文档内容
南京市 2024-2025 学年度第一学期五校联盟期末学情调研
高二数学
本卷：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1.本试卷共6页.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1. 抛物线 的焦点到其准线的距离是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
2. 已知直线 与直线 互相平行，则实数 的值为（ ）
A. B. 2或 C. 2 D.
3. 以点 为圆心，两平行线 与 之间的距离为半径的圆的方程为（
）
A. B.
C. D.
4. 已知曲线C： 上一点 ，则曲线C在点P处 的切线的倾斜角为（ ）
.
A B. C. D.
5. 在等差数列 中，已知 ，则数列 的前6项之和为（ ）
A. 10 B. 20 C. 30 D. 40
6. 已知两定点 ， ，如果动点 满足 ，点 是圆 上的动点，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7. 斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如图，
一座斜拉桥共有 10 对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距
均为 ，拉索下端相邻两个锚的间距 ， 均为 ，
最短拉索 满足 ， ，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索 所
在直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
8. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，
经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆 的左、右焦点分别为 ，
，若从椭圆右焦点 发出的光线经过椭圆上的点A和点B反射后，满足 ，且 ，
则该椭圆的离心率为（ ）．A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
10. 已知椭圆 为椭圆上任意一点， 分别为椭圆的左、右焦点，则下列说法正
确的是（ ）
A. 过点 的直线与椭圆交于 两点，则 的周长为 8
B. 存在点 使得 的长度为 4
C. 椭圆上存在 4 个不同的点 ，使得
D. 内切圆半径的最大值为
11. 已知数列 是公差为 的等差数列， 是公比为 的正项等比数列.记 ，
， ， ，则（ ）
参考公式： .A. 当 时， B. 当 时，
C. D.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
12. 已知数列 满足 ，若 ，则 ______.
13. 若圆 上恰有两个点到直线 ： 的距离为1，则正实数 的取值范围为______.
的
14. 已知椭圆 任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆
的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和.如图为椭圆 及
其蒙日圆 的离心率为 ，点 分别为蒙日圆 与坐标轴的交点， 分别与
相切于点 ，则四边形 与四边形EFGH的面积的比值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知直线 和圆 ．
（1）判断直线 与圆 的位置关系；若相交，求直线 被圆 截得的弦长；
（2）求过点 且与圆 相切的直线方程．.
16 已知函数 .
（1）求 在区间 上的平均变化率；
（2）求曲线 在点 处的切线方程；
的
（3）求曲线 过点 切线方程.
17. 已知椭圆 长轴长为4，且椭圆 的离心率 ，其左右焦点分别为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设斜率为 且过 的直线 与椭圆 交于 两点，求 的面积．
18. 已知等比数列 的前 项和为 ， 且 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 及数列 的前 项和 .
（3）设 ，求 的前 项和 .
19. 已知 是双曲线 ： 的左焦点，且 的离心率为2，焦距为4.过点 分别
作斜率存在且互相垂直的直线 ， .若 交 于 ， 两点， 交 于 ， 两点， ， 分别为 与
的中点，分别记 与 的面积为 与 .
（1）求 的方程；
（2）当 斜率为1时，求直线 的方程；（3）求证： 为定值.
