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合肥⼀中 学年第⼀学期⾼三年级教学质量检测
2024—2025
数学学科试卷
时⻓：120分钟 分值：150分
⼀、单选题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．
1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 若 ，则 （ ）
A. 或 B. 或 C. D.
3. 已知函数 ，则“ ”是“函数 的是奇函数”的（ ）
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 函数 在 上单调，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 在 中，内⻆ A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 的外接圆半径为 1，且
，则 的⾯积是（ ）
A. B. C.1 D.2
6. 已知⼀个正整数 ，且N的15次⽅根仍是⼀个整数，则这个数15次⽅根为（ ）．
（参考数据： ）
A.3 B.4 C.5 D.6
7. 已知函数 ， ，若 ，使得 ，则实数a的取值
范围是（ ）
A. B.
第1⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司C. D.
8. 已知正数x，y满⾜ ，则 的最⼩值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
⼆、多项选择题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分．在每⼩题给出的选项中，有多项符
合题⽬要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知关于x的不等式 的解集为 ，则下
列结论正确的是（ ）
A. B. 的最⼤值为
C. 的最⼩值为 D. 的最⼩值为
10. 如图是函数 的部分图象，A是图象的⼀个最⾼点，
D是图象与y轴的交点，B，C是图象与x轴的交点，且 的⾯积等于 ，则下列说法正确
的是（ ）
A. 函数 的最⼩正周期为
B. 函数 图象关于直线 对称
C. 函数 图象可由 的图象向右平移 个单位⻓度得到
D. 函数 与 在 上有2个交点
11. 已知函数 及其导函数 的定义域均为R，若 ，且 是奇
函数，令 ，则下列说法正确的是（ ）
第2⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司A. 函数 是奇函数 B.
C D.
三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分．
12. 已知幂函数 在 上单调递减，则 ______.
13. 已知 ，且 ，则
________．
14. 设函数 ，下列说法正确的有________．
①函数 的⼀个周期为 ；
②函数 的值域是
③函数 的图象上存在点 ，使得其到点 的距离为 ；
④当 时，函数 的图象与直线 有且仅有⼀个公共点．
四、解答题：本题共5⼩题，共77分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知命题 “ ”为假命题，命题 “ 在 上为增函数”为真命题，
设实数a的所有取值构成的集合为A.
（1）求集合 ；
（2）设集合 ，若 是 必要不充分条件，求实数m的取值范围.
16. 已知函数 ．
（1）若 的图象在点 处的切线经过点 ，求 ；
（2）若 是 的两个不同极值点，且 ，求实数a的取值范围．
17. 已知定义域为 的函数 满⾜对任意 ，都有
（1）求证： 是奇函数；
第3⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（2）当 时， ．若关于x的不等 在 上
恒成⽴，求a的取值范围．
18. 记 的内⻆A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求A取值的范围；
（2）若 ，求 周⻓的最⼤值；
（3）若 ，求 的⾯积．
19. 已知函数 ，其中 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线⽅程；
（2）判断函数 是否存在极值，若存在，请判断是极⼤值还是极⼩值；若不存在，说明理由；
（3）讨论函数 在 上零点的个数.
第4⻚/共4⻚
学科⽹（北京）股份有限公司合肥⼀中 学年第⼀学期⾼三年级教学质量检测
2024—2025
数学学科试卷
时⻓：120分钟 分值：150分
⼀、单选题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．
1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，将集合 化简，再结合交集的运算，即可得到结果.
【详解】 或 ，
，所以 ，
故选：C
2. 若 ，则 （ ）
A. 或 B. 或 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据 ，将原式上下同时除以 ，化简求解即可.
【详解】根据题意可知 ，所以 ，
若 ，则 ，与 ⽭盾
故 ，将其上下同时除以 ，可得 ，
化简可得 ，解之得 或 .
故选：B
第1⻚/共22⻚
学科⽹（北京）股份有限公司3. 已知函数 ，则“ ”是“函数 的是奇函数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由 是奇函数确定 的取值范围，即可判断.
【详解】由 为奇函数，
可得： ，即 ，
即 恒成⽴，
即 恒成⽴，
即 恒成⽴，
解得 ，
所以 是函数 为奇函数的充分不必要条件.
