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白银市第八中学 2025 届高三 1 月阶段性考试试卷
科目：数学 命题人：张德刚
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.）
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由一元二次函数性质求出集合B，再由交集定义计算即可得解.
【详解】因为 ，
所以
，又 ，
所以 .
故选：B.
2. 已知 ， ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用诱导公式及同角公式计算得解.
【详解】由 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司得 .
故选：D
3. 已知a，b，c成等差数列，直线 与圆 交于A，B两点，则 的最
小值为（ ）
A. 1 B. 3 C. 4 D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合等差数列性质将 代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.
【详解】因为 成等差数列，所以 ， ，
代入直线方程 得 ，
即 ，令 ，得 ，
故直线 恒过 ，设 ，该点在圆 内，
画出直线与圆的图形，由图可知，当 时， 最小，
， ，此时 .
故选：C.
4. 已知关于x的函数 在 上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复合函数的单调性及对数函数的定义域求解即可.
【详解】由题意， 在 上单调递减，
则函数 在 上单调递减，
且 对于 恒成立，
则 ，解得 .
故选：A.
5. 已知 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】运用全概率和条件概率公式，结合对立事件概率求解即可.
【详解】 ，则 .
由于 ，则 .
则 ，
则 .
故选：B．
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学科网（北京）股份有限公司6. 如图，在平行六面体 中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都
是 ，在下列结论中错误的是（ ）
A. B.
C. D. 向量 与 的夹角是
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行六面体的向量运算、向量的模、向量的夹角，数量积等概念和公式.通过向量运算法则分
别对每个选项进行分析判断.
【详解】对于A，在平行六面体中，根据向量加法的三角形法则， ，
由于 ， ，所以 ，选项A正确.
对于B，已知以顶点 为端点的三条棱长均为 ，且它们彼此的夹角都是 .
，则
.所以 ，选项B正确.
对于C， ，
，
因为 ，所以 ，选项C正确.
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学科网（北京）股份有限公司对于D， ，设向量 与 的夹角为
，
，
所以 ，选项D错误.
故选：D.
7. 设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，判断a,b,c与 的大小关系，结合幂函数的单调性即可确
定a,b,c的关系.
【详解】 ，
，
因为 单调递增，所以 ，
因为 单调递减，所以 ，
所以 ，综上 ,
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学科网（北京）股份有限公司.
故选：D
8. 过椭圆 上的点M作圆 的两条切线，切点分别为P，Q.若直线PQ在
轴、 轴上的截距分别为 ，若 ，则椭圆离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设出相关点的坐标，借助垂直关系的坐标表示求出直线 方程，进而求出 ，再代入已知并
求出离心率.
【详解】设 ，则 ，
令坐标原点为 ， ，由 切圆 于 ，
得 ，则 ，于是 ，
同理 ，因此直线 的方程为 ， ，
因此 ，即 ，
所以椭圆离心率 .
故选：A
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学科网（北京）股份有限公司二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 下列说法命题正确的是（ ）
A. 在空间直角坐标系中，已知点 ， ， ，则 三点共线
B. 若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则
C. 已知 ， ，则 在 上的投影向量为
D. 已知三棱锥 ，点 为平面 上 的一点，且 ，则
【答案】CD
【解析】
【分析】根据空间向量共线的充要条件计算可判定 A，利用空间向量研究线面关系可判定B，根据数量积
的几何意义计算投影向量可判定C，利用四点共面的推论可判定D.
【详解】对于A，易知 ，显然 ，所以 不共线，即A
错误；
对于B，由题意可知 ，所以 不垂直，即B错误；
对于C， 在 上的投影向量为 ，即C正确；
对于D，由于 四点共面，则 ，所以 ，即D正确.
故选：CD
10. 下图是函数 的部分图象，则下列结论正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A.
