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蕲春一中 2025 年三月高一月考数学试题
考试时间：2025-3-12
一、单选题
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用诱导公式及和角的正弦公式逆用求出答案.
【详解】 .
故选：D
2. 若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指对数函数及正弦函数 性质判断大小关系即可.
【详解】由 ，即 .
故选：A
3. 为了得到函数 的图像，只需把余弦函数上所有点（ ）
A. 向左平行移动 个单位长度 B. 向左平行移动 个单位长度
C. 向右平行移动 个单位长度 D. 向右平行移动 个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】将 化为 ，再根据三角函数的图象变换得到答案.
第 1页/共 18页【详解】因为 ，
所以为了得到函数 的图像，只需把余弦函数上所有点向右平行移动 个单位长度，
故选：D.
4. 若函数 在 上单调，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意利用复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，求得 的范围．
【详解】解： 函数 在 上单调，函数的定义域为 ，因为
， 在 上单调递增，在 上单调递减，
在定义域上单调递增，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
要使函数 在 上单调，
，或 ，解得 ，或 ，即 ，
故选： ．
5. 已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 ，且 ，则
实数 的值是（ ）
A. －4 和 B. C. －4 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】由三角函数的定义建立关系求解实数 即可.
【详解】由三角函数的定义可得 ，则 ，
第 2页/共 18页整理可得 ，因为 ，解得 ，
故选：B.
6. 已知 ， ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把 展开可求出 ，从而利用两角和的余弦公式可求解.
【详解】由于 ， ，
则 ，
整理得 ，
所以
故选：D.
7. 已知定义在 上的函数 ，则不等式 的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造定义在 上的函数 ，由函数 的奇偶性和单调性将
题设不等式转换为 ，再由函数 的定义域、奇偶性和单调性列出不等式组计算即
可得解.
【详解】令 ，
则函数 定义域为 关于原点对称，
第 3页/共 18页且 ，
所以函数 是奇函数，
所以不等式
，
因为函数 和 在 上均为增函数，
所以函数 为定义在 上的增函数，
所以 ，
所以不等式 的解集是 .
故选：C.
8. 若函数 的两个零点分别为 和 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简 ，再利用函数零点的意义及正弦函数的性质求得
，进而求出 ，最后利用二倍角的余弦求值.
【详解】函数 ，其中 ，
由 ，得 ，而 ，
第 4页/共 18页因此 ，即 ，则 即 ，
所以 .
故选：A.
【点睛】关键点点睛：利用辅助角公式化简，结合正弦函数的性质用零点表示辅助角是求解问题的关键.
二、多选题
9. 已知函数 的部分图象如下图所示，则下列给论中正确的是
（ ）
A.
B. 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到
C. 是函数 图象的一条对称轴
D. 若 ，则 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用“五点法”求得 的解析式，从而判断 A，利用三角函数的平移规则可判断 B，利用代入
检验法可判断 C，利用三角函数的最值性质可判断 D，从而得解.
【详解】依题意可得 ， ，
所以 ，又 ，解得 ，所以 ，
对于 A：由图象知 过点 ，即 ，
第 5页/共 18页所以 ，则 ，
又 ，所以 ，所以 ，故 A 正确；
对于 B：由 的图象向左平移 个单位长度
得到 的图象，故 B 错误；
对于 C：因为 ，
所以 是函数 图象的一条对称轴，故 C 正确；
对于 D：若 ，
则 取得最大（小）值且 取最小（大）值，
所以 ，故 D 正确.
故选：ACD.
10. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于直线 对称
C. 若关于 的方程 有解，则
D. 若 为锐角 的一个内角，且 ，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】将三角函数 的解析式化为一般式，再根据三角函数周期，对称轴，值域的求解方法，以及三
角函数给值求值问题的处理办法，对每个选项进行逐一分析即可.
【详解】 ；
第 6页/共 18页对 A： 的最小正周期为 ，故 A 正确；
对 B： ，又 是 的最大值，则 的图象关于 对称，故 B 正确；
对 C：若关于 的方程 有解，则 的取值范围为 的值域，
又 ，故 ，故 C 错误；
对 D： ，故可得 ，
为锐角三角形的一个内角，
， ，
，故 D 正确.
