文档内容
山东新高考联合质量测评１０月联考（Ｂ版） → （ ３ ３槡３ ）→ →
所以ＡＳ＝ ０， ， ，ＡＣ＝（３槡３，３，０），ＡＤ＝（３槡３，－３，０），
２ ２
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １２分
高三数学参考答案及评分标准
２０２４１０ 烄→ ３ ３槡３
设平面ＳＡＣ的一个法向量为ｎ
１
＝（ｘ
１
，ｙ１ ，ｚ
１
），则烅 ＡＳ·ｎ １ ＝ ２ ｙ１ ＋ ２ ｚ １ ＝０，
→
１．Ｃ ２．Ａ ３．Ｂ ４．Ａ ５．Ｃ ６．Ｄ ７．Ｃ ８．Ｂ ９．ＡＤ １０．ＢＣ １１．ＡＣＤ
烆ＡＣ·ｎ
１
＝３槡３ｘ
１
＋３ｙ１ ＝０，
令ｘ＝１，得平面ＳＡＣ的一个法向量为ｎ＝（１，－槡３，１），!!!!!!!!! １３分
１２．２ １３．槡２ １４．１６ １ １
ａ １ ８
设平面ＳＡＤ的一个法向量为ｎ
２
＝（ｘ
２
，ｙ２ ，ｚ
２
），
１５．解：（１）因为ｆ（ｘ）是偶函数，所以ｆ（１）＝ｆ（－１）＝ －３－１＝３ａ－ ＝ ，
３－１ ３ ３ 烄→ ３ ３槡３
解得ａ＝１，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２分 则烅 ＡＳ·ｎ ２ ＝ ２ ｙ２ ＋ ２ ｚ ２ ＝０，
→
所以当ｘ≤０时，ｆ（ｘ）＝ １ －３ｘ，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ３分 烆ＡＤ·ｎ ２ ＝３槡３ｘ ２ －３ｙ２ ＝０，
３ｘ
令ｘ＝１，得平面ＳＡＤ的一个法向量为ｎ＝（１，槡３，－１），!!!!!!!!! １４分
２ ２
１
当ｘ＞０时，可得－ｘ＜０，则ｆ（－ｘ）＝ －３－ｘ＝３ｘ－３－ｘ＝ｆ（ｘ），!!!!! ４分 ｜ｎ·ｎ｜ ３
３－ｘ 所以平面ＳＡＣ与平面ＳＡＤ所成角的余弦值为ｃｏｓθ＝ １ ２ ＝ ． !! １５分
｜ｎ｜·｜ｎ｜ ５
｛３－ｘ－３ｘ，ｘ≤０， １ ２
所以函数ｆ（ｘ）的解析式为ｆ（ｘ）＝
３ｘ－３－ｘ，ｘ＞０．
!!!!!!!!!!!! ５分 １７．解：（１）由题意，ａ
１
＝ｂ
１
＝ｃ
１
＝１，
５ １
（２）存在． 数列｛ｂ
ｎ
｝为单调递增的等比数列，ｂ
１
＋ｂ １ｑ２＝
２
ｂ １ｑ，解得ｑ＝２或ｑ＝
２
（舍），
假设存在正实数ｍ，ｎ，使得当ｘ∈［ｍ，ｎ］时，函数ｆ（ｘ）的值域为 ［ ５－ ３ ７ ｍ ，５－ ３ ７ ｎ ］ ， 所以ｂ ｎ ＝２ｎ－１，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２分
ｃ １ １
因为当ｘ＞０时，ｆ（ｘ）＝３ｘ－３－ｘ，所以ｆ（ｘ）在ｘ∈［ｍ，ｎ］上单调递增，!!!! ６分 ２ｎ＋１ｃ
ｎ＋１
－２ｎ－１ｃ
ｎ
＝０，即
ｃ
ｎ＋１＝
４
，所以数列｛ｃ
ｎ
｝为等比数列，ｃ
ｎ
＝
４ｎ－１
，!!!! ４分
ｎ
７
所以烅
烄 ｆ（ｍ）＝５－
３ｍ
，
ａ
ｎ
＋ｃ
ｎ
＝ａ
ｎ＋１
即ａ
ｎ＋１
－ａ
ｎ
＝
４ｎ
１
－１
，
７
ｆ（ｎ）＝５－ １ １ １ ７ １
烆 ３ｎ 所以ｎ≥２时，由叠加法ａ
ｎ
＝ａ
１
＋１＋
４
＋
４２
＋…＋
４ｎ－２
＝
３
－
