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2025 年 9 月高二五校联考试题（数学）参考答案
《
所以 ，该方程组没有实数解，因此假设不成立，所以 也是空间的一个
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D D B C C B ABC ACD
题号 11
基底, 故 C 正确；对于 D，由题意得 ， ，则 共线，
答案 CD
故点 不能构成三角形，故 D 正确．
8．B【详解】由正方形 ，得 ，而平面 平面
11．CD【详解】对于 A，因为 ， ，
， 平面 ，得 平面 ，又四边形 是
所以 ， ，
正方形，则直线 两两垂直，以点 为原点，直线 分
别为 轴建立空间直角坐标系， ， 所以 ，因为 ，所以
，设与 都垂直的向量
，
，则 ，令 ，得 ， 所以 ，所以 ，A 正确，对于 B，连接 ， 由选项 A 知 ，
因为在平行四边形 中， ，所以四边形 为菱形，
所以 的最小值为 .
所以 ，因为 ， 平面 ，
9．ABC【详解】对于 D，假设存在 ，使 ，则 ，解得 或 ， 所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
当 ， ， ，两直线重合，舍去， 因为 ， ，所以 ，
当 时， ，即 ， 所以 ，由于 ，
，即 ，两直线重合，舍去， 所以 ，所以 为直角三角形，即 ，因为 ，所以
所以不存在 ，使 ，故 D 错误. ，因为 ， 平面 ，所以 平面 ，所以 B 正确，对
10．ACD【详解】对于 B，注意线面角的范围是 ，因为直线 的方向向量与平面 的法向量 于 C，因为四边形 为平行四边形，所以 为 的中点，
的夹角为 ，所以直线 与平面 所成的角为 ； 所以 ，所以 ，所以 C 错误，
对于 C，假设 不是空间一个基底， 对于 D，设 ， ，因为在菱形 中， ，所以
那么存在实数 使得 成立． ，因为 ，
高二数学第 1 页 共 3 页所以
当截距相等且不为 时，设直线方程为 ，
，所以 ，所以 D 错误，
因为直线过点 ，则代入直线方程得， ，则直线方程为 ...............12 分
12． 13． 或 14． 【详解】设
所以直线方程为 或 ..........................................13 分
，其中 ，
16.【详解】（1） ，............................................2 分
，
，.................6 分
， ，
所以 ．...........................................7 分
因为 、 、 、 四点共线，则向量 、 、 共面，
设 为异面直线 与 所成的角，
由共面向量定理可知，存在 、 使得 ，
................10 分
即
..........................................12 分
，
所以， ，解得 . 所以异面直线 与 所成的角 .....................................15 分
15．(1)①解法 1：设 的中点为 ，由中点坐标公式可得 ，
17．【详解】（1）将直线 的方程整理得 ，........................1 分
由两点式得 所在直线方程为 ，即 ．..............3 分
令 ，解得 所以直线 恒过点 ．........................4 分
解法 2：设 的中点为 ，由中点坐标公式可得 ，
则 ，
则定点 到直线 的距离为 ．........................7 分
所以 所在直线方程为 ，即 ．
（2）由（1）可得直线 过定点，设定点为 ．
②因为 ， ，
当 时，点 到直线 的距离最大，........................9 分
所以 边上的高所在直线方程为 ，即 ．..............6 分
且最大距离 ，即点 到直线 的最大距离为 ．........................11 分
(2)【详解】（1）当截距为 时，设直线方程为 ，
此时 ，直线 的斜率 ，解得 ．.........15 分（写对一个斜率给 1 分）
因为直线过点 ，则 ，解得 ，所以直线方程为 ；............9 分
高二数学第 2 页 共 3 页18.【详解】（1）取 的中点 ，连接 ，...............................................1 分 ∵底面 是边长为 的正方形，即 ...................................4 分
∵ 平面 ， 平面 ，...................................5 分
则 且 ，又 且 ，所以 且 ，
又∵ 平面 ，∴ ，
所以四边形 为平行四边形，得 ，..............................................4 分
∵ 平面 ， 平面 ...................................6 分
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .....................5 分
（2）解：以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立如图空间直角坐标系，...7 分
（2）建立如图空间直角坐标系 ，..............................................................6 分
设 ，则 ，...................8 分
则 ，..............7 分
........................................9 分
有 ，................................8 分
设平面 的法向量为 ，
设平面 与平面 的一个法向量分别为 ，
则 ，即 ，
则 ，
令 ，得 ，所以 ，.............12 分（每个法向量各 2 分） ，取 ，得
则 ，..............................................................13 分 ，......................................................................11 分
与平面 所成角的正弦值为
即平面 与平面 所成角的余弦值为 ......................................14 分
，.........................................14 分
（3）由 ，平面 的一个法向量为 ，
则点 到平面 的距离为 ................................17 分
当且仅当 ，即 时等号成立.
19．【详解】（1）证明： 平面 ， 平面 ，
，
为 与平面 平面所成的线面角，
∵ 与平面 所成的线面角为 ......................................1 分
三棱锥 的体积 ................................17 分
，...................................2 分
∵ 为 的中点， ，...................................3 分
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