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参考答案与试题解析
1．B 2．D 3．A． 4．B 5．B．
6．B【解答】解：因为点A在以F ，F 为焦点的椭圆M上，所以|AF |+|AF |＝3+9＝12，所以椭圆M中2a＝12，
1 2 1 2
因为|BF |+|BF |＝5+9＝14≠12，|CF |+|CF |＝5+6＝11≠12，|DF |+|DF |＝5+7＝12，|EF |+|EF |＝11+1＝12，所
1 2 1 2 1 2 1 2
以D，E在椭圆M上．故选：B．
7 ． C 【 解 答 】 解 ： 因 为
→ → → → → → → → → → → π → → π
OA⋅BC=OA⋅(OC−OB)=OA⋅OC−OA⋅OB=|OA|⋅|OC|⋅cos −|OA|⋅|OB|⋅cos
6 6
√3 → → → → →
=
2
|OA|⋅(|OC|−|OB|)， 因 为 OB ＝ OC ， 所 以 OA⋅BC=0 ， 所 以
→ →
→ → OA⋅BC
cos〈OA，BC〉= =0．故选：C．
→ →
|OA|⋅|BC|
8．B【解答】解：联立{x2+ y2=9，则{x=−2√2或{x=2√2，即 ， ，当直线x
B(−2√2，−1) C(2√2，−1)
y=−1 y=−1 y=−1
﹣y+m＝0过点B(−2√2，−1)时，得m=−1+2√2，由对称性可知，折叠后的弧BC对应的圆的方程为x2+
|m+2|
（y+2）2＝9，当x﹣y+m＝0与劣弧BC相切时，有 =3，所以m=3√2−2，其中m=−3√2−2舍去，
√2
结合图形可知，当−1+2√2＜m＜3√2−2时，直线x﹣y+m＝0与两段弧恰有4个交点．结合选项知B符合．
故选：B．
9．BCD【解答】解：直线l：kx+1+2k﹣y＝0化为（x+2）k+（1﹣y）＝0，可知直线系恒过（﹣2，1）点，所以A
不正确；圆O：x2+y2＝8，可知（﹣2）2+12＝5＜8，所以定点在圆的内部，所以B正确；实数k＝﹣2时，直线
l 与 直 线 l ： x﹣ 2y+2 ＝ 0 垂 直 ， 所 以 C 正 确 ； 直 线 l 被 圆 O 截 得 的 最 短 弦 长 为 2 ＝ 2
1
√ 8−(√(−2−0) 2+(1−0) 2 ) 2 = 2 √3 ，所以D正确．故选：BCD．
10．AD【解答】解：对于选项A，因为平面 ：x+y﹣2z+1＝0，且1+0﹣2×1+1＝0，所以点M（1，0，1） ，故
α ∈α
选项A正确；对于选项B，由平面 ：x+y﹣2z+1＝0，可得平面 的法向量为→ ，又O（0，0，
n=(1，1，−2)
α α
→ 1 1 2 →
0 ） ， P （ 1 ， 1 ， 2 ） ， 所 以 OP=(1， 1， 2) ， 又
1
=
1
≠
−2
， 所 以 OP=(1， 1， 2) 与
第1页（共7页）→ 不共线，故PO不垂直于平面 ，故选项B错误；对于选项C，由点到平面的距离公式可得点
n=(1，1，−2)
α
P到平面 的距离
d=
|1×1+1×1−2×2+1|
=
√6，故选项C错误；对于选项D，由N（0，0，1），P（1，
√12+12+(−2) 2 6
α
1，2），所以 → ，所以 → → ，所以 → →，又1+1﹣2×2+1＝﹣
NP=(1， 1， 1) NP⋅n=1×1+1×1−2×1=0 NP⊥n
1≠0，所以P ，所以PN∥ ，故选项D正确．故选：AD．
11．ABD【解答∉】α解：由题意点αO（0，0），A(−√3，0)，B(√3，0)，点P在曲线C：（x2﹣4）2+5（x2﹣
4）y2+4y4＝0上，可将（x2﹣4）2+5（x2﹣4）y2+4y4＝0化简得（x2﹣4+y2）（x2﹣4+4y2）＝0，即x2+y2＝4或
x2
+ y2=1，
4
x2 x2
所以曲线C由圆x2+y2＝4与椭圆 + y2=1组成，且圆x2+y2＝4的圆心为O，椭圆 + y2=1的焦点为A，B，故
4 4
A，B均正确．将y＝2x﹣3代入x2+y2＝4，得5x2﹣12x+5＝0，由判别式大于0，得该方程有两个不相等的实根
12 x2
