文档内容
黄梅县育才高级中学9月月考
高二数学试题
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择
题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在
试卷上无效。3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
⃗ ⃗ ⃗
1.如图，在正方体ABCD−A 1 B 1 C 1 D 1 中，AB+B C +DD =( )
1 1 1
⃗ ⃗
A. A C B. ⃗AC C. ⃗B D D. BD
1 1
1 1
⃗
2.已知向量⃗a=(2,1,−3)， b=(x,−1,−2) ，并且⃗a⊥⃗b，则实数x的值为( )
5 7 5 7
A. B. C. − D. −
2 2 2 2
3.在空间中，A(1,−1,2)，B(3,3,2)，C(2,6,2)，则∠ABC的大小为( )
A. 45° B. 60° C. 90° D. 135°
⃗
|AC| 1
4.已知点A(4,1,3)，B(2,−5,1)，C为线段AB上一点且 = ，则点C的坐标
⃗ 3
|AB|
为( )
(7 1 5) (3 ) (10 7) (5 7 3)
A. , , B. ,−3,2 C. ,−1, D. ,− ,
2 2 2 8 3 3 2 2 2
5.已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则⃗AE⋅⃗AF的
值为( )
1 1 √3
A. a2 B. a2 C. a2 D. a2
2 4 4
⃗ ⃗ ⃗
6.设x，y∈R，向量 a=(x,1,1) ， b=(1,y,1) ， c=(2,−2,2) ，且⃗a⊥⃗c，⃗b//⃗c ，
⃗ ⃗
则|a+b|=( )
A. 2√2 B. 3 C. √5 D. 4
2
7.甲、乙两个实习生每人加工一个零件，他们将零件加工为一等品的概率分别为 和
3…
…
…
…
○
…
…
…
…
线
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○
…
…
…
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订
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○
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装
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○
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内
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…
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…
○
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※※题※※答※※内※※线※※订※※装※※在※※要※※不※※请※※
…
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○
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线
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○
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订
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○
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装
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…
…
…
○
…
…
…
…
外
…
…
…
…
○
…
…
…
…
3
，两个零件是否被加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个被加工为一等
4
品的概率为 ( )
1 5 1 1
A. B. C. D.
2 12 4 6
1 2 3
8.三个元件T ，T ，T 正常工作的概率分别为 ， ， ，且它们正常工作与否是相
1 2 3 2 3 4
互独立的．如图，将T ，T 两个元件并联后再与T 元件串联接入电路，则电路不发生
2 3 1
故障的概率是 ( )
11 23 1 17
A. B. C. D.
24 24 4 32
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.在平行六面体ABCD−AˈBˈCˈDˈ中，与向量⃗AB相等的向量有( )
⃗ ⃗
A. ⃗CD B. C. D. ⃗BC
A′B′ D′C′
10.若⃗a，⃗b，⃗c是平面内的任意三个向量，λ∈R，下列关系中，不恒成立的是( )
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ A. |a+b|=|b−a|
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
B. (a+b)·c=a·(b+c)
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
C. λ(a+b)=λa+λb
D. ⃗b=λ⃗a
⃗ 1 ⃗ 2 ⃗
A. 若AD= AB+ AC，则⃗BC=3⃗BD
3 3
