【答案】A【详解】由 ，则 .
2
2 2 cos +2sin cos 1+2tan 1+2×6 13
2 2 2 2
故选：A. tan =6 cos +sin2 =cos +2sin cos = cos +sin = 1+tan = 1+6 =37
6．已知 为空间内三个不共面的向量，平面 和平面 的法向量分别为 和
，若 1 , 2 ，, 3 则 （ ） = 1 + 2 +3 3 =− 1 +2 2 +
3 A．5 ∥ + B=． C．3 D．
【答案】B【详解】因为 ，−所5以 ，从而设 ，即 −3 ，
由于 为空间内 三∥个 不共面 的∥ 向 量， = 1 + 2 +3 3 = − 1 +2 2 + 3 =− 1 +2 2 + 3
1 , 2 , 3
所以 解得 所以 ．故选：B
− =1, =−1,
2 = , =−2, + =−5
7．如 图 ，=将3,菱形纸 片=−3, 沿对角线 折成直二面角， 分别为 的中点， 是 的中点， ，则
2π
折后二面角 的 余 弦值为（ ） , , ∠ = 3
− −
A． B． C． D．
21 21 3 13 3 11
【答案】7A【详解】由题意−知平7 面 平面 ，13如图，连接 ，− 11
因为四边形 是菱形， 是 的 中 点⊥，所以 ，, 又 平面 平
面 平面 ，所 以 平面 ，⊥而 , 平⊥面 ，所以 ∩ ，
从而 = ，, 三⊂线两 两 垂 直．以 为⊥原点， ⊂所在直 线 分 别为 轴 、⊥轴 、
轴建 立 ,如 图所 示 的空间直角坐标系 ， , ,
令 ，则 ．
3 1 1 3 3 1 1 3
=2 0,0,1 , 0,− 2 ,2 , 2 , 2 ,0 , = 0,− 2 ,2 , = 2, 2 ,0
设平面 的法向量为 ，则 得
3 1
⋅ =0, − 2 +2 =0,
= , , 1 3
取 ，则 ，得平面 ⋅的 一 =个0法, 向量2为 + 2 =0, ．
易知 =平1面 的=一−个3法, 向=量为3 ， = − 3,1, 3
则 =．由0,0图,1知，二面角 为锐角，所以二面角 的余弦值为 ．
⋅ 3 21 21
故选 co : s A ． , = = 7×1= 7 − − − − 7
试卷第2页，共11页8．19世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本·福特提出本·福特定律——在大量10进制随机数据中，以数
开头的数出现的概率 满足 ，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律.后来 常 有∈
∗ 10
1− =lg +1
数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若 ，则 的最
log23×log35 ∗
=1 ≤ 1+log25 ∈
大值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C【详解】由 可得 ，
10 10 10 +1
1− =lg +1 =1−lg +1 =lg10−lg +1 =lg
又 ， ，
2 3 +1 log23×log35 log25 log25 log25
由对 数 =1 函 数 的 = 单 lg 调1性 + 可 lg2得 +⋯+lg ，即 =lg +1 1，+l所og2 以5 = 的1最+l大og2 值5= 为lo 4 g2 .故2+l选og2 ：5= C. log210 =lg5
∗
二、多选题
+1 ≤5 ≤4, ∈
9．下列命题中正确的是（ ）
A．若 是空间任意四点，则有
B．若直 ,线 , 的, 方向向量与平面 的法向 量 的+夹 角 +等 于 + ，=则 0 直线 与平面 所成的角等于
C．已知 是空间的一个基 底，则 130° 也是空 间的一 个基底 50°
D．已知 为, 坐, 标原点，向量 + , ， + , + + ， ，则点 不能构成
三角形 =− +2 − =−3 +6 −3 =−2 +4 −2 , ,
【答案】ACD
【详解】对于A，由向量加法的三角形法则得 ，故A正确；
对于B，注意线面角的范围是 ～ ，因为直 线 +的 方 向+向 量+与 平 面= 0 的法向量的夹角为 ，
所以直线 与平面 所成的角为0° 90° ； 130°
与两向量夹 角的差 为 ，即 90°− 180°−13，0°故=B4错0°误；
对于C，假设 90° 130°−不90是°空=间40一° 个基底，
那么存在实数 +使 得, + , + + 成立．
, + + = + + +
因为 是空间的一个基底，所以 ，该方程组没有实数解，
1=
, , 1= +
因此假设不成立，所以 1= 也是空间的一个基底, 故C正确；
对于D，由题意得 + ，, + , + ，+则 共线，
故点 不能构成 三 =角3形 ， 故 D 正=确2 ． , ,
故选： ,A ,C D.
