文档内容
2024~2025 学年第一学期期中调研试卷
高二数学
（满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出斜率即可求解.
【详解】由 ，可知直线斜率为 ，
所以 ，
所以 ，
故选：A
2. 圆 与圆 的位置关系为（ ）
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，求出两圆的圆心距，再结合圆与圆位置关系的判断方法，即可求解.
【详解】因为圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
，所以两圆外切.
故选：B.
3. 已知点 与点 关于直线 对称，则直线 的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对称关系得出直线斜率及直线所过的点即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
又 的中点 在直线l上，
所以直线l的方程为 ，即 ，
故选：A
4. 设 为实数，若直线 与 平行，则它们之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两直线平行的充要条件求出 ，再根据两平行间的距离公式求解.
【详解】由题意， ，解得 ，
所以直线 ，即 与直线 间的距离为 .
故选：A.5. 已知椭圆的两个焦点分别为 ， ，点 在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据椭圆的定义求出 ，再由焦点坐标求出 ，求出离心率即可.
【详解】设椭圆 的两个焦点为 ， ，点 ，
则 ， ，
，所以椭圆的离心率为 .
故选：C.
6. 椭圆 以双曲线 的两个焦点为长轴的端点，以双曲线的顶点为焦点，则椭圆 的方程为（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由双曲线方程确定焦点坐标及顶点坐标，进而可求解.
【详解】由
可得其焦点坐标为： ，顶点坐标
所以椭圆长轴端点坐标： ，焦点坐标为 ，所以椭圆方程为： ，
故选：C
7. 过抛物线 的焦点 的弦 ，其中点 在第一象限，若 ，则直线 的
斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设 ，根据 可得 ，设直线方程联立抛物
线，由根与系数关系得出 ，即而求出B点，根据斜率公式求解即可.
【详解】设 ，
由 ，可得 ，即
，
设直线方程为： ，
， ，
，故选：D
8. 已知椭圆 的上顶点为 ，过椭圆左焦点 且斜率为 的直线交椭圆于 ， 两点，则
的周长为（ ）
A. 10 B. 8 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取椭圆的右焦点 ，易证直线 是线段 的垂直平分线，可得 ， ，
结合椭圆的定义求得答案.
【详解】由椭圆方程可得 ， ，则 ，
如图，取椭圆的右焦点 ，连接 ，
则 ，即 为正三角形，
又直线 的斜率为 ，则直线 的倾斜角为 ，即 ，
所以直线 是线段 的垂直平分线，
所以 ， ，
所以 的周长为
.
故选：B.二、选择题：本题共3小题．每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设 为实数，直线 ： ，点 ， ，则下列说法正确的有（ ）
A. 直线 过定点
B. 若点 ， 到直线 的距离相等，则
C. 直线 与 轴一定相交
D. 若直线 不过第二象限，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据直线过定点的求法判断 A，由特殊情况直线与两点连线平行判断 B，分析直线不能写成
的形式判断C，取特例 判断D.
【详解】由直线 ： ，可得 ，
当 ，即 时，方程恒成立，
即直线过定点 ，故A正确；
当直线 与 平行（或重合 ）或直线 过 的中点时，点 ， 到直线 的距离相等，
由 ，可知 时，直线 为 ，与 平行，符合题意，故B错误；
由直线 ： 可知，直线倾斜角不可能 为0，所以一定与x轴相交，故C正确；直线 不过第二象限，当 时，直线方程为 ，满足题意，故D错误.
故选：AC
10. 设 为实数，方程 表示圆，则下列说法正确的有（ ）
A.
B. 若 ，则圆和两坐标轴均相切
C. 若圆关于直线 对称，则
D. 无论 取任何实数，总存在一条定直线与圆相交
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据二次方程表示圆的条件判断A，假设与 轴相切求出 判断B，由直线过圆心判断C，根据
圆心在直线 上判断D.
【详解】当方程 表示圆时， ，解得
，故A正确；
若圆与 轴相切，令 ，可得 ，由
解得 ，故B错误；
若圆关于直线 对称，则直线过圆心，由 可得
，
圆心 代入直线方程，可得 ，且此时满足 ，故C正确；
由C知，圆心为 ，即圆心在直线 上，所以不论m取何值， 都过圆心，与圆相交，故D
正确.
故选：ACD.11. 在平面直角坐标系 中，过抛物线 的焦点 的直线与抛物线交于 两点，直
线 ， 分别交抛物线准线于 ， 两点，则下列说法正确的有（ ）
A. 轴 B.
C. 以 为直径的圆与抛物线准线恒相交 D. 面积的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】设直线 ，联立方程可得韦达定理.对于A：求点C的坐
标，结合韦达定理分析判断；对于B：：求点D的坐标，结合数量积分析判断；对于C：根据抛物线的定
义分析判断；对于D：结合韦达定理就面积，即可判断.