⃗ 1 ⃗ 1 ⃗ 1 ⃗
B. 若G为△ABC的重心，则MG= MA+ MB+ MC
3 3 3
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
C. 若 MA⋅BC=0 ， MC⋅AB=0 ，则 MB⋅AC=0
| ⃗ |
D. 若三棱锥M−ABC的棱长都为2，P，Q分别为MA，BC中点，则 PQ =2
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC与BD交于点O，点G为
BD上一点，BG=2GD，⃗PA=⃗a，⃗PB=⃗b，⃗PC=⃗c，用基底 a, ⃗ b, ⃗ c 表示向量 P ⃗ G=
．
⃗
13.已知向量⃗a=(2,−1,3)，⃗b=(−1,4,−2)，
c=(7,5,λ)
，若⃗a，⃗b，⃗c共面，则λ=
．
第 页，共 页
2 214.某结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点A为端点的三条棱长都为2，且它们彼
π
此的夹角都是 ，则体对角线A C的长度是 ．
3 1
四、解答题：本大题共5小题，共60分。
15.(本小题12分)
如图，在平行六面体ABCD−A B C D 中，AB=5，AD=3，A A =4，
1 1 1 1 1
∠DAB=90°，∠BA A =∠DA A =60°，E是CC 的中点，设⃗AB=⃗a，⃗AD=⃗b，
1 1 1
⃗A A =⃗c．
1
(1)用⃗a，⃗b，⃗c表示⃗AE；
(2)求AE的长．
16.(本小题12分)
⃗ ⃗
已知空间中三点A(2,0,−2)，B(1,−1,−2)，C(3,0,−4)，设⃗a=⃗AB， b=AC ．
|⃗| ⃗ ⃗
(1)若 c =3 ，且 c//BC ，求向量⃗c；
(2)已知向量k⃗a+⃗b与⃗b互相垂直，求k的值．
17.(本小题12分)
如图，已知线段AB⊥平面α，BC⊂α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且
∠DCF=30°，D与A在α的同侧，若AB=BC=CD=2，求A，D两点间的距离．
18.(本小题12分)
南充高中扎实推进阳光体育运动，积极引导学生走向操场，走进大自然，参加体育锻
炼，每天上午第三节课后全校大课间活动时长为35分钟．现为了了解学生的体育锻炼
时间，采用简单随机抽样的方法抽取了100名学生，对其平均每日参加体育锻炼的时
间(单位：分钟)进行调查，按平均每日参加体育锻炼的时间分组统计如下表：…
…
…
…
○
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
订
…
…
…
…
○
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…
…
…
装
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…
…
○
…
…
…
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内
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…
…
○
…
…
…
…
※※题※※答※※内※※线※※订※※装※※在※※要※※不※※请※※
…
…
…
…
○
…
…
…
…
线
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…
○
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…
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订
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○
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…
…
…
装
…
…
…
…
○
…
…
…
…
外
…
…
…
…
○
…
…
…
…
分组 [0,30) [30,60) [60,90) [90,120) [120,150) [150,180]
男生人数 2 16 19 18 5 3
女生人数 3 20 10 2 1 1
若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”．
(1)将频率视为概率，估计该校7000名学生中“锻炼达人”有多少？
(2)从这100名学生中的“锻炼达人”中按性别用比例分配的分层随机抽样的方法抽取
5人参加某项体育活动．
①求男生和女生各抽取了多少人；
②若从这5人中随机抽取2人作为组长候选人，求抽取的2人中男生和女生各1人的概率．
19.(本小题12分)
B+C
在▵ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin =asinB．
2
(1)求A；
(2)若a=3，点D在边BC上，AD=2,DC=2DB，求▵ABC的面积．
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4 2答案和解析
1-8 B C D C C C B A
9-11 BC ABD BC
2⃗ 1⃗ 2⃗
12.【答案】 a− b+ c
3 3 3
65
13.【答案】
7
14.【答案】2√2
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 1⃗
15.【答案】解：(1)AE=AB+BC+CE=a+b+ c．
2
⃗ ⃗ ⃗ 1⃗
(2)由(1)得AE=a+b+ c，所以
2
⃗ ⃗ ⃗ 1⃗ 2 ⃗ ⃗ 1⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
