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2003 年北京高考文科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟
王新奎新疆屯敞
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.
参考公式：
三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式
其中 、 分别表示上、下底面
周长， 表示斜高或母线长.
球 体 的 体 积 公 式 ：
，其中R表示球的半径.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的.
1．设集合 等于 （ ）
A． B．
C． D．
2．设 ，则
（ ）
A．y>y>y B．y>y>y C．y>y>y D．y>y>y
3 1 2 2 1 3 1 2 3 1 3 2
3．“ ”是“ ”的
（ ）
A．必要非充分条件 B．充分非必要条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
4．已知α，β是平面，m，n是直线.下列命题中不正确的是
（ ）
A．若m∥α，α∩β=n，则m//n B．若m∥n，α∩β=n，则n⊥α
第1页 | 共9页C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β D．若m⊥α， ，则α⊥β
5．如图，直线 过椭圆的左焦点F 和
1
一个顶点B，该椭圆的离心率为 （ ）
y
A． B．
B
C． D．
F O F x
1 2
6．若 且 的最小值是 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面 积 的 比 为
（ ）
A． B． C． D．
8．若数列 的通项公式是 ，则 等
于（ ）
A． B． C． D．
9．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，
其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有
（ ）
A．24种 B．18种 C．12种 D．6种
10．某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k名同学都有选举权和被选举权，他们
的编号分别为1，2，…，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令
其中i=1，2，…，k，且j=1，2，…，k，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（
）
A．
B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
11．已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为
王新奎新疆屯敞
12．函数 中， 是偶函
第2页 | 共9页数.
13．以双曲线 右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是
王新奎新疆屯敞
14．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积
之和最小，正方形的周长应为
王新奎新疆屯敞
三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分13分）
已知函数
（Ⅰ）求 的最小正周期；
（Ⅱ）求 的最大值、最小值.
16．（本小题满分13分）
已知数列 是等差数列，且
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）令 求数列 前n项和的公式.
17．（本小题满分15分）
如图，正三棱柱ABC—ABC 中，D是BC的中点，AB=a.
1 1 1
（Ⅰ）求证：直线AD⊥BC；
1 1 1
（Ⅱ）求点D到平面ACC 的距离；
1
（Ⅲ）判断AB与平面ADC的位置关系，
1
并证明你的结论.
第3页 | 共9页B
C 1
1
A
1
C
B
D
A
18．（本小题满分15分）
如图，A，A为椭圆的两个顶点，F，F 为椭圆的两个焦点.
1 1 2
（Ⅰ）写出椭圆的方程及准线方程；
（Ⅱ）过线段OA上异于O，A的任一点K作OA的垂线，交椭圆于P，P 两点，直线
1
AP与AP 交于点M.
1 1
求证：点M在双曲线 上.
y
B
2
A 1 (-5,0) F 1 (-4,0) O F 2 (4,0)A 2 (5,0) x
B
1
19．（本小题满分14分）
有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=13km，BC=10km.今计划合建一
个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系
如图）
（Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，
点P应位于何处？
（Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，
点P应位于何处？
第4页 | 共9页y
A
P
B(-b,0) O C(b,0) x
20．（本小题满分14分）
设 是定义在区间 上的函数，且满足条件：
（i）
（ii）对任意的
（Ⅰ）证明：对任意的
（Ⅱ）判断函数 是否满足题设条件；
（Ⅲ）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的函数 ，且使得对任意的
若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分50分.
1．A 2．D 3．A 4．A 5．D 6．B 7．C 8．B 9．B 10．C
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.
11．3 12． 13． 14．
三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查
运算能力，满分13分. （Ⅰ）解：因为
所以 的最小正周期
第5页 | 共9页（Ⅱ）解：因为 所以 的最大值为 ,最小值为－
16．本小题主要考查等差、等比数列等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决问题
的能力.满分13分.
（Ⅰ）解：设数列 公差为 ，则 又
所以
（Ⅱ）解：由 得
①
②
将 ① 式 减 去 ② 式 ， 得
所以
17．本小题主要考查直线与平面的位置关系，正棱柱的性质，棱锥的体积等基本知识，考
查空间想象能力和逻辑推理能力. 满分15分.
