文档内容
蕲春一中高一 5 月月考试题
测试时间：2025-5-25 19:40-21:40
一、单选题
1．设复数 ，则 的共轭复数 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．下列命题中正确的个数是．
①若直线 上有无数个点不在平面 内，则
②若直线 与平面 平行，则 与平面 内的任意一条直线都平行
③若直线 与平面 平行，则 与平面 内的任意一条直线都没有公共点
④如果两条平行直线中的一条直线与一个平面垂直，那么另一条直线也与这个平面垂直
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
3．已知 ，点 在线段 的延长线上，且 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量 ，满足 ，则 （ ）
A． B． C．20 D．5
5．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱 .若侧面
水平放置时，水面恰好过 ， ， ， 的中点.那
么当底面 水平放置时，水面高为（ ）
A．7 B．6 C．4 D．3
6．知 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．已知锐角 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．将边长为 4 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 进行翻折，使得二面角 的大小为
，连接 AC，得到四面体 ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为（ ）A． B． C． D．
二、多选题
9．下列结论正确有（ ）
A．若 与 都是单位向量，则
B．方向为南偏西 60°的向量与北偏东 60°的向量是共线向量
C．直角坐标平面上的 x 轴､y 轴都是向量
D．若用有向线段表示的向量 与 不相等，则点 M 与 N 不重合
10．已知等边 的边长为 6， 分别为边 的中点，将 沿 折起至
，在四棱锥 中，下列说法正确的是（ ）
A．直线 平面
B．当四棱锥 体积最大时，平面 平面
C．在折起过程中存在某个位置使 平面
D．当四棱锥 体积最大时，它的各顶点都在球 的球面上，则球 的表面积
为
11．在锐角 中，内角 所对的边分别为 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．若 ，则
三、填空题
12．已知单位向量 夹角为 ，若 ，则实数 .
13．空间 4 个平面最多能将空间 分成个区域.
14．下列命题：
①若 ， ， ， 为锐角，则实数 的取值范
围是 ；
②若非零向量 ，且 ，则 为等边三角形；
③若单位向量 ， 的夹角为 60°，则当 取最小值时， ；
④已知 O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点 满足
试卷第 1 页，共 3 页， ，则动点 一定通过 的重心；
⑤如果 内接于半径为 的圆，且 ，则 的面
积的最大值为 .
其中正确的序号为 ．
四、解答题
15．如图，直三棱柱 中， ， 、 分别为 、 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： .
16．如图，在凸四边形 中，已知 ．
(1)若 ， ，求 的值；
(2)若 ，四边形 的面积为 4，求 的值．
17．如图，支座 受 ， 两个力的作用，已知 与水平线成 角， ， 沿水
平方向， ， 与 的合力 的大小为 ．
(1)求 .
(2)求 与 的夹角 的余弦值．18．如图，在三棱锥 P-ABC 中，∠ACB=90°，PA⊥底面 ABC.
(1)求证：平面 PAC⊥平面 PBC；
(2)若 AC=BC=PA，M 是 PB 的中点，求 AM 与平面 PBC
所成角的正切值；
(3)在（2）的条件下，求平面 PAB 与平面 PBC 夹角的正
弦值.
19．在 中， ， ， 对应的边分别为 ， ， ，
(1)求 ；
(2)若 为线段 内一点，且 ，求线段 的长；
(3)法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字
来命名，如对于任意的 ，都有 被称为柯西
不等式；在（1）的条件下，若 ，求：
的最小值；
试卷第 1 页，共 3 页参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C A B A D D BD ABD
题号 11
答案 ACD
1．D
【分析】先对复数化简，然后求出其共轭复数，从而可求出 的虚部.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 的共轭复数 的虚部为 .
故选：D
2．C
【详解】试题分析：①中直线 与平面 可能相交可能平行，故①错；②中直线 与平面 内
的直线可能平行，可能异面，故②错；③对；根据线面垂直的判定可知④对；故选 C；
考点：线面的位置关系；
3．C
【分析】根据已知条件及中点坐标公式即可求解.
【详解】因为点 在线段 的延长线上，且 ，所以点 为 中点，
设点 ，则 ，解得 ，所以点 的坐标为 .
故选：C.
4．A
【分析】借助模长与数量积的关系计算后结合已知条件代入即可得.
【详解】 ，
，
答案第 1 页，共 2 页故 .
故选：A.
5．B
【分析】先根据水平放置时，水的形状为直四棱柱，求出水的体积，再求出当底面 水
平放置时，水面高即可.
【详解】设三棱柱的底面 的面积为 ，高为 ，则 .
