文档内容
江苏省南京市 2024-2025 学年高二上学期 11 月期中学情调研测试数学
试题
注意事项：
1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分.
2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1. 下列四组数据中，方差最小的是（ ）
A. 5，5，5，5，5，5，5，5 B. 4，4，4，5，5，5，6，6
C. 3，3，4，4，5，6，6，7 D. 2，2，2，2，2，5，8，8
【答案】A
【解析】
【分析】根据方差的定义和意义进行判断.
【详解】设 个数据， 的平均数为 ，
则方差为 ，
方差反应一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.
对于A，这组数据都相等，没有波动，故方差为 ；
对于B，这组数据分布比较均匀，波动较小，故方差较小但大于 ；
对于C，这组数据分布比较均匀，波动较小，故方差较小但大于 ；
对于D，这组数据波动较大，故方差较大；
故选：A.
2. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】根据复数的除法运算求解.
【详解】 ,
故选：D.
3. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将一般式方程转化为点斜式方程求出斜率，即可求倾斜角.
【详解】直线 化为点斜式得， ，
所以直线的斜率为 ，所以倾斜角为 ，
故选：B.
4. 两条渐近线互相垂直的双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】不妨设双曲线的焦点在 轴，设出双曲线的标准方程，则可表示出其渐近线的方程，根据两条直
线垂直，推断出其斜率之积为 ，得到 ，再利用双曲线的离心率为 ．
【详解】设双曲线的标准方程为 ，则渐近线的方程为 ，
由两条渐近线互相垂直，即 ，即 ，又双曲线的离心率为 ，
.
故选：B
5. 若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据椭圆方程的概念求解.
【详解】因为方程 表示焦点在 轴上的椭圆，
所以 ，解得 ，
故选:C.
6. 底面直径与高相等的圆柱的体积为 ，则该圆柱的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据题中的条件求出圆柱底面直径与高，再利用圆柱轴截面矩形的对角线为圆柱的外接球的
直径，由此求出圆柱的外接球的半径，即可求得表面积.
【详解】
设圆柱的底面直径与高为 ，则圆柱的体积为 ，解得 ，则外接球的直径为 ，即圆柱的外接球的半径为 ，
则圆柱的外接球的表面积为 ，
故选：B.
7. 已知点 ，若圆 上任意一点 都满足 ，则实数 （
）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】利用 求出点 的轨迹方程即可.
【详解】设 ，因为 ，
所以 ，
则 ，整理得， ，所以 ，
故选:C.
8. 抛物线 的准线为l，M为 上的动点，则点 到 与到直线 的距离之和的最
小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用抛物线的定义将问题转化为焦点 到直线 的距离即可求解.
【详解】如图，抛物线的焦点为 ,
根据抛物线的定义可知，点 到 的距离等于 ,
所以点 到 与到直线 的距离之和即为 与 到直线 的距离之和，
由图可知， 与 到直线 的距离之和的最小值为焦点 到直线 的距离，
所以 即为所求，
故选: D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不
选或有错选的得0分.
9. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，记“第一枚硬币正面朝上”为事件 ，“第二枚硬币反面朝上”为事件 ，
则（ ）
A. B.
C. 和 是互斥事件 D. 和 是相互独立事件
【答案】AD
【解析】
【分析】根据古典概率模型求解选项A,B,利用互斥事件的定义求解选项C，利用相互独立事件的定义求解
选项D.
【详解】由题，样本空间为 {（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，
{（正，正），（正，反）}，
{（正，反），（反，反）}，
所以 ，A正确；
{（正，反）}，
所以 ，则B错误，因为 ，所以 和 不是互斥事件，C错误，
因为 ,
所以 ，所以 和 是相互独立事件，D正确.
故选:AD.
10. 在矩形ABCD中， .若 ，则（ ）
A.
B.
C. 以CE为直径的圆与直线BF相切
D. 直线AE与BF的交点在矩形ABCD的外接圆上
【答案】BCD
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，利用斜率与平行关系确定选项A，利用向量的数量积与垂
直的关系确定选项B，利用直线与圆的位置关系确定选项C，利用两直线的交点坐标求解方法与两点间的
距离公式确定选项D.