故选：ABD.
11. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水
流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车
半径为 ，筒车转轮的中心 到水面的距离为 ，筒车每分钟沿逆时针方向转动 3 圈.若规定：盛水
筒 对应的点 从水中浮现（即 时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心 为坐标原点，过点 的
水平直线为 轴建立平面直角坐标系 .设盛水筒 从点 运动到点 时所经过的时间为 （单位： ），
且此时点 距离水面的高度为 （单位： ）（在水面下则 为负数），则 与 的关系为
.下列说法正确的是（ ）
第 7页/共 18页A.
B. 点 第一次到达最高点需要的时间为
C. 在转动的一个周期内，点 在水中的时间是
D. 若 在 上的值域为 ，则 的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据三角函数基本量求解方法，结合题意即可判断 A；根据旋转角度即可判断 B 和 C；根据三角
函数图像，结合整体代换的方法即可判断 D.
【详解】对于 A，因为筒车半径为 ，筒车转轮的中心 到水面的距离为 ，
则依题意， 满足 ，所以 ，
因为筒车每分钟 60s 沿逆时针方向转动 3 圈，所以 ， ，
则 ，由 可得 ，
又因为 ，所以 ，故 A 正确；
对于 B，由已知得， 与 轴正方向的夹角为 ，
所以点 第一次到达最高点需要转动 ，则所需时间为 ，故 B 正确；
对于 C，在转动的一个周期内，点 在水中转动 ，
则所需要的时间是 ，故 C 错误；
第 8页/共 18页对于 D，若 在 上的值域为 ，
则 在 上的值域为 ，
因为 ，所以 ，
作出函数 的图象，依题意需使
即 ，解得 ，故 D 正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的实际应用问题.关键点在于研究图形特点，通过数据转化为三角
函数解析式的基本量，进而求解三角函数解析式，从而求解答案.
三、填空题
12. 计算： __________.
【答案】4
【解析】
【详解】
13. 已知函数 在区间 上单调递减，则
___________.
【答案】2
【解析】
第 9页/共 18页【分析】依题意可得 为 的一个对称中心，可得满足 ，再由单调区间可求解.
【详解】易知 ，
由 可得 关于 成中心对称，即 为 的一个对称中心；
所以 ，即 ；
又在区间 上单调递减，所以 ，解得 ；
当 时，此时 ，满足题意.
故答案为：2
14. 设函数 ，若关于 x 的函数 恰好有四个零点，则
实数 a 的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
【分析】画出 图象，换元后分析可知方程的一根在区间 上，另一根在区间
上，利用二次函数根的分布列出不等式组，求出实数 的取值范围.
【详解】作出函数 的图象如图，
令 ，函数 恰好有四个零点．
则方程 化为 ，
第 10页/共 18页设 的两根为 ，
因为 ，所以两根均大于 0，且方程的一根在区间 内，另一根在区间 内．
令
所以 ，解得： ，
综上：实数 的取值范围为
故答案为：
【点睛】复合函数零点个数问题，要先画出函数图象，然后适当运用换元法，将零点个数问题转化为二次
函数或其他函数根的分布情况，从而求出参数的取值范围或判断出零点个数.
四、解答题
15. 已知 为锐角， .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1）2； （2） .
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系与正切的和差角公式求解即可.
（2）利用二倍角的正余弦公式，结合齐次式法及差角的余弦公式求解即可.
【小问 1 详解】
由 为锐角， ，得 ， ，
而 ，所以 .
【小问 2 详解】
由（1）得 ，
， ，
第 11页/共 18页所以 ．
16. 已知函数 的最大值为 1，
（1）求常数 的值；
（2）求函数 的单调递减区间；
（3）求使 成立的 的取值集合.
【答案】（1）
（2） ，
（3）
【解析】
【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式展开，再利用辅助角公式化简为 的形式，最后
根据三角函数的性质可得 的值；
（2）利用正弦函数的单调性得 ， ，求解 即可；
（3）利用整体思想，借助三角函数 的图象与性质即可解不等式.
【小问 1 详解】
，
因为 的最大值为 1，且函数 的最大值为 1，
所以 ，解得 .
