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2025春蕲春一中高二年级三月月考
数学试卷
一、单选题
1．某书架的第一层放有7本不同的历史书，第二层放有6本不同的地理书.从这些书中任取
1本历史书和1本地理书，不同的取法有（ ）
A．13种 B．42种 C． 种 D． 种
【答案】B
2．在数列 中， ， （ ， ），则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
3．数字0，1，1，2可以组成不同的三位数共有（ ）
A．24个 B．12 C．9个 D．6个
【答案】C
4．设O为坐标原点，长为4的线段 的两个端点 分别在x轴、y轴上滑动，若点P
满足 ，则点 的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
5．函数 （ 自然对数的底数）的部分图象大致是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
6．已知数列 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
7．已知双曲线 的右焦点为 ，过点 的直线 与双曲线 的右
支交于 、 两点，且 ，点 关于原点 的对称点为点 ，若 ，则
双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
8．已知实数 满足 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
二、多选题
9．定义在 上的函数 的导函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是
（ ）A．函数 在 上单调递减 B．函数 在 上单调递减
C．函数 在 处取得极小值 D．函数 在 处取得极大值
【答案】AD
10．已知数列 的通项公式为 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
11．已知 为坐标原点，抛物线 的方程为 ，过点 且斜率为 的直
线交 于 两点，点 在第四象限，设直线 的斜率分别为 ，下列结论正确的
是（ ）
A．若 为正三角形，则 B．若 为正三角形，则
C． D．
【答案】AC
三、填空题
12．用 这六个数字，可以排成没有重复数字的三位偶数的个数为 （用数
字作答）
【答案】60【分析】直接由排列数即可求解.
13．若 ， ，且函数 在 处有极值，则 的最小值
等于 ．
【答案】
14．在数学中连加符号是“ ”，这个符号就是连续求和的意思，把满足“ ”这个符号下面条件的所有项都加起来，例如： ．类似的在数学中连乘符号是“
”，这个符号就是连续求积的意思，把满足“ ”这个符号下面条件的所有项都乘起来，
例如： ．已知数列 满足： ，则
．
【答案】1
四、解答题
15．设
(1)求函数 的单调递减区间；
(2)若方程 有3个不同的实根， 求a的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) .
16.记S 为数列{α}的前n项和，已知S=2n-1
n n n
（1）求{α}的通项公式
n
（2）设b=2n·α，求数列{b }的前n项和T
n n n n17．已知㭻圆 ： （ ）经过点 ，离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 与椭圆 交于点 （异于顶点）与 轴交于点 ，点 为椭圆的右焦点， 为
坐标原点， ，求直线 的方程.
【答案】(1)
(2)
18．已知函数 且 .
(1)计算 ， ；
(2)求通项公式 ；
(3)设 为数列 的前n项和，求 ；
【答案】(1) ；5
(2)(3)
19．已知 .
(1)求 的单调区间；
(2)函数 的图象上是否存在两点 （其中 ），使得直线 与函
数 的图象在 处的切线平行？若存在，请求出直线 ；若不存在，请说明
理由.
【详解】（1）由题可得
因为 ，所以 ，
所以当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增.
综上， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）由题意得，斜率
，
,
由 得，
，即 ，即令 ，不妨设 ，则 ，
记
所以 ，所以 在 上是增函数，所以 ，
所以方程 无解，则满足条件的两点 不存在.
