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2024-2025 学年高二第二学期六校联合体 3 月调研测试
高二数学
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．18×17×…×4 可表示为 ( )
A．A1518 B．A1418 C．C1518 D．C1418
2．如果 AB＜0，BC＞0，那么直线 Ax＋By＋C＝0 不通过 ( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若数列{a}是等比数列，且 a＞0，a·a＝9 则 log3a＋log3a 的值为 ( )
n n 4 5 1 8
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知直线 l 的方向向量为 a＝(1，－1，λ)，平面α的一个法向量为 n＝(－2，2，1)，若 l
⊥α，则λ的值是 ( )
A．－2 B．－12 C．1 D．4
5．设 a，b∈R，若直线 ax＋by＝1 与圆 x2＋y2＝2 相切，则点 P(a，b)与圆的位置关系是
( )
A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．不能确定
6．已知双曲线的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，若双曲线的离心率为 5，则双曲
线的渐近线方程为 ( )
A．y＝±2x B．y＝±33x
C．y＝±33x 或 y＝±3x D．y＝±12x 或 y＝±2x
7．现提供红、黄、蓝、绿四种颜色给一个四棱锥的五个面涂色，且相邻(两个面有公共边)
的两个面所涂颜色不相同，则不同的涂色方案的种数为 ( )
A．24 种 B．48 种 C．72 种 D．144 种
8．已知函数 y＝ax 与 y＝ex 有两条公共切线，则实数 a 的取值范围是 ( )
第 1 页 / 共 4 页A．(0，2e) B．(0，e)
C．(－∞，0)∪(0，2e) D．(－∞，0)∪(0，e)
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选
项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选
对得 6 分，部分选对得部分分，不选或有错选的得 0 分．
9．已知函数 f(x)＝13x3－2x2＋3x，下列说法正确的有 ( )
A．函数 f(x)在 x＝0 处的切线方程为 y＝
3x B．函数 f(x)在[1，3]单调递增
C．函数 f(x)在[0，2]上的最大值为 23
D．若方程 f(x)＝a 仅有 1 个解，则 a 的取值范围是 a＜0 或 a＞43
10．五一假期即将来临，小张，小李，小王，小赵，小孙五名同学决定到南京的著名景点“夫
子庙”、“中山陵”、“玄武湖”游玩，每名同学只能选择一个景点，则下列说法正确
的有 ( )
A．所有可能的方法有 125 种
B．若小张同学必须去“夫子庙”，则不同的安排方法有 81
种 C．若每个景点必须有同学去，则不同的安排方法有 150
种
D．若每个景点必须有同学去，且小张和小李不去同一个景点，则不同的安排方法有
114 种
11．已知在平行六面体 ABCD－ABC D 中，AB＝1，AD＝AA＝2，且∠AAB＝∠AAD＝
1 1 1 1 1 1 1
∠BAD＝60°，则下列说法正确的有 ( )
→ → → →
． ＝ － ＋
A BD1 AD AB AA1
B．线段 BD 的靠近点 B 的三等分点 Q 在平面 AC B
1 1 1 1
内 C．线段 AC 的长度为 39＋8
1
D．直线 AC 与直线 DB 所成角的余弦值为 51451
1
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．请把答案填写在答题卡
相应位置上．
12．若(a＋b)n 的展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，则 n 的值为▲________．
13．5 位身高互不相同的同学站成一排照相，要求身高最高的同学站中间，从中间往两边身
高依次递减，则不同的站法有▲________种．
14．已知 F 是抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点，M 是抛物线的准线与 x 轴的交点，且过点 M
的直线 l 与 E 相切于点 P，|PF|＝4．则抛物线 C 的方程为▲________．
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时
应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15．(本题满分 13 分)
已知(1－2x)10＝a＋ax＋ax2＋···＋a x10．
0 1 2 10
第 2 页 / 共 4 页(1)求 a 的值；
2
(2)求 a＋a＋···＋a 的值；
0 1 10
(3)求|a|＋|a|＋···＋|a |的值．
1 2 10
16．(本题满分 15 分)
已知{a}是公差不为 0 的等差数列，a4＝7，a1，a2，a5 成等比数列．{bn}为公比为 2
n
的等比数列
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{bn}的前 n 项和为 Sn，若 S6＝126，记数列{cn}满足 cn＝nna，n 为奇数 b，n
为偶数)，
求数列{cn}的前 2n 项和 T2n．
17．(本题满分 15 分)
如图，四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，AD//BC，AB⊥AD，PA＝1，
P
AB＝3，BC＝1，AD＝2，M 是 PD 的中点．
M
(1)求证：CM//平面 PAB； AP Qq
Q D
(2)求平面 PAB 与平面 PCD 所成角的余弦值；
B C
(3)在线段 BD 上是否存在点 Q，使得点 D 到平面 PAQ 的距离为 217?