试卷第3页，共11页10．若函数 的图象与函数 的图象交点的横坐标所在的区间为 ，则 的可能取值为（ ）
1
A． =2e B． = + C 5 ．1 D．2 , +1
−2 −1
【答案】BC【详解】设 ， ，
1
ℎ = − =2e − −5 ∈ −∞,0 ∪ 0,+∞
在 上均单调递增，且 ，
1
2 1 −10
ℎ −∞,0 , 0,+∞ ℎ −1 = e−4<0,ℎ −10 =2e +5>0
， ，即 ， ，
2 11 1
ℎ 1 =2e−6<0 ℎ 2 =2e − 2 >0 ℎ −1 ℎ −10 <0 ℎ 1 ℎ 2 <0
所以函数 的零点所在区间是 和 ．观察选项，可得 的值可能为 ，
1
故选：BC
ℎ
.
−1,−10 1,2 −1,1
11．已知正方体 棱长为1，P是 上的一个动点，下列结论正确的是（ ）
A．当点P在 直 线 − 1上 运1 动1 时1 ，一定有 1
B．当点P在直线 1 上运动时，三棱锥 1 ⊥ 的1 体积不变
1 1−
C． 的最小值为
+ 2− 2
D．以点B为球心， 为半径的球面与平面 的交线长为
2 6
【答案】ABD 2 1 3 π
【详解】A，由 平面 ， 平面 ，则 ，
又 ， 1 ⊥ 1 1 1 ，1 1 1 ⊂ 平 面1 1 1 1，则 1 ⊥ 平1面 1 ，
1 1平⊥面 1 1 ， 则1∩ 1 1 = 1，同 理1, 1 1 ⊂ ， 1 1 1 1 ⊥且都在 平1 面1
1 ⊂， 1 1 1 1 ⊥ 1 1 ⊥ 1 1 1∩ 1 = 1
所1以 1 平面 ， 平面 ，则 ，故A正确；
B，如 图1，⊥由 1 1 1 ⊂， 1 1 1 ⊥， 则 1 为平行四边形，
所以 1， 1// 1 平1/面/ ，1 1 = 平1 面1 = ，则 1 1 平面 ，
∴点 1 到/平/ 面1 1的 ⊂距离为 定 1值 ，又 1 ⊄ 为 定 值1 ，则 1 // 为定 值 1，
即三棱 锥 1 的体积不变，故B正 △确 ；1 − 1
1−
试卷第4页，共11页C，如图，将平面 翻折到平面 上，连接 ，与 的交点即为点 ，
此时 取最小 值 1 1，在 中 1 ， 1
+ △ ∠ =135°
，故C错误；
2 2
= + −2 ⋅ cos135°= 2+ 2
D，如图，由于 平面 ，设 与平面 交于点 ，
1 ⊥ 1 1 1
由等体积法， ，
1 1 1 1 1
3⋅ 1⋅2⋅ ⋅ =3⋅ ⋅ △ 1 =3⋅ ⋅2⋅ 1 ⋅ 1 ⋅sin60°
∴ ，可得 ，
1 1 3 1 3
3⋅ ⋅2× 2× 2× 2 =6 = 3
设以 为球心， 为半径的球与平面 交线上任一点为 ，
2
2 1
∴ ，则 ，
2 2
2 2 3 6
= 2 = 2 − 3 = 6
∴点 在以点 为圆心， 为半径的圆上，
6
6
∴交线长为 ，故D正确.
6 6
故选：ABD 2π× 6 = 3 π
三、填空题
12．某地区采用分层抽样的方法，抽取一定数量的高中学生参加禁毒知识竞赛．若得到的样本中高二的学生数量比
高一多40人、比高三少20人，且该地区高一、高三学生数之比为 ，则样本容量为 ．
【答案】460 2:3
【详解】设样本中高一学生数为 ，则高三学生数为 ，因为得到的样本中高二的学生数量比高一多40人、比高
三少20人，所以 2 ，解得 3
即高一学生数为 2 +40，=高3 二−学20生数为 =60 ，高三学生数为 ，
样本容量为： 2 =120 .故答2案 为+：4046=0.160 3 =180
13．过 12、0+160+1两80点=的46直0线的倾斜角为 ，那么实数 .
【答案】 −【1,详 解】 过 +1,4 ､ 两点的直线45的°倾斜角为 ，=
∘
则 1 ，又 −1, +1,4 .故答案为：1. 45
∘ 4−
=tan45 =1 = +2=1 ⇒ =1
试卷第5页，共11页14．如图，装满水的圆台形容器内放进半径分别为2和4的两个铁球，小球与容器底和容器壁均相切，大球与小球、
容器壁、水面均相切，此时容器中水的体积为 .
【答案】
【详解】作72几π 何体的轴截面图如图， ， 分别是大球和小球的球心，
是圆台的轴截面等腰梯形 两腰 和 的延长线的交点.