B. 将 图象向右平移 后得到函数 的图象
C. 在区间 上单调递增
D. 若 ，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据给定的函数图象，利用五点法作图求出 ，再结合正弦型函数图象与性质逐项分析判断.
【详解】对于A，观察图象， ， 的最小正周期 ，解得 ，
由 ，得 ， ，而 ，则 ， ，
所以 ，故A正确；
对于B，将 图象向右平移 后得到函数 ，故B错
误；
对于C，当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司而正弦函数 在 上单调递增，
因此 在区间 上单调递增，故C正确．
对于D，因为 ，取 ，满足条件，
此时 ，故D错误．
故选：AC.
11. 已知 为坐标原点，抛物线y2=2px(p>0)上有异于原点的A(x ,y )，B(x ,y )两点， 为抛物线的
1 1 2 2
焦点，以 为切点的抛物线的切线分别记为 ， ，则（ ）
A. 若 ，则 三点共线 B. 若 ，则 三点共线
C. 若 ，则 三点共线 D. 若 ，则 三点共线
【答案】BC
【解析】
【分析】设 方程，联立抛物线方程，利用韦达定理表示 ， .AB：结合所给的
条件即可判断；C：分别求出切线 、 的方程，由斜率之积为 可得 即可判断；D：结合
抛物线的定义化简计算即可判断.
【详解】设直线 的方程为 ，代入抛物线方程得 ，
则 ， ， ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司.
选项A：若 ，则 ，得 ，
故直线 ： ，不一定经过焦点 ， 三点不一定共线，故A错误.
选项B：若 ，则 ，得 ，
故直线 ： ，经过焦点 ， 三点共线，故B正确.
选项C：设在点A(x ,y )处的切线方程为 ： ，即 ，
1 1
与抛物线方程联立 得 ，
，即 ，解得 ，
所以 ： ，即 ，
即切线 的方程为 ，同理切线 的方程为 ，
由 ，得 ，得 ，由B知直线 经过焦点 ，故C正确.
选项D：因为 ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司整理得 ，则 ，故直线 ： ，
不一定经过焦点 ， 三点不一定共线，故D错误.
故选：BC
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知 ，抛物线 的焦点为F， 为 上一点，若 ，则
______．
【答案】5
【解析】
【分析】根据题意， 即 ，利用数量积的坐标运算和点 在抛物线上求得
，最后再由抛物线的定义求解.
【详解】由题可知 ， ， ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，解得 ，
所以 ，所以 .
故答案为：5.
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学科网（北京）股份有限公司13. 二项式 的展开式中， 项的系数为______.
【答案】80
【解析】
【分析】利用二项式定理计算得到答案.
【详解】 的展开式的通项为：
，
令 ，解得 ，
所以 项的系数为 .
故答案为：80.
14. 已知正实数 满足 则当 取得最小值时，
______
【答案】
【解析】
【分析】设出点之间的距离，由基本不等式求出最值，利用点和圆的位置关系确定自变量取值，代入求解
即可.
【详解】设点 与点 之间的距离为 ，则 ，
易知 的几何意义是点 与点 之间的距离的平方，
点 在以 为圆心，半径为 的圆上，又 ，则 ，
设点 与点 之间 的距离为 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司故 ，当且仅当 时取等，
此时 取得最小值，由点与圆的位置关系得 ，此时 ，
代入 得， .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是利用基本不等式找到关于 的取值．再利用点与圆
的位置关系确定此时 也取得最小值，然后将 代入目标式，得到所要求的结果即可．
四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.）
15. 在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，且 ，求 的面积．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式以及正弦定理计算可得结果；
（2）利用余弦定理以及各边长度代入解方程可得 ，再由三角形面积公式计算可得结果.
【小问1详解】
由 可得 ，
根据正弦定理可得 .
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司由 可得 ，
整理可得 ，即 ；
解得 或 ；
当 时，由 ， 可得 ，与 矛盾，舍去；
可得 ，代入 ， 可得 ，
解得 ，所以 ；
由 可得 ，即 ；
所以 的面积为
16. 记 为数列 的前 项和，已知 ．
（1）证明： 是等差数列；
（2）若 成等比数列，求 的最大值．
【答案】（1）证明见解析.
（2）90.
【解析】
【分析】（1）利用 与 的关系结合等差数列的定义即可证明.
（2）利用等差数列的通项公式与等比中项的性质求出 ，从而得到 ，再借助单调性及等差数列前 项
和公式求得答案.