【小问 2 详解】
第 12页/共 18页由（1）可知 .
由 ，
解得 ， ，
所以函数 的单调递减区间为 ， ；
【小问 3 详解】
由 ，得 ，即 .
所以 ， .
解得 .
因此， 成立的 的取值范围是 .
17. 如图，正方形 ABCD 边长为 1，P，Q 分别为边 AB，DA 上的点.
（1）当 时，求 的面积最小值（ 的面积公式是 ）；
（2）求当 的周长为 2 时，求 的大小.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设 ， ，可得 ，
第 13页/共 18页由 可得 ，即可得解；
（2）设线段 、 的长度分别为 、 ，可得 ，可得 ，设 ，
可得 ，可得 .
【小问 1 详解】
当 ，设 ， ，
则 ， ， ，
，
因 ，所以 ，
则 ，则 ，
则 ，
所以 ，
所以 的面积 的最小值为 .
【小问 2 详解】
设线段 、 的长度分别为 、 ， ，
因为正方形 的边长为 ，
则 ， ，
第 14页/共 18页因为 的周长为 ，所以 ，
则由勾股定理得 ，即 ，
又因为 ， ，
则
因为 ，所以 ，
所以 .
18. 已知函数 的图象过点 .
（1）求函数 的解析式；
（2）判断函数 的奇偶性，并说明理由；
（3）设 ，若对于任意 ，都有 ，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）函数 为奇函数，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由已知求得 ，代入即可得 ；
（2）函数 为奇函数，利用奇函数 定义即可证明.
（3）由题意可得 ，进而得 的最大值可能是 或 ，作差法可得
，结合题意可得 ，令 ，进而求
解可求得 的取值范围.
【小问 1 详解】
函数 的图象过点
第 15页/共 18页所以 ，解得
所以函数 的解析式为 .
【小问 2 详解】
判断：函数 为奇函数.
理由如下：由（1）知， ，
.
由 ，解得函数 的定义域为
定义域关于原点对称
函数 为奇函数.
【小问 3 详解】
因为 且 ，所以 且 ，
因为 ，
所以 的最大值可能是 或 ，
因为
所以 ，
所以对于任意 ，都有 成立，
只需 ，即 ，
设 ，易知 在 上单调递增，且 ，
第 16页/共 18页，即 ，所以 ，
所以 的取值范围是
【点睛】关键点点睛：对于函数不等式恒成立问题，常常通过构造函数，通过求得函数的最值解决问题.
19. 若函数 和 的零点相同，则称 和 是“ 函数对”.
（1）已知 ，判断 与 是否为“ 函数对”，并说明理由；
（2）设 ，若 与 为“ 函数对”，求 的取值范围；
（3）已知 m，n 是实数，若函数 与 为“ 函数对”，函数
与 为“ 函数对”，求 mn 的值.
【答案】（1）不是，理由见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据指数函数和余弦函数的单调性，结合函数零点存在原理、函数单调性的性质、题中定义
进行求解即可；
（2）根据题中定义，结合正弦型函数的性质进行求解即可；
（3）根据题中定义，结合函数单调性的性质、对数的运算性质，通过构造新函数，利用新函数的单调性及
单调性的性质进行求解即可.
【小问 1 详解】
由函数单调性的性质可知函数 是实数集上的增函数，
因为 ，所以函数 在 上有唯一零点，
当 时，函数 是单调递减函数，
，即 ，
所以函数 在 上没有零点，不符合题中定义， 和 不是“ 函数对”；
【小问 2 详解】
第 17页/共 18页由 得 ， ，
，所以 的零点是 的零点，
由 得 ， ，
当 时， ，所以 为 的零点
而当 时，必须使得 无解，
否则 的一些零点不能使得 ，
所以 对 成立，
所以 ，得 ，此时 的零点也全是 的零点，综上 .
【小问 3 详解】
由 ，
因 函数 与 为“ 函数对”，
所以 ，取对得 ，
由 ，
因为函数 与 为“ 函数对”，
所以有 ，
因为 在 上单调递增，所以 ，即 .
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用函数单调性的性质、正弦函数的单调性.
第 18页/共 18页