若存在，求出 BQBD 的值；若不存在，请说明理由．
18．(本题满分 17 分)
已知椭圆 C ：x24＋y2b2＝1(0＜b＜2)的右焦点 F 和抛物线 C ：y2＝2px(p＞0)的焦点重
1 2
合，且 C 过点(1，32)．
1
第 3 页 / 共 4 页(1)求 C 和 C 的方程；
1 2
(2)过点 F 作直线 l 分别交椭圆 C 于点 A，B，交抛物线 C 于点 P，Q，是否存在常数λ
1 2
和μ，使得μ|AB|＋λ|PQ|为定值?若存在，求出λμ的值；若不存在，说明理由．
19．(本题满分 17 分)
m
我们学过组合数的定义，Cn ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m!，其中 m∈N，n∈N*，并
m
且 m≤n．牛顿在研究广义二项式定理过程中把二项式系数 C 中的下标 n 推广到任意实
n
m
数，规定广义组合数 Cx ＝x(x－1)…(x－m＋1)m!是组合数的一种推广，其中 m∈N，x
0
∈R，且规定 C ＝1．于是广义二项式定理可写成：
x
0 1 2 3 n
(1＋x)α＝C ＋C ·x1＋C ·x2＋C ·x3＋…＋C ·xn＋…，其中|x|＜1．等式右端有无穷
α α α α α
项．
6 2
(1)求 C 和 C 的值．
4 0.5
(2)计算 1.11.8 的近似值，保留到小数点后 2 位．
20 0 19 1 18 2 1 19 0 20
(3)求 C ·C ＋C ·C ＋C ·C ＋…＋C ·C ＋C ·C 的值．
0.7 1.3 0.7 1.3 0.7 1.3 0.7 1.3 1.7 1.32024-2025 学年高二第二学期六校联合体 3 月调研测试
高二数学参考答案
一、单选题
1－8 A B B B C D C A
二、多选题
9－11 AD BCD ABD
三、填空题
12.8 13.6 14．y2＝8x
四、解答题
15．(1)T＝C210·18·(－2x)2＝180x2，所以 a＝180． 4 分
3 2
(2)令 x＝1，则(－1)10＝a＋a＋···＋a ，即 a＋a＋···＋a ＝1． 8 分
0 1 10 0 1 10
(3)法 1．由题意知 a，a，…，a＜0，a，a，…，a ＞0，
1 3 9 2 4 10
所以|a|＋|a|＋···＋|a |＝－a＋a－a＋a－···－a＋a ，
1 2 10 1 2 3 4 9 10
令 x＝0，可得 a＝1； 10 分
0
令 x＝－1，可得 a－a＋a－a＋a－···－a＋a ＝310＝59049， 12 分
0 1 2 3 4 9 10
所以原式＝59048．(写 310－1 也算对) 13 分
法 2．令 x＝0，可得 a＝1； 10 分
0
考虑(1＋2x)10 的展开式，令 x＝1，得|a|＋|a|＋|a|＋···＋|a |＝310＝59049， 12 分
0 1 2 10
所以原式＝59048．(写 310－1 也算对) 13 分
16．解：(1)数列{a}是等差数列，设首项为 a 公差为 d(d≠0)
n 1
因为 a＝7，所以 a＋3d＝7 ① 1 分
4 1
因为 a，a，a 成等比数列，所以(a＋d)2＝a·(a＋4d)
1 2 5 1 1 1
因为 d≠0，所以 d＝2a ② 3 分
1
由①②得 a＝1，d＝2， 5 分
1
所以 a＝2n－1 6 分
n(2)因为数列{b}为公比为 2 的等比数列，
n
由 S＝126 得 b1(1－26)1－2＝126，所以 b＝2，则 b＝2n， 9 分
6 1 n
所以 c＝\a\ac(2n2，n－n为1，偶n数为)奇数 11 分
n
所以 T ＝(a＋a＋···＋a )＋(b＋b＋···＋b )
2n 1 3 2n－1 2 4 2n
＝n＋n(n－1)2×4＋4(1－4n)1－4
＝2n2－n＋4(4n－1)3 15 分
→ →
，
→
17． (1) 法 1．如图，以{ AD, }为正交基底，建立空间直角坐标系，
则 A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(3，1，－1)，D(0，2，0)，P(0，0，1)，M(0，1，12)
→
由题意：平面 PAB 的法向量为 n1＝(0，1，0)， ＝(－3，0，32) 2 分
→
→
，
因为 n1· ＝0，所以 n1⊥CM 3 分
又因为 CM 平面 PAB，所以 CM//平面 PAB． 4 分
(注：不写“CM 平面 PAB”扣 1 分)
∥
法 2．取 AB 的中点 E，连接 ME，因为 M 是 PD 的中点， 所以 ＝ 12AD．
ME
∥ ∥
又因为 BC＝ 12AD，所以 ＝ BC，
ME
所以四边形 BCME 是平行四边形，所以 CM∥BE． 2 分
又因为 CM 平面 PAB，BE 平面 PAB，
所以 CM//平面 PAB． 4 分