x ，x ，则x +x = ，x x ＝1，将y＝2x﹣3代入 + y2=1，得17x2﹣48x+32＝0，由判别式大于0，得该方
1 2 1 2 5 1 2 4
48 32 32
程 有 两 个 不 相 等 的 实 根 x ， x ， 则 x +x = ， x x = ， 则 x x x x = ，
3 4 3 4 17 3 4 17 1 2 3 4 17
12 48 444
x +x +x +x = + = ＞5，故C错误，D正确．故选：ABD．
1 2 3 4 5 17 85
12． ．【解答】解： ，由题意得
，所以 ．故答案为： ．
13． ．【解答】解：因为点 在圆 上，圆心坐标为 ，所以 ，
则 ，从而切线 的方程为 ，它与 轴， 轴的交点坐标分别为 ， 和 ，
第2页（共7页）故所求三角形的面积为 ．故答案为： ．
14．1【解答】解：连接F I，F I，因为I是△MF F 的内心，所以F I，F I分别是∠MF F 和∠MF F 的角平分线，
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
由角平分线定理得，|MI| |M F | |M F | ，所以|MI| |M F |+|M F | ，由椭圆的定义知，|
= 1 = 2 = 1 2
|∈| |F N| |F N| |∈| |F N|+|F N|
1 2 1 2
MF |+|MF |＝2a，而|F N|+|F N|＝|F F |＝2c，所以|MI| |M F |+|M F | 2a a 1，所以 |MI|
1 2 1 2 1 2 = 1 2 = = = e⋅ =
|∈| |F N|+|F N| 2c c e |∈|
1 2
1．故答案为：1．
3 1
15．【解答】解：（1）根据A（﹣1，1）、B（﹣2，﹣2），可得AB的中点为D(− ，− )，由AB的斜率
2 2
1−(−2) −1 1 1
k = =3， 可 得 AB 的 垂 线 的 斜 率 k = =− ， 故 k =− ， 可 得 直 线 CD 方 程 为
AB −1−(−2) k 3 CD 3
AB
1 1 3 {x+3 y+3=0 { x=3
y+ =− (x+ )，即x+3y+3＝0，联立 ，解得 ，可得C（3，﹣2），结合圆C的半径r
2 3 2 x+ y−1=0 y=−2
＝|CA| 5，可得圆C的方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝25．
=√(3+1) 2+(−2−1) 2=
|3−2+9|
（2）由（1）的结论，可知点C（3，﹣2）到x+y+9＝0的距离d= =5√2＞5，所以直线x+y+9＝0
√2
与圆C相离，可得|PQ|的最小值为d﹣r=5√2−5．
16．【解答】解：（1）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有 3道难度相当的题目，甲答对每道题目的
2 1
概率都是 ，乙答对每道题目的概率都是 ，对抽到的不同题目能否答对是独立的，甲、乙两人答题互不影响，
3 2
设A ＝“甲答对3道题目”，A ＝“甲答对2道题目”，B ＝“乙答对3道题目”，B ＝“乙答对2道题目”，
1 2 1 2
2 2 2 8 2 2 1 4 1 1 1 1
根据独立事件的性质，可得：P(A )= × × = ，P(A )=3× × × = ，P(B )= × × = ，
1 3 3 3 27 2 3 3 3 9 1 2 2 2 8
1 3
P(B )=3( ) 3= ，设A为“甲、乙两人共答对5道题目”，则A＝（A B ）∪（A B ），∵A B 与A B 互斥，
2 2 8 1 2 2 1 1 2 2 1
A 与 B ，A 与 B 分别相互独立，P（A）＝P（A B ）+P（A B ）＝P（A ）P（B ）+P（A ）P（B ）
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
8 3 4 1 1 1
= × + × = ，∴甲、乙两人共答对5道题目的概率 ．
27 8 9 8 6 6
第3页（共7页）1 1 1 26