【小问1详解】
数列 中，由 ，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，
两式相减得 ，即 ，
因此 ，所以 是等差数列.
【小问2详解】
由（1）知数列 的公差为 ，
由 成等比数列，得 ，解得 ，
于是 ，由 ，得 ，
数列 是首项为正，公差为负的递减等差数列，前9项为正，第10项为0，从第11项起为负，
所以数列 前9项或前10项和最大， 的最大值为 .
17. 如图（1），在平面四边形 中 ， ， ， 过点
作 ，垂足为 ．如图（2），把 沿 折起，使得点A到达点 处，且 ．
（1）证明： ．
的
（2）若点 为 中点，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
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学科网（北京）股份有限公司（2） .
【解析】
【分析】（1）先证明 平面 ，可得 ，连接 ，再证明 平面 ，进而可
得；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面 的一个法向量，代入空间线面角公式计算即可；
【小问1详解】
依题意， ，而 ， 平面 ，
则 平面 ，又 平面 ，则 ，
由 ， ，得 ， ，
连接 ，则 ，而 ， 平面PCE，
因此 平面 ，又 平面 ，
所以 ．
【小问2详解】
由（1）知 两两垂直，
以点 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，
所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
18. 近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活.现将一周网上买菜次数超过3次的市
民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”.某市 社区
为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示：
合计
喜欢网上买
不喜欢网上买菜
菜
年龄不超过45岁的市民 40 10 50
年龄超过45岁的市民 20 30 50
合计 60 40 100
（1）试根据 的 独立性检验，分析 社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？
（2）M社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜
如果周一选择 平台买菜，那么周二选择 平台买菜的概率为 ，如果周一选每 平台买菜，那么周二选
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学科网（北京）股份有限公司择 平合买菜的概率为 ，求小张周二选择 平台买菜的概率；
（3）用频率估计概率，现从M社区随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为随机变量 ，
并记随机变量 ，求 、 的期望和方差.
参考公式： ，其中 .
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式及数据： ，其中 .
【答案】（1）有关 （2）
（3） ， ， ，
【解析】
【分析】（1）由独立性检验相关知识可得答案；
（2）由题结合全概率公式可得答案；
（3）由题可得 ，后由期望与方差性质可得答案.
【小问1详解】
假设 ：M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄无关.
由给定的 列联表，得： .
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，
即认为是否喜欢网上买菜与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于 .
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
设 表示周 在A平台买菜， 表示周 在B平台买菜，
由题可得 ，
由全概率公式，小张周二选择 平台买菜的概率为：
；
【小问3详解】
依题意，喜欢网上买菜的概率为： .
从M社区随机抽取20名市民，其中喜欢网上买菜的市民人数 服从二项分布： ，所以
， .
又 ，所以 ， .
19. 已知 ， 分别是椭圆 的左、右顶点，P（异于点A，B）是C
上的一个动点， 面积的最大值为2．
的
（1）求椭圆C 方程；
（2）记直线PA，PB的斜率分别为 ， ，求 的值；
（3）直线l交椭圆C于M，N两点（异于A，B两点），直线AM，AN的斜率分别为 ， ，且
，证明：直线MN过定点．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据条件可知当点 在椭圆上、下顶点处时， 面积的最大，由此可计算椭圆标准方
程.
（2）设P(x ,y )，表示 ，利用点 在椭圆上可求结果.
0 0
（3）设l的方程为 ，与椭圆方程联立，利用 可计算出 的值，即可证明结论.
【小问1详解】
由题意得， .
当点 在椭圆上、下顶点处时， 面积的最大，此时面积为 ，
∴ ，∴椭圆C的方程为 ．
【小问2详解】
设P(x ,y )，则 ，即 ，
0 0
∴ ．
【小问3详解】
由题意知直线l的斜率不为0，设l的方程为 ，M(x ,y )，N(x ,y )．
1 1 2 2
由 得 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，即 ，
∴ ，
解得 或 （舍）．
当 时，满足 ，此时MN的方程为 ，故直线MN过定点 ．
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学科网（北京）股份有限公司