， 分别是球 和球 与圆 台 侧 面的 切 点， ， 分别是与圆台上下底面的切点.
则 ， ， ， ，且 ， ，
⊥. ⊥ ⊥ ⊥ = =4 = =2
过 =点1作2 交 于 ，显然 ，所以四边形 为矩形，
且 ， // ⊥ ，
=6 = − = − =2
所以在直角三角形 中， ，
1
sin∠ = =3
由同角三角函数关系式得 ， .
2 2 2 2
cos∠ = 1−sin ∠ = 3 tan∠ = 4
又由 ，所以 ，所以 ， .
1 2
// ∠ =∠ sin∠ =3 tan∠ = 4
在直角三角形 中， ，得 ，所以 .
=2 =sin∠ =6 = − =6−2=4
又在直角三角形 中， .
同理在直角三角形 中， = ⋅tan∠ = 2 ， .
所以圆台的上底面半 径 =， 下+底 面 半=径12+4=1，6 高 = .⋅tan∠ =4 2
所以圆台的体积 =4 2 = 2 . =12
1 2 2
=3π⋅ ( + ⋅ + )=168π
而球 的体积 ，球 的体积 .
4 3 256 4 3 32
=3π×4 = 3 π =3π×2 = 3 π
所以容器中水的体积
' 256π 32π
故答案为： . = − − =168π− 3 − 3 =72π
72π
试卷第6页，共11页四、解答题
15．如图，在平行六面体 中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为 ．记 ，
， ． − 1 1 1 1 60° =
= 1 =
(1)求 的长；
(2)求 1 与 夹角的余弦值．
【详解 】 （1 1 ） 由题意知： ， ，
∴ = = =，1 < , >=< , >=< , >=60°
1
⋅ = ⋅ = ⋅ =1×1×cos60°=2
又∵ ，
1 = + 1 + 1 1 =− + +
∴ ，
2 2
2 2 2
∴ 1 = +， 即− 的=长 为+ ，+ +2 ⋅ −2 ⋅ −2 ⋅ =1+1+1−1=2
（2 ） ∵1 = 2 1 2，
= + = +
∴ ，∴ ，
2 2 2 2 1
= + = +2 ⋅ + =1+2×2+1=3 = 3 ，
2 2
∴ 1 ⋅ = + − ⋅ + = ⋅ +， ⋅即 − 与+ 夹+角 的⋅ 余−弦 值⋅ 为=1．
1 ⋅ 1 6 6
cos< 1 , >= 1 = 2× 3= 6 1 6
试卷第7页，共11页16．某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：
七年级 八年级 九年级
女生 373 x y
男生 377 370 z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到八年级女生的概率为 ．
(1)求x的值； 0.19
(2)现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，问：应在九年级中抽取多少名？
(3)已知 ， 求九年级中女生比男生少的概率．
【详解】 （≥ 1）24由5 题 意≥ 245 ， ．
2000 =0.19 ∴ =380
（2）九年级人数为 ，
+ =2000−(373+377+380+370)=500
现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，应在九年级抽取的人数为 （名）．
500
（3）设九年级女生比男生少为事件 ，九年级女生数，男生数记为
，2000×48=12
由（2）知 ， ， ． ( , )
满足题意的 所+有 样=本50点0 是 ∈
(245,255),(246,254),(247,253),(248,25，2共),(12149个,2，51),
(其25中0事,25件0),包(2含51的,24样9本),(点25是2,248),(253,247),(254,246),(255,245) 共5个，
(245,255),(246,254),(247,253),(248,252),(249,251),
．
5
∴ ( )= 11
试卷第8页，共11页17．已知 ， ，函数 .
2
（1）当 =( 3时co，s 求 ,sin )的值 域=；(1,cos ) ( )= ⋅
∈ 0,2 ( )
（2）已知 的内角 的对边分别为 ，若 ， ， ，求 的面积.
【详解】（
△
1）
∵
, ,
，
, ,
，函
( 数2)= 3 =
.
4 + =5 △
2
∴ =( 3cos ,sin ) =(1,cos ) ( )= ⋅
2
= 3cos +sin cos
3 1 π 3
= 2 1+cos2 +2sin2 =sin 2 +3 + 2
又 ， 得 ， ，
π π π 4 3 π
0≤ ≤ 2 3 ≤2 +3 ≤3π − 2 ≤sin 2 +3 ≤1
.
π 3 3
0≤sin 2 +3 + 2 ≤ 2 +1
即函数 在 上的值域为 ．
π 3
= ∈ 0,2 0, 2 +1
（2） ，
π 3
∵ 2 = 3 ∴sin +3 = 2
由 ，知 ，
π π 4
∈ 0,π 3 < +3 <3π
解得： ，所以 ，
π 2 π
由余弦定 + 理3知 = ：3π = 3 ，即 ，
2 2 2 2 2
= ，因+ 为−2 cos ，所以16= ，+ −
2
∴∴16= + −3
.