|AE|2=(a+b+ c) =a2+b2+ c2+2a⋅b+a⋅c+b⋅c
2 4
=25+9+4+0+(20+12)×cos60°=54，故 | A ⃗ E | =3√6 ．
16.【答案】解： ∵空间中三点A(2,0,−2).B(1,−1,−2)，C(3,0,−4)，
⃗ ⃗
∴a=AB=(1,−1,−2)−(2,0,−2)=(−1,−1,0) ，
⃗ ⃗
b=AC=(3,0,−4)−(2,0,−2)=(1,0,−2) ，
⃗
BC=(3,0,−4)−(1,−1,−2)=(2,1,−2) ．
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
(1)∵c//BC，∴设 c=mBC ，m∈R，
⃗ ⃗
∴c=mBC=m(2,1,−2)=(2m,m,−2m) ，
∴ |⃗ c | =√(2m) 2+m2+(−2m) 2=3|m|=3 ，∴m=−1或m=1，
⃗ ⃗
∴c=(2,1,−2) 或c=(−2,−1,2) ．
⃗ ⃗
(2)∵ka+b=k(−1,−1,0)+(1,0,−2)
⃗
=(1−k,−k,−2)，b=(1,0,−2) ，且向量k⃗a+⃗b与⃗b互相垂直，
⃗ ⃗ ⃗
∴(ka+b)⋅b=1−k+4=0，解得k=5，
∴k的值是5．…
…
…
…
○
…
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…
订
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○
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…
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○
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※※题※※答※※内※※线※※订※※装※※在※※要※※不※※请※※
…
…
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○
…
…
…
…
线
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…
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○
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订
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○
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…
…
…
装
…
…
…
…
○
…
…
…
…
外
…
…
…
…
○
…
…
…
…
17.【答案】解： 因为，AB⊥平面α，DF⊥平面α，所以AB//DF，又
∠DCF=30°，所以⃗AB与⃗CD的夹角为120°．
因为AB=BC=CD=2，⃗AD=⃗AB+⃗BC+⃗CD，CD⊥BC，
所以 | ⃗ | 2 ( ⃗ ⃗ ⃗ ) 2
AD = AB+BC+CD
2 2 2
| ⃗ | | ⃗ | | ⃗ | ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
= AB + BC + CD +2AB⋅BC+2AB⋅CD+2BC⋅CD=12+2×(2×2×cos90°+2×2×cos120°+2×2×cos90°)=8
| ⃗ |
所以 AD =2√2 ，即A，D两点间的距离为2√2．
18.【答案】解：(1)由表可知，100名学生中“锻炼达人”的人数为10人，
10
将频率视为概率，我校7000名学生中“锻炼达人”的人数为7000× =700(人)
100
(2)①由(1)知100名学生中的“锻炼达人”有10人，其中男生8人，女生2人．
从10人中按性别分层抽取5人参加体育活动，则男生抽取4人，女生抽取1人．
②抽取的5人中有4名男生和1名女生，四名男生依次编号为男1，男2，男3，男4，
则5人中随机抽取2人的所有结果有：
男1男2，男1男3，男1男4，男1女，男2男3，男2男4，男2女，男3男4，男3女，男4
女．共有10种结果，
且每种结果发生的可能性相等．
记“抽取的2人中男生和女生各1人”为事件A，
则事件A包含的结果有男1女，男2女，男3女，男4女，共4个，
4 2
故抽取的2人中男生和女生各1人的概率P(A)= = ．
10 5
B+C
19.【答案】【详解】(1)由正弦定理得，sinBsin =sin AsinB，
2
B+C A A A
因为sinB>0，所以sin =sinA，即cos =sinA=2sin cos ，
2 2 2 2
A ( π) A 1 π 又因为 ∈ 0, ，所以sin = ，故A= ；
2 2 2 2 3
⃗ 1 ⃗ 2 ⃗
(2)由DC=2DB知，AD= AC+ AB，
3 3
2 2 2 | ⃗ | 1| ⃗ | 4| ⃗ | 4| ⃗ || ⃗ |
则有 AD = AC + AB + AB AC cos∠BAC，
9 9 9
1 4 2
即4= b2+ c2+ bc，化简得b2+4c2+2bc=36，
9 9 9
8−b2
在▵ACD中，由余弦定理得cos∠ADC= ，
8
第 页，共 页
6 25−c2
在▵ABD中，由余弦定理得cos∠ADB= ，
4
由cos∠ADB+cos∠ADC=0，则2c2+b2=18，
则2(2c2+b2)=4c2+b2+2bc，化简得b=2c，
则(2c) 2+4c2+2×2c×c=36，即c2=3，则c=√3(负值舍去)，
1 3√3
所以S = bcsin∠BAC= ．
▵ABC 2 2
