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新蔡县第一高级中学 2024-2025 学年高二下学期 3 月份月考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 椭圆 的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
3. 直线 与 之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知双曲线 与双曲线 的离心率相同，则 （ ）
A. B. 2 C. D. 8
5. 圆 与圆 的公切线条数为（ ）
A. B. C. D.
6. 如 图 ， 正 四 面 体 中 ， 分 别 为 中 点 ， 为 线 段 上 一 动 点 ， 设
⃗AG=x⃗AD+ y⃗AB+z⃗AC，则 （ ）A. 1 B. C. D.
7. 春节档将有多部影片上映，小明一行五个人准备在大年初一各自从 四部影片中选一部去观看．
已知每部影片都有人选，且小明没有选影片 ，则所有不同的选法种数为（ ）
A. 72 B. 96 C. 180 D. 288
8. 如图，四边形 ， ，现将 沿 折起，当二面角
的值属于区间 时，直线 和 所成角为 ，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知点 在抛物线 上，且 ，其中 为抛物线 的焦点，则（
）
A. 抛物线 的准线为 B. 点 的坐标为
C. D. 过点 作 轴于点 ，则 的面积为
10. 已知 展开式中二项式系数之和为64，则（ ）
A. B. 展开式的各项系数之和是1
C. 展开式中第4项的二项式系数最大 D. 展开式中常数项为24011. 已知点 ，且点 在直线 上，下列说法正确 的是（ ）
A. 的最大值为3
B. 若线段 与直线 有交点，则
C. 当 时，存在点 ，使得
D. 当 时， 周长的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知空间向量 满足 ，则 ______．
13. 已知圆 过 三点，则圆 的面积为______．
14. 已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，过点 作 轴的垂线与双曲线
3
在第一象限交于点 为坐标原点，若⃗MN= ⃗N F ，且⃗ON⋅⃗M F =0，则双曲线 的离心率为
2 1 1
_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
.
15 现有0，1，2，3，4这五个数字，回答下列两个问题．
（1）用这5个数字能够组成多少个无重复数字的五位数？
（2）用这5个数字能够组成多少个无重复数字的五位偶数？
16. 已知椭圆 的右焦点为 ，点 在椭圆 上．
（1）求椭圆 的标准方程；
的
（2）已知直线 交椭圆 于 两点，且线段 中点为 ，求直线 的斜率．17. 已知 的圆心在 轴上，且经过点 和 ．
（1）求 的标准方程；
（2）过点 的直线 与 交于 两点．
①若 ，求直线 的方程；
②求弦 最短时直线 的方程．
18. 在长方体 中，侧面 为正方形， ， 为线段 （不包含端
点）上一动点，请利用空间向量法解决下列两个问题．
（1）若 ，求 的长度；
（2）求点 到平面 距离的取值范围．
19. 已知双曲线 的渐近线方程为 ， 与 轴的正、负半轴分别交于 ，两点，过点 的直线 与 的右支交于 ， 两点.
（1）若 的斜率存在，求出 斜率的取值范围；
（2）探究： 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（其中 ， 分别表示直线
， 的斜率）；
（3）若直线 ， 交于点 ，且 ，求 的取值范围.
数学答案
1-8ABDACBCD
9.AD 10.BCD 11.ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12【答案】4 13. 【答案】 14. 【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.【答案】
（1）
先排数字0，0只能占除最高位外的其余四个数位，有 种排法，
再排四个非0数字有 种，由分步乘法计数原理得 ，
所以能组成96个无重复数字的五位数；
（2）当个位数字为0时，则可以组成 个无重复数字的五位偶数，
当个位数字为2或4时，则可以组成 个无重复数字的五位偶数，
所以用这5个数字能够组成组成 个无重复数字的五位偶数；
16. （1）
由题设 ，可得 ，则椭圆 ；
（2）
由题设，令 ，联立椭圆 ，
所以 ，整理得 ，
则 ，整理易得 ，
所以 ，可得 ，直线 的斜率为1.
17. （1）
设圆心坐标为 ，
依题意可得： ，解得 ；
则该圆的圆心为 ，半径为 ； 故 的标准方程为： ；
（2）
①由过点 的直线 与 交于 两点，设圆心到直线的距离为 ,
由 ，可得 ， ；
当直线 的斜率不存在时，直线方程为 ，满足题意；
的
当直线 斜率存在时，设直线方程为 ，即，解得 ， 故直线 的方程为 ，即
.
综上可知，直线 的方程为 或 ；
②依题意可知点 在圆 内，如下图所示：
设圆心到直线 的距离为 ，由弦长公式可得 ，
显然当 取得最大值时，即 时，此时 ，
即当 时，弦 最短，
易知 ，因此直线 的斜率为 ，
可得直线 的方程为 ，即 .
18. .（1）
构建如下图示的空间直角坐标系，则 ，设 且 ，
则 ， ，又 ，
则 ，可得 ，
所以 的长度为1.
（2）
若 是面 的一个法向量，则 ，
令 ，则 ，而 ，故 ，
所以点 到平面 距离 ， ，所以 ，且 ，故 .
19. （1）
由 的渐近线方程为 可得 ，
易知直线 的斜率不为0，设 ， ，直线 的方程为 ，
联立双曲线 与直线 得， ，
则
解得 ，
再由斜率 存在以及 可得， 的取值范围为 ；
（2）
依题意， ， ，由韦达定理可知，
， ，
于是 ，
因此
；（3）由（2）可知， ，
设直线 与直线 的方程分别为 ， ，
联立两直线方程可得交点 的横坐标为1，
故
.
当且仅当 时等号成立，
故 的取值范围为 .