z
P
(注：不写“CM 平面 PAB”扣 1 分)
M
A D
Q y
B C
x
(2)由题意：平面 PAB 的法向量为 n1＝(0，1，0)，设平面 PCD 的法向量为 n2＝(x，y，z)
→ → → →
＝(3，1，－1) ， ＝(0，2，－1)，由 ·n2＝0， ·n2＝0，可得\r(3 2y－z＝0，令 y＝1，则 n2＝(33，1，2) 6 分
所以 cos＜n1，n2＞＝113)＋1＋4＝34． 8 分
所以，平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值为 34． 9 分
→ → → → → →
(3)设 BQBD＝λ，则 ＝λ ， ＝ ＋λ ＝(3－3λ，2λ，0) ， ＝(0，0，
1)，
→ →
设平面 PAQ 的法向量为 n3＝(x，y，z)，则 n3· ＝0，n3· ＝0，
0 0 0
可得 (\r(3)λ z0＝0，令 y＝1，所以 n3＝(－2λ3，1，0)． 11 分
0
因为点 D 到平面 PAQ 的距离为 217，
→
所以 d＝3PD3|n·||n|＝4λ23(1－λ)2
＋12＝2127．……………………………………………13 分
解得λ＝12． 14 分
所以存在点 Q，使得点 D 到平面 PAQ 的距离为 217，此时 BQBD＝12． 15 分
(注：在底面内过点 D 作直线 AQ 的垂线，由几何知识得 BQBD＝12 也得满分，用等体积法
V ＝V 求得 BQBD＝12 也得满分)
P－AQD D－PAQ
18.(1)因为椭圆 C 过点(1，32)，所以{14＋94b2＝1，所以 b2＝3，
1
所以 C 方程：x24＋y23＝1． 2 分
1
又因为椭圆 C 的右焦点 F(1，0)，
1
所以 p2＝1，p＝2，所以 C 方程：y2＝4x． 4 分
2
(2)解：方法一：假设存在这样的 l，
设直线 l 的方程为：x＝my＋1，A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2\a\ac\co31x\2h＋s 24\ vys22＝( x1＝2)my＋1 3(m2y2＋2my＋1)＋4y2＝12，(3m2＋4)y2＋6my－9＝0．
Δ＝36m2＋36(3m2＋4)＝144(m2＋1)，
∴|AB|＝1＋m2·|y－y|＝1＋m2·m2＋1)3m2＋4＝12(m2＋1)3m2＋4． 8 分
1 2
设 P(x，y)，Q(x，y)，
3 3 4 4
\a\ac\co1\hys22＝\ v s42x()x＝my＋1 y2＝4my＋4，y2－4my－4＝0，Δ＝16m2＋16，
∴|PQ|＝1＋m2·|y－y|＝1＋m2·16m2＋16＝4(m2＋1)， 12 分
3 4
∴μ|AB|＋λ|PQ|＝(3m2＋4)μ12(m2＋1)＋λ4(m2＋1)＝(3m2＋4)μ＋3λ12(m2＋1)＝C(C 为定
值)． 15 分
∴3m2(4C－μ)＋(12C－3λ－4μ)＝0，任意的实数 m 恒成立
∴ 12C\a－\ac3(λ4－C＝4μμ，＝0．)得到\ a3\ aλc(＝μ－＝44CC．，)∴当λμ＝－13 时μ|AB|＋λ|PQ|为定值．
17 分
方法二：设 l 倾斜角为θ，
∴|AB|＝2ab2a2－c2cos2θ＝2×2×34－cos2θ＝124－cos2θ， 8 分
|PQ|＝2psin2θ＝4sin2θ， 12 分
∴μ|AB|＋λ|PQ|＝(4－cos2θ)μ12＋λsin2θ4＝4μ＋3λsin2θ－μcos2θ12 为定值， 15 分
∴3λ＝－μ时即λμ＝－13 时，μ|AB|＋λ|PQ|为定值． 17 分
(注：用焦半径公式需要证明，不证明则每种情况扣 2 分．)
6
19．(1)C ＝4×3×2×1×0×(－1)6!＝0 2 分
4
2
C ＝0.5×(－0.5)2!＝－18(写－0.125 也对) 4 分
0.5
(2)1.11.8＝(1＋0.1)1.81 2 3
＝1＋C1.8·0.1＋C1.8·0.12＋C1.8·0.13＋… 6 分
＝1＋0.18＋0.0072－0.000048＋…
≈1.19 10 分
(注:只要有展开过程就得 2 分，后面需至少保留前 3 项)
(3)考虑(1＋x)2＝(1＋x)0.7·(1＋x)1.3 的展开式中，x20 的系数． 13 分
左式为 1＋2x＋x2，x20 的系数为 0，
20 0 19 1 18 2 1 19 0 20
右式中 x20 的系数为 C0.7·C1.3 ＋C0.7·C1.3 ＋C0.7·C1.3 ＋…＋C0.7·C1.3 ＋C1.7·C1.3 ， 15 分
20 0 19 1 18 2 1 19 0 20
所以 C0.7·C1.3 ＋C0.7·C1.3 ＋C0.7·C1.3 ＋…＋C0.7·C1.3 ＋C1.7·C1.3 ＝0． 17 分