故选：A
4. 函数 在 上单调，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利⽤导数求得其导函数并使其恒⼤于0，再根据分段函数单调性得出不等式即可.
【详解】由题意可知 时， ，
时， ；
第2⻚/共22⻚
学科⽹（北京）股份有限公司⼜因为 ，所以 在 上单调递增，
因此可得 时， 恒成⽴，可得 ，
⼜ ，可得 ；
综上可得a的取值范围是 .
故选：D
5. 在 中，内⻆ A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 的外接圆半径为 1，且
，则 的⾯积是（ ）
A. B. C.1 D.2
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利⽤余弦定理求出 ，利⽤三⻆恒等变换求出 ，再利⽤正弦定理及三⻆形⾯积
公式计算得解.
【详解】在 中，由 及余弦定理，得 ，
解得 ，⼜ ，则 ，
由 ，得 ，
整理得 ，
即 ，两边平⽅得 ，
⼜ ， ，则 ，即 ，由正弦定理得 ，
所以 的⾯积是 .
故选：C
6. 已知⼀个正整数 ，且N的15次⽅根仍是⼀个整数，则这个数15次⽅根为（ ）．
（参考数据： ）
第3⻚/共22⻚
学科⽹（北京）股份有限公司A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C
【解析】
【分析】设这个15次⽅根为 ，则 ，利⽤对数的运算性质求 即可．
【详解】设这个15次⽅根为 ，则 ，其中 且 ，
故 ， ， , ，故 ，
， ，由于 ,故 ．
故选：C．
7. 已知函数 ， ，若 ，使得 ，则实数a的取值
范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利⽤导函数证明在区间 上单调递增，从⽽得出 的值域；同理得出 的单调区间和
值域，由题意可知，这两个函数值域需要有交集，得出不等式组，从⽽得出范围.
【详解】 ，∴ 时， ，
∴ 在区间 上单调递增，
∴当 时，
，令 ，
则 ，令 ，则 ，
∵ ，
∴ 时， ，∴ 单调递增，
∴ ，
∴ 在 上单调递增，
第4⻚/共22⻚
学科⽹（北京）股份有限公司∴ ，
由题意可知 ，
∴ .
故选：B
8. 已知正数x，y满⾜ ，则 的最⼩值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】A
【解析】
【分析】应⽤三⻆换元，令 ，且 ，结合已知、平⽅关系、和⻆正弦公
式得 ，进⽽有 ，最后利⽤基本不等式“1”的代换求⽬标式最⼩
值.
【详解】 ，由 ，
得 ，
令 ，且 ，
所以，有 ，
即 ，故 ，
所以 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
第5⻚/共22⻚
学科⽹（北京）股份有限公司所以 的最⼩值为1.
故选：A
【点睛】关键点点睛：根据已知等量关系及三⻆函数的性质，应⽤三⻆换元将已知等式化为
是关键.
⼆、多项选择题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分．在每⼩题给出的选项中，有多项符
合题⽬要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知关于x的不等式 的解集为 ，则下
列结论正确的是（ ）
A. B. 的最⼤值为
C. 的最⼩值为 D. 的最⼩值为
【答案】BC
【解析】
【分析】由已知结合⼆次不等式与⼆次⽅程的关系可得 ，然后结合基本不等式的乘“1”法可判
断C，利⽤向量的性质可求解B，根据⼆次函数的性质可判断D．
【详解】因为关于 的不等式 ，的解集为
,
所以 ，所以 ， ，
所以 ，A错误；
因为 ， ，所以 ，当且仅当 时取等号，故 ，由于设
，由于 ，故 ，当且仅当
时等号成⽴，故B正确；
第6⻚/共22⻚
学科⽹（北京）股份有限公司，当且仅当 ，即
时取等号，C正确；
，当且仅当 时取等号，故最⼩值为
，D错误．
故选：BC．
10. 如图是函数 的部分图象，A是图象的⼀个最⾼点，
D是图象与y轴的交点，B，C是图象与x轴的交点，且 的⾯积等于 ，则下列说法正确
的是（ ）
A. 函数 的最⼩正周期为
B. 函数 的图象关于直线 对称
C. 函数 的图象可由 的图象向右平移 个单位⻓度得到
D. 函数 与 在 上有2个交点
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据部分图像求出 的表达式，再由函数图像平移及正弦函数性质可判断各项.