（Ⅰ）证法一：∵点D是正△ABC中BC边的中点，∴AD⊥BC，
又AA⊥底面ABC，∴AD⊥BC ，∵BC∥BC，∴AD⊥BC.
1 1 1 1 1 1 1
证法二：连结AC，则AC=AB. ∵点D是正△ACB的底边中BC的中点，
1 1 1 1 1
∴AD⊥BC ，∵BC∥BC，∴AD⊥BC.
1 1 1 1 1 1
（Ⅱ）解法一：作DE⊥AC于E， ∵平面ACC⊥平面ABC，
1
∴DE⊥平面ACC 于E，即DE的长为点D到平面ACC 的
1 1
距离. 在Rt△ADC中，AC=2CD=
∴所求的距离
C 1 B 1
A
1
C B
D
E
A
解法二：设点D到平面ACC 的距离为 ，
1
第6页 | 共9页∵体积
即点D到平面ACC 的距离为 .
1
（Ⅲ）答：直线AB//平面ADC，证明如下：
1 1
证法一：如图 1，连结AC交AC 于F，则 F为AC的中点，∵D是BC的中点，
1 1 1
∴DF∥AB，
1
又DF 平面ADC，AB 平面ADC，∴AB∥平面ADC.
1 1 1 1 1
证法二：如图2,取CB 的中点D，则AD∥AD，CD∥DB，
1 1 1 1 1 1 1
∴AD∥平面ADB，且CD∥平面ADB，
1 1 1 1 1
∴平面ADC∥平面ADB，∵AB 平面ADB，∴AB∥平面ADC.
1 1 1 1 1 1 1 1
C 1 B 1 C 1 D 1 B 1
A A
1 1
F
C B
D C D B
A
A
图（1） 图（2）
18．本小主要考查直线、椭圆和双曲线等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力.满分
15分.
（Ⅰ）解：由图可知,
该椭圆的方程为
准线方程为
y
B (0,3)
2 M
P
A (-5,0) O K A (5,0) x
1 2
P
B (0,-3) 1
1
第7页 | 共9页（Ⅱ）证明：设K点坐标 ,点P、P 的坐标分别记为 ，
1
其中 则 ……① 直线AP，PA的方程分别为：
1 1
……② ……③
②式除以③式得 化简上式得 代入②式得
于是，直线AP与AP 的交点M的坐标为
1 1
因为
所以，直线AP与AP 的交点M在双曲线 .
1 1
19．本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的
能力.满分14分.
（Ⅰ）解：设P的坐标为（0， ），则P至三镇距离的平方和为
所以，当 时，函数 取得最小值. 答:点P的坐标是
（Ⅱ）解法一：P至三镇的最远距离为
由 解得 记 于是
因为 在[ 上是增函数，而
上是减函数. 所以 时,函数 取得最小值. 答:点P的
坐标是
解法二：P至三镇的最远距离为
由 解得 记 于是
函数 的图象如图 ，因此，
第8页 | 共9页当 时，函数 取得最小值.答:点P的坐标是
解 法 三 ： 因 为 在 △ ABC 中 ， AB=AC=13, 且 ，
所以△ABC的外心M在线段AO上,其坐标为 ,
且AM=BM=CM. 当P在射线MA上，记P为P；当P在射线
1
MA的反向延长线上，记P为P，
2
这时P到A、B、C三点的最远距离为
PC和PA，且PC≥MC，PA≥MA，所以点P与外心M
1 2 1 2
重合时，P到三镇的最远距离最小.
答:点P的坐标是
20．本小题考查函数、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的
能 力 . 满 分 14 分 . （ Ⅰ ） 证 明 ： 由 题 设 条 件 可 知 ， 当 时 ， 有
即
（Ⅱ）答：函数 满足题设条件.验证如下：
对任意的 ，
当
当
当 不妨设
有
所以，函数 满足题设条件.
（Ⅲ）答：这样满足的函数不存在.理由如下：
假设存在函数 满足条件，则由 得 ①
由于对任意的 ，都有
所以， ② ①与②矛盾，因此假设不成立，即这样
的函数不存在.
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