当侧面 水平放置时，水的形状呈直四棱柱形，
由于液面恰好经过 的中点，则直四棱柱的底面积是直三棱柱底面积的 ，
即直四棱柱的底面积是 ，
所以水的体积 ，
当底面 水平放置时，设水面高为 ，则 ，
从而有 ，所以 ，
即当底面 水平放置时，水面高为 6.
故选：B.
6．A
【分析】根据复数除法运算，复数相等即可求实数 .
【详解】依题意得
，
故 .
故选：A.
7．D
8．D
【分析】根据题意得到翻折后四面体 ABCD 是 2 个直角三角形构成的，所以外接球球心在
斜边的中点处，可得到半径进而求得体积，由翻折特性可知 平面 AOC，又
可求体积.
答案第 1 页，共 2 页【详解】翻折后所得图形如下图所示，易知 BD 的中点 O 为球心，
故该四面体的外接球体积 ，
又 ， 平面 AOC， ，
所以 平面 AOC，
二面角 的大小为 ， ，
,
故所求体积之比为 ，
故选：D．
9．BD
【分析】根据题意，由平面向量的相关定义，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于 A，因为 与 的方向可能不同，故错误；
对于 B，因为这两个向量的方向是相反的，所以是共线向量，故正确；
对于 C，因为 轴与 轴只有方向没有大小，所以都不是向量，故错误；
对于 D，假设点 与点 重合，则向量 ，与已知矛盾，所以假设不成立，即点 M
与 N 不重合，故正确；
故选:BD
10．AB
【分析】根据折叠前后 不变判断 A；根据变化过程 的变化可知 B 正确；反证法
判断 C；求出球的半径计算面积判断 D.
【详解】A：因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以直线 平面 ，故 A 正确；
B：设点 到平面 的距离为 ，则 ，
设 为 的中点，延长 交 于 ，
答案第 1 页，共 2 页因为 ， ， 面 ，则 平面 ，
过 作 于 ，因为 面 ，所以 ，
又 ， 面 ，所以 面 ，显然 ，
又易知梯形 的面积为定值，所以当 面 时， 的体积最大，
又 面 ，所以 平面 ，故 B 正确；
对于 C，如图，
若 BN⊥平面 ，由 平面 ，则 ，
又 ， ， 面 ，则 平面 ，
又 平面 ，所以 ,又 ， 平面 ，
所以 平面 ，这显然不可能，故 C 错误；
D：当四棱 体积最大时，二面角 为直二面角，如图，
由 ，取 的中点 E，设 F 是 外心，
答案第 1 页，共 2 页则 E 是等腰梯形 外接圆圆心．作 平面 ，OF 平面 ，
则 是四棱锥 的外接球的球心，且 ，
由 ，得 ，
设四棱锥 的外接球半径 ，则 ，
所以球表面积是 ，故 D 错误.
故选：AB
11．ACD
【分析】根据已知条件利用正弦定理将边化角，利用三角形内角关系及两角和的正弦公式整
理式子得到 ，判断 A 选项；根据 ，即三角形形状得到关于 角的不等式，解
不等式即可确定 角的取值范围，即可判断 B；根据 化 为
，利用基本不等式即可求最值，即可判断 C；由已知条件将边化成角，再根据角的范围即可
求出 的范围，即可判断 D.
【详解】对于 A：因为 ，由正弦定理可得 ，
又 ，
所以 ，即 ，
又 ， ，
所以 ，故 ，则 ，故 A 正确；
对于 B：由 ，得 ，又 为锐角三角形，
所以 ，解得 ，故 B 错误；
对于 C：
，
（当且仅当 ，即 时取等号），故 C 正确；
答案第 1 页，共 2 页对于 D：由 ，得 ，由正弦定理得：
即 ，
所以
.
又 ，所以 ，故 ，故 D 正确.
故选：ACD.
12．2
【分析】根据数量积的运算律计算求解．
【详解】由题意 ， ，
故答案为：2.
13. 15
14．②④⑤
【分析】由 为锐角，则 且 不共线，列式求解可判断①；由条件可
知 的角平分线与 垂直， 为等腰三角形，又 ，所
以 ，即可判断②； ，利用二次函数的性质求解可判断③；记
BC 中点为 E，则 ，故 与 共线，而直线 AE 过 的重心，即可判断④；
由条件结合正弦定理得 ，可得角 C，由余弦定理结合基本不等式可得
，进而由三角形面积公式求解可判断⑤.