【详解】
如图，以 为坐标原点， 方向为 轴，建立平面直角坐标系，
则 ,
对A， ,所以 不平行，A错误；对B， , ,所以 ，B正确；
对C， 的中点为 ，
因为 ，所以 的直线方程为 ，化为一般式 ，
则点 到直线 的距离为 ，
又因为 ,所以 ,
所以以CE为直径的圆与直线BF相切，C正确；
对D，因为 ,所以 的直线方程为 ，
联立 ，解得 ，所以直线AE与BF的交点为 ，
矩形ABCD的外接圆是以(2,1)为圆心，
为半径的圆，
因为点 到(2,1)的距离为 ，
所以直线AE与BF的交点在矩形ABCD的外接圆上，D正确；
故选:BCD.
11. 已知椭圆 ，直线 与 交于A，B两点，点 为 上异于A，B的动点，则（
）
A. 当 时， B.C. 存在点 ，使得 D.
【答案】ABCD
【解析】
【分析】设点 ，则 ,从而 ，根据 在椭圆上，则有
，则 ，再结合 ，可判断选项A；利用
可判断选项B；根据
可判断选项C，利用平面三角形的坐标面积公式即可判断选项D.
【详解】设 ，则 ,
所以 ，
因为点 在椭圆上，所以 ，所以 ，
则 ，
时， ，代入 ，解得 ，
此时 ，A正确；
因为 为 的中点，所以 ,
所以 ，
因为点 在椭圆上，所以 ，所以 ，所以 ，
因为点 在椭圆上，
所以 ，所以 ，B正确；
因为 ， ,
所以 ,
所以 ，
所以当 时， ，
因为点 为 上异于A，B的动点，
所以存在点 或 时，使得 ，C正确；
以下证明，若 ，则 ，
,
所以 ,
所以
，因为 ，
所以 ，
设 ，
则 ，D正确；
故选：ABCD.
【点睛】关键点点睛：
本题选项B需使用极化恒等式：在 中， 是 中点，则恒有 ；
2.本题选项D需使用三角形面积的坐标表示：若 ，则 .
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
12. 若直线 与 垂直，则实数 ______.
【答案】
【解析】
【分析】根据两条直线垂直的充要条件进行求解即可.
【详解】由直线 与 垂直，
则 ，解得 ，
故答案为： .
13. 已知 ，则 ______.
【答案】 ##
【解析】【分析】利用同角三角函数的关系以及两角差的余弦公式求解.
【详解】因为 ，所以 ，
又因 为，
所以 ，
所以 ，
故答案为： .
14. 历史上最早系统研究圆锥曲线的是古希腊学者梅纳库莫斯，大约100年后，阿波罗尼斯更详尽地研究
了圆锥曲线，他的研究涉及圆锥曲线的光学性质，其中一条是：如图（1），从右焦点 发出的光线 交
双曲线右支于点 ，经双曲线反射后，反射光线 的反向延长线经过左焦点 ．已知图（2）中，双曲线
的中心在坐标原点，左、右焦点分别为 ，直线 平分 ，过点 作 的垂线，垂
足为 ，且 .则当反射光线 经过点 时， ______.
【答案】9
【解析】
【分析】 延长交 于点 ，根据直线 平分 ，则有 ，从而有，再根据 为 的中点， 为 的中点，
则由中位线的性质可得， ，进而利用双曲线的定义求解.
【详解】
延长交 于点 ，
因为直线 平分 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
由角平分线可知， 为 的中点，又因为 为 的中点，
则由中位线的性质可得， ，所以 ，
所以 .
故答案为：9.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文
字说明，证明过程或演算步骤．
15. 记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 .
（1）求 ；
（2）若 ，求 的面积.
【答案】（1）
（2）【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角即可求解；
（2）利用余弦定理和面积公式求解.
【小问1详解】
因为 ，边化角可得，
，
即 ，
又因为 ，
且 ，
所以 ，因为 ，所以 .
【小问2详解】
由余弦定理， ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 的面积为 .
16. 已知点 在抛物线 上，直线 经过点 ，且在 轴上的截距为 .
（1）求 的值和直线 的方程；
（2）记 与 的另一个交点为 ，求经过 ， ， 三点的圆的方程.