【详解】设 的最⼩正周期为 ，
第7⻚/共22⻚
学科⽹（北京）股份有限公司由图像可知 ， ，
即 ，可得 ，故A正确；
且 ，所以 ，解得 ，
⼜因为图像过点 ，可得 ，即 ，
且 ，可得 ，
所以 .
对于选项B：因为 ，为最⼩值，
所以函数 的图象关于直线 对称，故B正确；
对于选项C：将 的图象向右平移 个单位⻓度，
得到 ，
所以函数 的图象可由 的图象向右平移 个单位⻓度得到，故C正确；
对于选项D：注意到 ，
在同⼀坐标系内，分别作出函数 与 在 上的图象，
由图象可知：函数 与 在 上有3个交点，故D错误；
故选：ABC.
11. 已知函数 及其导函数 的定义域均为R，若 ，且 是奇
第8⻚/共22⻚
学科⽹（北京）股份有限公司函数，令 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数 是奇函数 B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】把已知等式中 换成 ，再移项变形可得A错误； 求导令 可得
，再由 是奇函数，再求导可得B正确；由奇函数的性质得到①，在令 ，可得
，再由已知等式得到④，进⽽得到 ，然后可得C正确；由原函数和导函
数的奇偶性可得 ，进⽽可得D正确；
【详解】对于A，因为 ，把 换成 ，则 ，
移项化简可得 ，即 ，为偶函数，故A错误；
对于B，由A中 求导可得 ，
令 ，可得 ，
⼜ 是奇函数，即 ，
求导可得 ，即 ，
令 ，则 ，
所以 ，故B正确；
对于C，由B中 可得 ，①
由A中 ，②
把①中 换成 可得 ，③
由②③可得 ， 所以:
第9⻚/共22⻚
学科⽹（北京）股份有限公司故C正确；
对于D，由B中 ，
⼜由 可得 ，即 ，
所以
所以令 可得 ；令 可得 ； ，
所以 ，
故D正确；
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题C选项的关键在于理解抽象复合函数求导，原函数为奇函数则导函数为偶函数
这⼀性质，再利⽤函数的奇偶性解答.
三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分．
12. 已知幂函数 在 上单调递减，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】先根据函数是幂函数计算求参得出 或 ，最后结合函数的单调性计算得出符合题意的
参数.
【详解】由题意可得 为幂函数，则 ，解得 或 .
当 时， 为增函数，不符合题意；
当 时， 在 单调递减，符合题意.
故答案为: .
第10⻚/共22⻚
学科⽹（北京）股份有限公司13. 已知 ，且 ，则
________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利⽤同⻆公式求出 ，再利⽤和差⻆的余弦公式求出 即可.
【详解】由 ，得 ， ，
由 ，得 ， ，
由 ，得 ，
即 ，则 ，
因此 ，所以 .
故答案为：
14. 设函数 ，下列说法正确的有________．
①函数 的⼀个周期为 ；
②函数 的值域是
③函数 的图象上存在点 ，使得其到点 的距离为 ；
④当 时，函数 的图象与直线 有且仅有⼀个公共点．
【答案】①④
【解析】
【分析】利⽤函数的周期性定义结合余弦函数的周期性可判断①；采⽤三⻆代换，利⽤导数判断函数单调
性，利⽤函数单调性求解函数值域，判断②；利⽤ ，结合两点间距离公式可
判断③；结合解 ，根据解的情况判断④，即得答案.