【详解】对于①，由 ，
得 ， ，
因为 为锐角，故 且 不共线，
所以 ，解得 且 ，故①错误；
答案第 1 页，共 2 页对于②，因为非零向量 ，所以 的角平分线与 垂直，
为等腰三角形，又 ，
又 ，所以 ，所以 为等边三角形，故②正确；
对于③， ，
当 时， 取得最小值，故③错误；
对于④，已知 是平面上一定点， ， ， 是平面上不共线的三个点，动点 满足
， ，
记 BC 中点为 E，则 ，则 ，故 与 共线，
而直线 AE 过 的重心，故动点 P 一定通过 的重心，故④正确；
对于⑤，∵ ，
∴根据正弦定理，得 ，可得 ，
∴ ，∵角 C 为三角形的内角，∴角 C 的大小为 ，
∵ ，∴由余弦定理 ，
可得 ，当且仅当 时等号成立，
∴ ，
∴ ，即 面积的最大值为 ，
故⑤正确.
故答案为：②④⑤.
15．(1)证明见解析
(2)证明见解析
答案第 1 页，共 2 页【分析】（1）要证 平面 ，根据线面平行的判定定理在平面 内找到一条直线
与之平行即可；
（2）将线线垂直转化为 与 所在的某个平面垂直即可.
【详解】（1）连接 交于 点，连接 ，
则直三棱柱 中，四边形 为平行四边形，
则 为 的中点，又 为 的中点，故 ，
平面 ， 平面 ，故 平面 .
（2）取 中点为 ，连接 ， ， 为 的中点，
故 ，而 底面 ，
故 底面 ， 底面 ，故 ；
又 为 的中点，则 ，而 ，即 ，
故 ，
而 ， 平面 ， 平面 ，
故 平面 ，
又 平面 ，故 ，即 .
16．(1) ；
答案第 1 页，共 2 页(2) ﹒
【分析】(1)△ 中求出 BD，在△ 中，由正弦定理求出 ，根据
即可求 ；
(2)在△ 、△ 中，分别由余弦定理求出 ，两式相减可得 cosA 与 cosC 的关系式；
又由 的 sinA 与 sinC 的关系式；两个关系
式平方后相加即可求出 cos(A＋C)﹒
【详解】（1）在△ 中，∵ ，
∴ ．
在△ 中，由正弦定理得， ，
∴ ．
∵ ，∴ ，
∴ ．
（2）在△ 、△ 中，由余弦定理得，
，
，
从而 ①，
由 得，
②，
得， ，
∴ ．
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用向量的平行四边形法则表示出 ，再利用数量积运算，两边同
时平方即可求出结果；
答案第 1 页，共 2 页（2）利用向量的减法法则，得到 ，再利用数量积运算，两边同时平方即可求出
结果；
【详解】（1）由题知 ，所以 ，
得到 ，解得 ，
所以 .
（2）因为 ，所以 ，
得到 ，解得 ，
所以 与 的夹角 的余弦值为 .
18．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由面面垂直的判定定理求证；
（2）建立空间直角坐标系 ，由 求解；
（3）由 求解．
【详解】（1）证明：因为 ，所以 ，
又 平面 平面 ，得 ，
而 平面 ，
得 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ．
（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系 ，
不妨设 ，则 ，
答案第 1 页，共 2 页得 ， ，
设平面 的一个法向量为： ，
则 ，取 ，得 ，
设 与平面 所成角为 ，
则 ，
得 ，得 ，
则 与平面 所成角的正切值为：
（3）解：
设平面 的一个法向量为： ，
则 ，取 ，得 ，
设平面 与平面 所成角为 ，
则 ，
得 ，
故平面 与平面 夹角的正弦值为：
19．(1)
(2)
(3)48
【分析】（1）利用同角三角函数关系和正弦定理边角互化对等式进行化简，再结合余弦定
理即可求解.
（2）法一：用基向量法，将 用 表示，等式左右两边同时平方，利用模长和数量
积公式即可求解；法二：用坐标系法，以 AB 所在的直线为 轴，A 为坐标原点建立坐标系，
将 用坐标表示，结合坐标表示求模长即可；
答案第 1 页，共 2 页（3）根据柯西不等式的定义直接化简，当且仅当 为正三角形时取等号，即可得到最
小值.
【详解】（1）因为
所以 ，
由正弦定理 ，
所以
即： ，又 ，所以 ；
（2）（方法一）因为 ，所以 ，
所以 ，
所以
，及
（方法二）以 AB 所在的直线为 轴，A 为坐标原点建立坐标系，如图，
则
则：
所以 ；
（3）根据柯西不等式：
（当且仅当 为正三角形时取等号）
答案第 1 页，共 2 页即： 的最小值为 48.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是仿照柯西不等式的形式进行代入构造，找到所求要素与
柯西不等式的联系，再运用正弦定理进行求解.
答案第 1 页，共 2 页