【答案】（1） ，
（2）
【解析】【分析】（1）利用抛物线上的点即可求得 ，并根据点斜式求直线方程；
（2）联立直线方程和抛物线方程求解得到 ，再设圆的一般方程为 ，待
定系数法求解.
【小问1详解】
因为点 在抛物线 上，
所以 ，解得 ，
所以 ；
因为直线 在 轴上的截距为 ，
所以设 ，
又因为直线 经过点 ，所以 ，解得 ，
所以直线 的方程为 .
【小问2详解】
设 ，
联立 ，消去 可得， ，
解得， ，则 ，
所以 ，
设经过 ， ， 三点的圆的方程为 ，
则有 ，解得， ，
所以圆方程为 .17. 在四面体PABC中，M，N分别为PC，BC的中点.
（1）证明: 平面 ；
（2）若 平面 ，四面体PABC的体积为2，且 ，求MN与平
面PAC所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【小问1详解】
在 中， 是 的中点，所以 ,
又因为 平面 , 平面 ,
所以 平面 .
【小问2详解】
因为 ，所以 ，因为 平面 ，
且四面体PABC的体积为2，
所以 ，
即 ，所以 ,所以 ,
过点 作 的垂线，垂足为 ，连接 ，则有 ，
因为 平面 平面 ，所以 ,
又因为 平面 ，
为
所以 平面 ，所以 MN与平面PAC所成角，
因为 平面 ，所以 ，
在 中，由等面积法可知，
，所以 ,
,
则 ,
,
所以 即为MN与平面PAC所成角的正弦值.
18. 已知圆 ，圆 ，过点 作圆 的切线，切线
的长为2．
（1）求圆 的方程；
（2）直线 经过点 ，且与圆 交于A，B两点， ，①求 的方程和 的值；
②若动圆 与圆 外切，且与圆 内切，求动圆圆心 到点 距离的最小值.
【答案】（1）
（2）① 或 ；②动圆圆心 到点 距离的最小值为 .
【解析】
【分析】（1）根据圆的切线长公式求解即可；
（2）①利用直线被圆截得的弦长公式可求 的方程，再根据向量的数量积公式结合余弦定理可求
的值；②利用双曲线的定义，确定动点 的轨迹是以 为焦点的双曲线的右半支，再利用两点间的距
离公式求解.
【小问1详解】
过点 作圆 的切线，设切点为 ,连接 ，
因为 ,
所以 ,
所以圆 .
【小问2详解】
显然, 直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
设圆心 到直线 的距离为 ，所以 ，解得 ，
又因为 ，整理得， ，
解得 或 ，
所以 的方程为 或 ；
在 中， ,
所以 .
设动圆 的半径为 ，则由题意可得，
,
所以 ，
所以动点 的轨迹是以 为焦点的双曲线的右半支，
则有 ，
所以双曲线方程为 ，
设动点 ，则有 ，所以 ，
所以 ，
由二次函数的性质可知，当 时，有最小值，最小值为 ，
所以 ，此时 .
19. 已知椭圆 的右顶点为 ，上顶点为 ，离心率为 .
（1）求 的方程；
（2）直线 平行于直线AB，且与 交于M，N两点，
①P，Q是直线AB上的两点，满足四边形MNPQ为矩形，且该矩形的面积等于 ，求 的方程；
②当直线AM，BN斜率存在时，分别将其记为 ，证明： 为定值.
【答案】（1）
（2）① 或 .② ,证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据椭圆 以及离心率之间的关系求解；
（2）①利用矩形的面积公式可得 ，再利用直线被椭圆截得的弦长公式，结合韦达定理可
求解；
②利用韦达定理得 ，进而可得
，即可证明.
【小问1详解】由题意得， ,所以 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
【小问2详解】
①由（1）知 ， ,即 ，
设 ，
联立 ，消去 整理得， ，
由相交得， ，即 ，解得 ，
由韦达定理得， ，
因为 ，所以矩形 中 即为两平行线间的距离 ，
因为 ，即 ， ，
所以 ，
又由题意得， ,
所以 ,即 ，此时 ，
所以 ，化简得 ，解得 或 ，
所以直线 或 .
②因为 ，所以 ，则有 ，
由韦达定理 ，
（此处，因为点 在椭圆 上，所以 ）
所以 ，进而 ，
此时有， ，
所以 .