+ =5 =3
1 3
△ =2 sin =4 3
试卷第9页，共11页18．如图，在三棱锥 中， 底面 .点D，E，N分别为棱 的中点，M是线段
的中点， ，− . ⊥ ,∠ =90° , ,
= =8 =4
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求二面 角 // 的正弦值；
− −
（Ⅲ）已知点H在棱 上，且直线 与直线 所成角的余弦值为 ，求线段 的长.
7
【详解】（Ⅰ）如图所示 建立空间直角 坐 标系. 21
则 ，
证明 (：0,0,0), (4,0,0), (0,8,0), (0,0,4.)设, (0,4,4), (0为,0平,2)面, (2,4的,0法), 向(0量,0，,8)
则 =(0，,4即,0), =(4,0,− .不4妨) 设 =( ，, 可, 得) ，
⋅ =0 4 =0
=1 =(1,0,1)
又 ，
⋅ =0 4 −4 =0
可得 =(2,4,−.因2)为 平面 ，
所以 ⋅ 平=面0 ， ⊄
（Ⅱ） 解 /：/易知 为平面 的一个法向量.
设 为 1 平 = 面 (1,0,0) 的法向量 ， 则 ，
2 ⋅ =0
2 =( , , )
因为 ， ， 2 所⋅ 以 =0 .
−4 −2 =0
=(0,−4,−2) =(4,0,−2)
不妨设 ，可得 ，因此有 4 −2 =0 ，
1⋅ 2 6
=2 2 =(1,−1,2) cos 1 , 2 = 1 2 = 6
于是 .所以，二面角 的正弦值为 ；
30 30
（Ⅲ）sin依 题 1,意 2 ，=设 6 −， − 6
则 ，进而可 得= ℎ(0≤ℎ≤ 8) ，
由已 (知0,0，,ℎ得) =(−2,−4,ℎ) =(−，4,4,4)
⋅ 4ℎ−8 7
cos〈 , 〉 = = ℎ 2 +20×4 3= 21
整理得 ， 解得 ，或 .
2 16
5ℎ −21ℎ+16=0 ℎ= 5 ℎ=1
所以，线段 的长为 或1
16
5
试卷第10页，共11页19．函数 ，关于 的不等式 的解集为 .
2
（Ⅰ）求 、 的=值 ；− + <4 −1,3
（Ⅱ）设 .
=
（i）若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
5 2
（ii）若函数
log3 −9 ⋅log3 +3≥0 ∈ 3,9
有三个不同
的零点，求实数 的取值范围（ 为自然对
数的底数）.ℎ = −1 ⋅ −1 −3 −1 +2
【详解】（Ⅰ）因为 的解集为 ，
2
即方程 <4 ⇒的 两根−为 -1+和 3−，4<0 −1,3
2
− + −4=0
由韦达定理可知 ，解得 .
−1 +3= =2
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）可−1得×：3= −4 =1，
1
= = + −2
所以不等式 在 上恒成立，
5 2
log3 −9 ⋅log3 +3 ≥0 ∈ 3,9
等价于 在 上恒成立，
5 1 4
2
9 ≤ log3 −3log3 +1 ∈ 3,9
令 ，因为 ，所以 ，
1 1
=log3 ∈ 3,9 ∈ 2,1
则有 在 恒成立，
5 2 4 1
9 ≤ −3 +1 ∈ 2,1
令 ， ，则 ，
2
2 4 2 5 1 2 5
= −3 +1= −3 +9 ∈ 2,1 min = 3 =9
所以 ，即 ，所以实数 的取值范围为 .
5 5
（ii）9因 ≤ 为9 ≤1 −∞,1 ，
2
令 ℎ ，=由 题意−可1 知− 3 +2 ⋅ ，−1 +2 +1
令 = −1 ∈ 0,，+∞ ，
2
则函 数 = − 3 +2 +2 +1 ∈ 0,+∞ 有三个不同的零点，
2
等价于ℎ = −1 − 3 +2 ⋅ −在1 +2 +1 有两个零点，
2
当 时 ，=方 程 − 3 +2 +2 + ， 1 此时 ∈ 0,+∞ ，解得 或 ，关于 的方程有三个零点，符合题
1 2 1 1
意；
=0 =0 ⇒ =−2 = −2 =0 =2
当 时，记两个零点为 ， ，且 ， ， ，
≠0 1 2 1 < 2 0< 1 <1 2 ≥1
所以 ，
0 =2 +1>0
1 =− ≤0
2
综上实 数=的9 取+值4范 围>是0 .
1
0,+∞ ∪ −2
试卷第11页，共11页