（2）C＝“甲通过面试”，D＝“乙通过面试”，C与D相互独立，P(C)=1−P(C)=1− × × = ，
3 3 3 27
1 1 1 7
P(D)=1−P(D)=1− × × = ，E＝“甲、乙两人只有一人通过面试”，则E=(CD)∪(CD)，因为
2 2 2 8
CD与 CD互 斥 ， C 与 D， C与 D 分 别 相 互 独 立 ，
26 1 1 7 11
P(E)=P(CD∪CD)=P(CD)+P(CD)=P(C)P(D)+P(C)P(D) = × + × = ，∴甲、乙
27 8 27 8 72
11
两人只有一人通过面试的概率 ．
72
17．【解答】解：（1）圆C 化成标准方程为（x﹣2）2+y2＝9，圆心C （2，0），半径r ＝3，圆C 化成标准方
2 2 2 1
程 为 （ x+1 ） 2+ （ y﹣ 2 ） 2 ＝ 4 ， 圆 心 C （ ﹣ 1 ， 2 ） ， 半 径 r ＝ 2 ， 由 于
1 1
，故两圆相交．两圆方程作差得（x2+y2+2x﹣4y+1）﹣
|r −r |=1＜|C C |=√9+4=√13＜r +r =5
1 2 1 2 1 2
（x2+y2﹣4x﹣5）＝6x﹣4y+6＝0，即公共弦所在直线的方程为3x﹣2y+3＝0．
（2）设A（x ，y ），B（x ，y ），将y＝kx+1代入x2+y2+2x﹣4y+1＝0，得x2+（kx+1）2+2x﹣4（kx+1）+1＝
1 1 2 2
0 ， 整 理 得 （ 1+k2 ） x2+ （ 2﹣ 2k ） x﹣ 2 ＝ 0 ， Δ ＝ （ 2﹣ 2k ） 2+8 （ 1+k2 ） ＞ 0 ， 所 以
2−2k 2 ，所以 k2−2k+1．由
x +x =− ，x x =− y y =(kx +1)(kx +1)=k2x x +k(x +x )+1=
1 2 1+k2 1 2 1+k2 1 2 1 2 1 2 1 2 k2+1
以线段 AB 为直径的圆经过坐标原点 O，可得 OA⊥OB，即 → → ，可得 x x +y y ＝0，所以
1 2 1 2
OA⋅OB=0
k2−2k−1 ，即k2﹣2k﹣1＝0，解得 或 ．
=0 k=1−√2 k=1+√2
k2+1
18．【解答】（1）证明：连接BD，因为菱形ABCD和等边三角形BCE有公共边BC，点B在线段AE上，所以
∠ABC＝120°，且AB＝BC＝CD＝AD＝CE＝BE，CD∥BE，所以四边形BDCE为菱形，所以BC⊥DE，翻折后
BC⊥DO，BC⊥PO，因为DO∩PO＝O，DO、PO 平面POD，所以BC⊥平面POD，又BC 平面PBC，所以
平面PBC⊥平面POD． ⊂ ⊂
（2）解：由（1）知BC⊥平面POD，因为BC 平面ABCD，所以平面POD⊥平面ABCD，又BC⊥OD，故以
O为原点，OD，OB所在直线分别为 x，y轴⊂，作Oz⊥平面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系，则
D(√3，0，0)，A(√3，2，0)，B（0，1，0），C（0，﹣1，0），因为DP=√3=OD＝OP，所以△POD
第4页（共7页）√3 3 → → √3 3
为等边三角形，∠POD＝60°，所以P( ，0， )，所以
BA=
（√3，1，0），
BP=
（ ，﹣1， ），
2 2 2 2
→ →
{
m⋅BA=√3x+ y=0
→ （0，2，0），设平面PAB的法向量为→ （x，y，z），则 ，令x＝﹣1，则y
CB= m= → → √3 3
m⋅BP= x−y+ z=0
2 2
， z ， 所 以 → （ ﹣ 1 ， ， ） ， 设 平 面 PBC 的 法 向 量 为 → （ a ， b ， c ） ， 则
=√3 =√3 m= √3 √3 n=
→ →
{
n⋅CB=2b=0
→ → √3 3
，令a=√3，则b＝0，c＝﹣1，所以→
n=
（√3，0，﹣1），设平面PAB与平面PBC
n⋅BP= a−b+ c=0
2 2
→ →
夹角为 ，则cos ＝|cos → ， → |=
|m⋅n|
=
|−√3−√3|
=
√21
，故平面PAB与平面PBC夹角的余弦
＜m n＞ → → √7×2 7