第11⻚/共22⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【详解】对于①， ，
，
故 是函数 的⼀个周期，①正确；
对于②， ，
需满⾜ ，即 ，
令 ， ，则 即为 ，
当 时， 在 上单调递增，则 ；
当 时， ，
（ ，故 ）
此时 在 上单调递减，则 ，
综上， 的值域是 ，②错误；
对于③，由②知， ，
当 时，
满⾜此条件下的 图象上的点 到 的距离
；
当 时， ,
满⾜此条件下的 图象上的点 到 的距离
第12⻚/共22⻚
学科⽹（北京）股份有限公司，
当且仅当 且 时等号成⽴，
⽽ 时， 或 ，
满⾜此条件的x与 ⽭盾，即等号取不到，
故函数 的图象上不存在点 ，使得其到点 的距离为 ，③错误；
对于④，由②的分析可知 ，则 ，即 ，
⼜ ，故当且仅当 时， ，
即当 时，函数 的图象与直线 有且仅有⼀个公共点，④正确．
故答案为：①④
【点睛】关键点点睛：对于函数 ，先求出定义域，再采⽤
换元法令 ， ，得函数 ，利⽤单调性求其值域.
四、解答题：本题共5⼩题，共77分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知命题 “ ”为假命题，命题 “ 在 上为增函数”为真命题，
设实数a 所有取值构成的集合为A.
（1）求集合 ；
（2）设集合 ，若 是 的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
【答案】（1） 或
（2） 或
【解析】
第13⻚/共22⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【分析】（1）由 ：“ ， ”为假命题时，可转化为关于 的⼀元⼆次⽅程⽆解，然后利
⽤判别式即可，命题q可利⽤对勾函数的性质求解，取交集即可得a的取值范围，则集合A可求，再结合
补集运算可得答案；
（2）由 是 的必要不充分条件可得B ，然后分 为空集和⾮空集两种情况讨论即可.
【⼩问1详解】
因为命题 为假命题，所以关于 的⼀元⼆次⽅程 ⽆解，
即 ，解得 ，
因为命题q为真命题，当 时， 在 上为增函数，满⾜题意；
当 时，结合对勾函数的性质可知 在 上单调递减，不满⾜题意；
故集合 ，所以 或 ；
【⼩问2详解】
由 是 的必要不充分条件，则B ，
当 时， ，解得 ，此时满⾜B ，
当 时，则 或 ，
解得 或 ，
综上所述， 的取值范围是 或 .
16. 已知函数 ．
（1）若 的图象在点 处的切线经过点 ，求 ；
（2）若 是 的两个不同极值点，且 ，求实数a的取值范围．
【答案】（1） 或
（2）
【解析】
第14⻚/共22⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【分析】（1）求出函数 的导数，利⽤导数的⼏何意义求出切线⽅程即可求解作答.
（2）利⽤极值点的意义，结合⻙达定理、根的判别式列出不等式，求解作答.
【⼩问1详解】
函数 ，求导得 ，
则 ， ，
于是函数 的图象在点 处的切线⽅程为 ，
即 ，
⽽切线过点 ，则 ，
整理可得 ，解得 或 ，
所以 或
【⼩问2详解】
由（1）知，⽅程 ，即 有两个不等实根 ，
则 ，解得 ，且 ，
于是
，
由 ，得 ，解得 ，
因此 ，所以实数 的取值范围是 .
17. 已知定义域为 的函数 满⾜对任意 ，都有
（1）求证： 是奇函数；
（2）当 时， ．若关于x的不等 在 上
恒成⽴，求a的取值范围．
【答案】（1）证明⻅解析
第15⻚/共22⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（2）
【解析】
【分析】（1）利⽤赋值法，先求出 及 的值，再证明 即可；
（2）由题意得 ，构造函数 ，得出 的奇偶性及在 上的单调性，
继⽽可得 ，结合题意可得 ，令 ，利⽤导数求出 在
上的最⼤值即可求解.
【⼩问1详解】
证明：令 ，得 ，即 ，
令 ，得 ，即 ，
令 ， ，
所以 是奇函数.
【⼩问2详解】
，
，且 ，
所以 ，
令 ，
因 ，
所以 ，则 ，
设 ，则 ，所以 ，
因为 ，
所以 在 上是减函数，
第16⻚/共22⻚
学科⽹（北京）股份有限公司，所以 为偶函数，
所以 在 上恒成⽴，
即 或 ，
即 或 （负值，舍去），
令 ，即 ，
，
令 ，解得 ，
所以 ， ， 单调递增，
所以 ，
所以 .
故 的取值范围是 .