【详解】由题意可知：抛物线的焦点 ，准线 ，
显然直线 的斜率可以不存在，但不为0，此时直线 与抛物线必相交，
设直线 ，
联立方程 ，消去x可得 ，
可得 .对于选项A：可知直线 ，
令 ，可得 ，即 ，
所以 轴，故A正确；
对于选项B：同理可得： ， 轴，
则 ，可得 ，
所以 ，故B正确；
对于选项C：因为 ，
由梯形中位线可知：以 为直径的圆的圆心到准线的距离为 ，
即圆心到准线的距离等于半径，所以以 为直径的圆与抛物线准线恒相切，故C错误；
对于选项D：因为 ，
可得 面积 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 面积的最小值为 .
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法
（1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解．
（2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法
求最值（注意：有时需先换元后再求最值）.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 设 为实数，直线 ： ， ： ，若 ，则 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】当两条直线垂直时，若直线 与直线 垂直，则满足
.我们可以根据这个定理来求解 的值.
【详解】对于直线 和 ，根据两直线垂直的定理 ，
则可得方程 .
对 进行求解.
.
故答案为： .
13. 圆 上有且只有2个点到直线 的距离等于1，则半径 的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】计算圆心到直线的距离为1，根据条件得到 ，解得答案.
【详解】圆心 的圆心为 ，半径为 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
因为圆 上只有两个点到直线 的距离等于1，
所以 ，即 ，解得 .故答案为： .
的
14. 如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出 光线经过双曲线镜面反射，其反射关线
的反向延长线经过双曲线的左焦点．设 ，若双曲线 ： 的左，右焦点分别为 ， ，
从 发出的光线经过图2中的 ， 两点反射后，分别经过点 ， ， ， ，
则 的值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】由双曲线的性质，结合双曲线的定义及勾股定理求解即可.
【详解】由 ， ，则 ， ，
设 ， ，则 ， ，
由双曲线定义得 ， ，
，解得 ，
所以 ， ，
在直角三角形 中， ，则 ，即 ，又 ，
，解得 .
故答案为：3.
，
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知 的顶点 ，直线 的方程为 ， 边上的中线 所在的直线方程
为 ．
（1）求顶点 ， 的坐标；
（2）求 的面积．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）联立直线 与 方程，可得点 ，设 ，表示中点 ，根据 在直线 上，
在直线 上，可列方程，解方程即可；
（2）根据点 与 的坐标可得 ，再根据点 到直线 的距离可得面积.
【小问1详解】
由已知 ， ，
则 ，解得 ，即 ，设 ，则 中点 ，
又点 在直线 上，点 在直线 上，
即 ，解得 ，即 ；
【小问2详解】
由（1）得 ，
点 到直线 的距离 ，
则 .
16. 设 为实数，圆 的方程为 ．
（1）若圆 和圆 的公共弦长为 ，求 的值；
（2）若过点 的圆 与圆 相切，切点为 ，求圆 的标准方程．
【答案】（1）1或
（2）
【解析】
【分析】（1）求出两圆公共弦所在直线方程为 ，结合弦长求得 ；
（2）结合已知条件求出圆 的方程，求出圆心和半径，设出圆 的标准方程，利用切点以及两圆圆心共
线求出圆 的圆心的横纵坐标之间的关系，然后利用圆 半径相等即可求解.
【小问1详解】
由题知两圆相交，
将圆 与圆 相减可得 ，即两圆公共弦所在直线方程 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
所以 ，解得 或 ，
所以实数 的值为 或 .
【小问2详解】
将点 代入圆 ，可得 ，
所以圆 的方程为 ，即 ，
所以圆 的圆心为 ，半径为 ，
设圆 的标准方程为 ，
因为圆 与圆 相切于点 ，所以 、 、 三点共线，
所以直线 的方程为 ，即 ，
将点 代入得 ①，又点 在圆 上，
则 ，即 ②，
由①②两式解得， ， ，
所以圆 的标准方程为 .
17. 已知动点 到点 的距离比到直线 的距离小 ，过 作圆 的一条切线， 为切点，过 作直线 的垂线，垂足为 ．
（1）求点 的轨迹方程；
（2）当 、 、 三点共线时，求线段 的长；
（3）判断满足 的点 有几个，并说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3） 个，；理由见解析
【解析】
【分析】（1）分析可知，点 的轨迹是以点 为焦点，直线 为准线的方程，即可得出点 的轨迹
方程；
（2）当 、 、 三点共线时，求出点 的坐标，并求出 ，再利用勾股定理可求得|PQ)的值；
（3）由题意可得出 ，由两点间的距离公式化简得出 的中垂线方程，判断该直线与
抛物线的位置关系，即可得出结论.