|m|⋅|n|
θ θ
√21
值为 ．
7
（3）解：由（2）知P在平面xOz上，且OP ，不妨设P（ cos ，0， sin ）， （0， ），则 →
=√3 √3 √3 AP=
α α α∈ π
（ cos ，﹣2， sin ）， → ，设平面PBC的法向量为→ （x ，y ，
√3 −√3 √3 BP=(√3cosα，−1，√3sinα) m = 1 1
1
α α
→ →
{
z 1 ），则
m
1
⋅CB=2y
1
=0
，取x 1 ＝sin ，得 m → = （sin ，0，﹣cos ），设PA与平面
→ →
1
m ⋅BP=√3cosαx −y +√3sinαz =0
1 1 1 1 α α α
π → →
PBC的夹角为 （ [0， ]），则sin ＝|cos ， |
2
＜AP m
1
＞
φ φ∈ φ
→ →
|AP⋅m | √3sinα √ 3sin2α √3(1−cos2α)，令t＝10﹣6cos [4，
= 1 = = =
→ → √3(cosα−1) 2+4+3sin2α×1 10−6cosα 10−6cosα
|AP|⋅|m | α∈
1
16]，则cos 10−t，所以 √ 1−( 10−t ) 2
= 6 √−t2+20t−64
6 sinφ=√3× =√3×
α t 36t
√3 √ 64 √3 √3 1
= × 20−(t+ )≤ ×√20−16= ，当且仅当t＝8，即cosα= 时，等号成立，所以直线PA与平面
6 t 6 3 3
√3
PBC夹角正弦值的最大值为 ．
3
第5页（共7页）c √2
19．【解答】解：（1）由题意得：e= = ，2c=2，又a2＝b2+c2，则a=√2，b2=1，所以椭圆的标准方程
a 2
x2
为： + y2=1；
2
{
y=x+1
（2）证明：易知F（﹣1，0），l：y＝x+1，设A（x ，y ），B（x ，y ），由 ，得3x2+4x＝0，
1 1 2 2 x2
+ y2=1
2
4 2 4
解 得 x =0，x =− ， 则 |MA|⋅|BF|=√2|x +2|⋅√2|x +1|=2× ×1= ，
1 2 3 1 2 3 3
1 4
|MB|⋅|AF|=√2|x +2|⋅√2|x +1|=2×2× = ，所以|MA|•|BF|＝|MB||AF|；
2 1 3 3
（3）若直线l，m中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线x＝﹣2 平行，所以直线l的斜率
1
存在且不为零，设直线l方程为 y＝k（x+1），则直线m的方程为y=− (x+1)，k≠0，设A（x ，y ），B
1 1
k
{y=k(x+1)
（x ，y ），由 ，消去y得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2＝0，则Δ＝16k4﹣8（1+2k2）（2k2﹣2）＞0，
2 2 x2
+ y2=1
2
4k2 2k2−2，易知x
＞﹣2，x ＞﹣2，将x＝﹣2代入直线l的方程得y＝﹣k，即M
x +x =− ，x ⋅x = 1 2
1 2 1+2k2 1 2 1+2k2
（ ﹣ 2 ， ﹣ k ） ， 则
4k2
− +4
1 1 1 1 1 x +x +4 1 1+2k2 2
+ = + = ( 1 2 )= ( )=
|MA| |MB| √1+k2|x +2| √1+k2|x +2| √1+k2 x x +2(x +x )+4 √1+k2 2k2−2 8k2 √1+k2
1 2 1 2 1 2 − +4
1+2k2 1+2k2
第6页（共7页）1 1 2 2|k|
同理 + = = ，所以 1 1 1 1 √1+2|k|+k2，
|NC| |ND| √ 1 2 √1+k2 + + + =2
1+(− ) |MA| |MB| |NC| |ND| 1+k2
k
√ 2
=2 1+ ≤2√2， 当 且 仅 当 1 ， 即 k ＝ ±1 时 ， 等 号 成 立 ， 所 以
1
=|k|
+|k| |k|
|k|
1 1 1 1
+ + + 的最大值为2√2.
|MA| |MB| |NC| |ND|
第7页（共7页）