18. 记 的内⻆A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求A取值的范围；
（2）若 ，求 周⻓的最⼤值；
（3）若 ，求 的⾯积．
【答案】（1） ；
（2）6； （3） .
【解析】
【分析】（1）根据题意利⽤正弦定理结合三⻆恒等变换分析可得 ，在利⽤余弦定理结合基本不
等式分析运算即可；
（2）由（1）可得 ，结合基本不等式分析运算；
（3）根据题意结合正弦定理可求得 ，利⽤正弦定理以及⾯积公式分析运算.
【⼩问1详解】
第17⻚/共22⻚
学科⽹（北京）股份有限公司由题设 ，
所以 ，
，
⼜ ，则 ，
根据正弦边⻆关系，易得 ，则 ，
⼜ ，则 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，结合 ，可得 ；
【⼩问2详解】
由（1）有 ，⼜ ，
⼜ ，则 ，
所以 ，当且仅当 取等号，
所以 周⻓的最⼤值6.
【⼩问3详解】
由 ，且 ，
所以 ，⽽ ，则 ，
由 ，显然 ，故 ，即 ，
结合 ，可得 ，
由 ，⽽ ，
由 ，整理得 ，可得 （负值舍），
第18⻚/共22⻚
学科⽹（北京）股份有限公司所以 ，故 .
19. 已知函数 ，其中 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线⽅程；
（2）判断函数 是否存在极值，若存在，请判断是极⼤值还是极⼩值；若不存在，说明理由；
（3）讨论函数 在 上零点的个数.
【答案】（1） ；（2）答案⻅解析；（3）答案⻅解析.
【解析】
【分析】（1）求出 、 ，利⽤点斜式可得出所求切线的⽅程；
（2）对实数 的取值进⾏分类讨论，分析导数 在 上的符号变化，由此可得出结论；
（3）对实数 的取值进⾏分类讨论，分析函数 在 上的单调性，结合零点存在定理可得出结论
.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
所以， ， ，
所以，曲线 在点 处的切线⽅程为 ，即 ；
（2） ，设 ，
则 对任意的 恒成⽴，故 在 上单调递减.
所以， ，当 时， .
①若 ，即 时，
由零点存在定理可知，存在 ，使得 ，
第19⻚/共22⻚
学科⽹（北京）股份有限公司当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减.
所以， 在 处取得极⼤值，不存在极⼩值；
②若 ，则 ， 对任意的 恒成⽴，
此时，函数 在 上单调递增，此时函数 ⽆极值.
综上所述，当 时，函数 有极⼤值，⽆极⼩值；
当 时，函数 ⽆极值；
（3）分以下情况讨论：
①若 ，函数 在 上单调递增，
则 ，
此时，函数 在 上⽆零点；
②若 ，由（2）可知，由零点存在定理可知，存在 ，使得
，且函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
从⽽有 ，设 ，则 对任意的 恒成⽴，从
⽽当 增⼤时， 也增⼤.
（i）若 ，此时 ，此时函数 在 上单调递减，
若 ，可得 或 （舍去）.
此时函数 在 上⽆零点；
第20⻚/共22⻚
学科⽹（北京）股份有限公司若 ，可得 ，
此时函数 在 上有且只有⼀个零点.
当 时， ， ，此时函数 在 上只有⼀个零点；
（ii）当 时，此时 ，此时函数 在 上单调递增，在 上单调
递减.
， ，
所以， ，
设 ，则 对任意 恒成⽴，
所以，函数 在 上单调递增，所以， ，
若 ，即 ，即 ，此时函数 在 上⽆零点；
若 ，即 ，即 时，此时函数 在 上有且只有⼀个零点.
综上所述，当 时，函数 在 上⽆零点；
当 时，函数 在 上有且只有⼀个零点.
【点睛】⽅法点睛：利⽤导数解决函数零点问题的⽅法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的⽅法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，
然后将问题转化为函数图象与 轴的交点问题，突出导数的⼯具作⽤，体现了转化与化归思想、数形结合
思想和分类讨论思想的应⽤；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
第21⻚/共22⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（3）参变量分离法：由 分离变量得出 ，将问题等价转化为直线 与函数
的图象的交点问题.
第22⻚/共22⻚
学科⽹（北京）股份有限公司