【小问1详解】
由题意可知，点 到点F(1,0)的距离等于点 到直线 的距离，
所以，点 的轨迹是以点 为焦点，直线 为准线的方程，
设其方程为 ，则 ，可得 ，所以，点 的轨迹方程为 .
【小问2详解】
由题意可知，当 、 、 三点共线时，因为点 ，直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，此时，点 ，则 ，
因为 ，由勾股定理可得 .【小问3详解】
因为 ，由题意可得 ，
化简可得 ，
联立 ，可得 ， ，
故满足条件的点 有两个.
18. 已知双曲线 ： 的右顶点为 ，实轴长为4，过双曲线 的左焦点 作直
线 ，当直线 与 轴垂直时，直线 与双曲线 的两个交点分别为 ， ，此时 为等腰直角三角
形．
（1）求双曲线 的方程；
（2）当直线 与双曲线 的渐近线平行时，求直线 与双曲线 的交点坐标；
（3）当直线 与双曲线 的左支交于 ， 两点时，直线 ， 分别交直线 于 ， 两点，
在 轴上是否存在定点 ，使得点 始终在以线段 为直径的圆上？若存在，求出 点坐标，否则，请
说明理由．
【答案】（1）
（2） 或 .（3） 或
【解析】
【分析】（1）根据 关系得到方程组，解出即可；
（2）写出渐近线方程，再利用平行关系得到直线 的方程，联立双曲线方程解出即可；
（3）设设 的方程为 ，联立双曲线方程得到韦达定理式，再写出相关直线方程，得到相关
点坐标，写出两点直径式，代入韦达定理式即可.
【小问1详解】
由题意得 ，解得 ，
所以双曲线 的方程为： .
【小问2详解】
渐近线方程为 ，
当直线 与 平行时，直线 的方程为： ，
联立 解得 .
当直线 与 平行时，直线 的方程为： ，
联立 解得 ，
所以直线 与双曲线 的交点坐标为 或 .【小问3详解】
因为双曲线 的渐近线方程为： ，
显然当直线 与 轴重合时，不合题意，故设 的方程为 ， ， ，
直线 的方程为： ，
当 时， ，即P点坐标为 ，
直线 的方程为： ，
当 时， ，即 点坐标为 ，
所以以 为直径的圆方程为： ，
当 时 ，
联立 ，消去 得 ，其中 ，
，且 ，
所以 ， .
，
所以 ，.
所以 或
所以 轴上存在定点 或 始终在以 为直径的圆上.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法并与双曲线方程联立得到韦达定理式，写出两点直
径式方程，并代入韦达定理式即可.
19. 已知椭圆 过点 ，离心率为 ，左、右焦点分别为 、 ，右
顶点为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的直线 与椭圆 的另外一个交点为 ，当 的面积最大时，求直线 的方程；
的
（3）若点 、 是直线 上不同 两点，则向量 以及与它平行的非零向量都称为直线 的方向向
量，当直线 时，直线 的方向向量称为直线 的法向量．设 、 为实数，直线 的一个
法向量为 ， 为直线 上任一点，点 为坐标平面内的定点，我们把 称为点 在直线 上的投影
数量．当 与椭圆 相切时，点 、 在直线 上的投影数量的乘积是否为定值？若是，求出这个定值，
若不是，说明理由．
【答案】（1）（2）
（3）是定值，且定值为
【解析】
【分析】（1）根据已知条件可得出关于 、 、 的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；
（2）求出直线 的方程，设点 ，其中 ，利用点到直线的距离公式，辅助角
公式可求得点 到直线 距离的最大值及其对应的 的值，可得出点 的坐标，进而可求得直线 的
方程；
（3）设直线 与椭圆相切于点 ，则 ，先证明椭圆在点 处的切线方程为
，可得出直线 的一个法向量，再利用投影的概念可求得点 、 在直线 上的投影数量的
乘积，即可得出结论.
【小问1详解】
由题意可得 ，解得 ，
因此，椭圆 的方程为 .
【小问2详解】
易知点 ，直线 的斜率为 ，
则直线 的方程为 ，即 ，若 的面积最大，则点 到直线 的距离取最大值，
设点 ，其中 ，
则点 到直线 的距离为 ，
因为 ，则 ，
故当 时，即当 时， 取最大值，此时点 ，
所以，直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，
故当 的面积最大时，直线 的方程为 .
【小问3详解】
若直线 的方程为 ，则该直线的斜率为 ，该直线的一个方向向量为 ，
该直线的一个法向量为 ，
设直线 与椭圆相切于点 ，则 ，
首先证明椭圆在点 处的切线方程为 ，
联立 可得 ，解得 ，
所以，椭圆在点 处的切线方程为 ，即 ，所以，直线 的一个法向量为 ，
， ，
所以，点 在直线 上的投影为 ，
点 在直线 上的投影为 ，
所以，点 、 在直线 上的投影数量的乘积为
.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见 的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
