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作业 05 平面向量的数量积及极化恒等式的应用
1．平面向量的数量积
设两个非零向量a，b的夹角为θ，
定义
则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b
|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，
投影
|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影
几何
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积
意义
2. 向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
3．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，a与b的夹角为θ.
1 1 2 2
结论 几何表示 坐标表示
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充要条件 a·b＝0 x x ＋y y ＝0
1 2 1 2
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x x ＋y y |≤
1 2 1 2
4.极化恒等式
学科网（北京）股份有限公司恒等式右边有很直观的几何意义:
向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的
，
恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系
如图在平行四边形 中,
则
在上述图形中设平行四边形 对角线交于 点, 则对于三角形来说:
一、单选题
1．已知平面向量 ， ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量 ， ， ，且 ，则实数m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知向量 ， 满足 ， ， ，则 （ ）
A．7 B． C．19 D．
4．已知矩形 的长 ，宽 .点 在线段 上运动（不与 两点重合），则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在 中， 为 上一点，且满足 ，若
则 的值为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
二、多选题
6．下面给出的关系式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知平面向量 ， ，则（ ）
A． B．
C． 在 上的投影向量的模为 D． 与 的夹角为锐角
8．已知向量 ， ，下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则 在 上的投影向量为
三、填空题
9．已知 ， ，且 ，则 ．
10．如图，圆 为 的外接圆， ， ， 为边 的中点，则 .
四、解答题
学科网（北京）股份有限公司11．已知向量 ，且 与 的夹角为 ，
(1)求证：
(2)若 ，求 的值；
12．已知向量 满足 ， ．
(1)求 ；
(2)求 ；
(3)若向量 与向量 的方向相反，求实数 的值．
1．如图，在梯形 中， 分别在线段 上，且线
段 与线段 的长度相等，则（ ）
A． 的最小值为 B． 的最大值为18
C． 的最大值为 D． 的面积的最大值为
2．已知正八边形 的边长为2，P是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B． 在 方向上的投影向量为
C．若函数 ，则函数 的最小值为
学科网（北京）股份有限公司D．
3．平面向量 满足 ，且 ，则 的最小值为 ．
4．如图，已知正六边形 的边长为2，对称中心为 ，以 为圆心作半径为1的圆，点 为圆
上任意一点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知点O为 所在平面内一点，且 ， ，
，则 为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
1．已知 是边长为2的正六边形 内（含边界）一点， 为边 的中点，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知扇形 的半径为2， ，点 分别为线段 上（包括线段的端点）的动点，
且 ，点 为 上（包括端点）的任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A． 的最小值为0 B． 的最小值为
C． 的最大值为4 D． 的最小值为2
学科网（北京）股份有限公司3． 中， ， ， 是 外接圆圆心，是 的最大值为（ ）
A．1 B． C．3 D．5
1．（2022·全国·高考真题）已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2023·全国·高考真题）已知向量 ， 满足 ， ，则 ．
3．（2022·北京·高考真题）在 中， ．P为 所在平面内的动点，且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高考真题）已知 的半径为1，直线PA与 相切于点A，直线PB与 交于B，C两
点，D为BC的中点，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·全国·高考真题）已知向量 满足 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
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