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2003 年广东高考数学真题及答案
一、选择题：每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．暂缺
2．已知 （ ）
A． B．－ C． D．－
3．圆锥曲线 （ ）
A． B． C． D．
4．等差数列 中，已知 ，则n为 （ ）
A．48 B．49 C．50 D．51
5．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F、F，∠FMF=120°，则双曲线的离心率为
1 2 1 2
（ ）
A． B． C． D．
5．设函数 若 ，则x的取值范围是 （ ）
0
A．（－1，1） B．（－1，+∞）
C．（－∞，－2）∪（0，+∞） D．（－∞，－1）∪（1，+∞）
7．函数 的最大值为 （ ）
A． B． C． D．2
8．已知圆 的弦长为 时，则
a= （ ）
A． B． C． D．
9．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
10．函数 （ ）
A． B．
C． D．
11．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P 沿与AB
0
夹角为θ的方向射到BC上的点P 后，依次反射到CD、DA和AB上的点P ，P 和P （入射角等于反射
1 2 3 4
角）. 设P 的坐标为（x，0），若
4 4
则 的取值范围是 （ ）
A．（ ，1） B． C． D．
12．一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）
A．3π B．4π C． D．6π
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上
第1页 | 共6页13．不等式 的解集是
14． 展开式中 的系数是
15．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2，
拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系，可
以得出的正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂
直，则
16．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，
要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可
供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．（本小题满分12分）
已知正四棱柱ABCD—ABCD，AB=1，AA=2，点E为CC 中点，点F为BD 中点.
1 1 1 1 1 1 1
（1）证明EF为BD 与CC 的公垂线；
1 1
（2）求点D 到面BDE的距离.
1
18．（本小题满分12分）
已知复数z的辐角为60°，且 是 和 的等比中项. 求 .
19．（本小题满分12分）已知c>0，设P：函数 在R上单调递减Q：不等式x+|x-2c|>1的解集为R.如
果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围
20．（本小题满分12分）
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市 O（如
图）的东偏南 方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向 西
偏北 45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60km,并以
10km/h的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
21．（本小题满分14分）
已知常数 在矩形ABCD中，AB=4，BC=4 ，O为AB的中点，点E、F、G 分
别在BC、CD、DA上移动，且 ，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到
第2页 | 共6页这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.
22．（本小题满分14分）
设 为常数，且
（1）证明对任意 ；
（2）假设对任意 有 ，求 的取值范围.
数学试题参考答案
一、选择题：
1.D 2.D 3.C 4.C 5.B 6.D 7.A 8.C 9.B 10.D 11.C 12.A
二、填空题：
13． 14． 15．S2△ABC+S2△ACD+S2△ADB=2S△BCD
三、解答题：
（I）证明：取BD中点M，连结MC，FM，
∵F为BD 中点， ∴FM∥DD且FM= DD
1 1 1
又EC= CC，且EC⊥MC，
1
∴四边形EFMC是矩形 ∴EF⊥CC
1
又CM⊥面DBD ∴EF⊥面DBD
1 1
∵BD 面DBD，
1 1
∴EF⊥BD 故EF为BD 与CC 的公垂线.
1 1 1
第3页 | 共6页（II）解：连结ED，有
1
由（I）知EF⊥面DBD，设点D 到面BDE的
1 1
距离为d，
则S ·d=S ·EF.………………9分
△DBC △DBD
∵AA=2·AB=1.
1
故点D 到平面BDE的距离为 .
1
18． 解：设 ，则复数 由题设
19．
20．解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.
在时刻：（1）台风中心P（ ）的坐标为
此时台风侵袭的区域是
其中 若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有
即
答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.
21．根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P到两点距离的
和为定值.
按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）设
由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）直线OF的方程为： ①
直线GE的方程为： ②
从①，②消去参数k，得点P（x,y）坐标满足方程
整理得 当 时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.
当 时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长
第4页 | 共6页当 时，点P到椭圆两个焦点（ 的距离之和为定值
当 时，点P 到椭圆两个焦点（0， 的距离之和为定值2 .
22．本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题
的能力，满分14分.
（1）证法一：（i）当n=1时，由已知a=1－2a，等式成立；
1 0
（ii）假设当n=k（k≥1）等式成立，则
那么
也就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据（i）和（ii），可知等式对任何n∈N，成立.
证法二：如果设 用 代入，可解出 .
所以 是公比为－2，首项为 的等比数列.
即
（2）解法一：由 通项公式
等价于 ……①
（i）当n=2k－1，k=1，2，…时，①式即为
即为 ……②
②式对k=1，2，…都成立，有
（ii）当n=2k，k=1，2，…时，①式即为
即为 ……③ ③式对k=1，2，…都成立，有
综上，①式对任意n∈N，成立，有
*
故a的取值范围为
0
解法二：如果 （n∈N）成立，特别取n=1，2有
*
因此 下面证明当 时，对任意n∈N，
*
由a的通项公式
n
第5页 | 共6页（i）当n=2k－1，k=1，2…时，
（ii）当n=2k，k=1，2…时，
故a的取值范围为
0
第6页 | 共6页