３×４ｎ－２
，!!!! ６分
７ ７
所以ｍ，ｎ为方程ｆ（ｘ）＝５－
３ｘ
的两个根，即３ｘ－３－ｘ＝５－
３ｘ
的两个根， !!! ８分 当ｎ＝１时，ａ
１
＝１符合，
７ １
即（３ｘ）２－５·３ｘ＋６＝０的两根，整理得３ｘ＝２或３ｘ＝３，!!!!!!!!!! １０分 故ａ
ｎ
＝
３
－
３×４ｎ－２
．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ７分
解得ｘ＝ｌｏｇ２或ｘ＝１， !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １２分
３ （２）由Ｓ＝ｎ２得，ｎ≥２时，ｂ＝ｎ２－（ｎ－１）２＝２ｎ－１，ｎ＝１时，ｂ＝１满足上式，所以
又０＜ｍ＜ｎ，所以ｍ＝ｌｏｇ２，ｎ＝１， ｎ ｎ １
３ ｂ＝２ｎ－１，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ９分
ｎ
［ ７ ７］
所以存在ｍ＝ｌｏｇ
３
２，ｎ＝１，使得当ｘ∈［ｍ，ｎ］时，函数ｆ（ｘ）的值域为 ５－
３ｍ
，５－
３ｎ
．
所以（２ｎ＋３）ｃ －（２ｎ－１）ｃ＝０，即
ｃ
ｎ＋１＝
２ｎ－１
，
ｎ＋１ ｎ ｃ ２ｎ＋３
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １３分 ｎ
（１ ３ ５ ２ｎ－３） ３
１６．（１）证明：取ＳＡ中点Ｅ，连结ＢＥ，ＣＥ，则ＳＡ⊥ＢＥ，ＳＡ⊥ＣＥ，且ＢＥ∩ＣＥ＝Ｅ，所以ＳＡ 所以ｎ≥２时，由叠乘法ｃ
ｎ
＝ｃ
１ ５
×
７
×
９
×…×
２ｎ＋１
＝
（２ｎ－１）（２ｎ＋１）
，
⊥平面ＢＣＥ，所以ＳＡ⊥ＢＣ，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ３分
当ｎ＝１时，ｃ＝１符合，
１
因为ＢＣ⊥ＡＢ且ＳＡ∩ＡＢ＝Ａ，所以ＢＣ⊥平面ＳＡＢ．!!!!!!!!!!! ６分
３ ３（ １ １ ）
（２）解：取ＡＢ中点Ｏ，以ＯＳ为ｚ轴，ＯＢ为ｙ轴，过Ｏ平行ＢＣ的线为ｘ轴，建立如图 所以ｃ ｎ ＝ （２ｎ－１）（２ｎ＋１） ＝ ２ ２ｎ－１ － ２ｎ＋１ ，!!!!!!!!!!!! １１分
所示坐标系．因为ＡＤ＝ＣＤ＝６，可得ＢＣ＝３槡３，所以ＡＣ＝６，所 ３［（ １） （１ １） （ １ １ ）］ ３（ １ ） ３ｎ
Ｔ＝ １－ ＋ － ＋…＋ － ＝ １－ ＝ ，因
以△ＡＣＤ为等边三角形， !!!!!!!!!!!!! ８分 ｎ ２ ３ ３ ５ ２ｎ－１ ２ｎ＋１ ２ ２ｎ＋１ ２ｎ＋１
由ＡＢ＝３，ＣＤ＝６，得以下点的坐标Ｏ（０，０，０），Ｓ （ ０，０， ３槡３ ） ， 为Ｔ ｎ＋１ －Ｔ ｎ ＝ｃ ｎ＋１ ＝ （２ｎ＋１） ３ （２ｎ＋３） ＞０，所以数列｛Ｔ ｎ ｝单调递增，所以（Ｔ ｎ ） ｍｉｎ ＝Ｔ １
２
＝ｃ＝１，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １３分
（ ３ ） （ ３ ） （ ９ ） １
Ａ０，－ ，０ ，Ｃ３槡３， ，０ ，Ｄ３槡３，－ ，０ ，!!! １０分
２ ２ ２ 因为对任意正整数ｎ均有Ｔ ＞ ｍ 成立，所以 ｍ ＜１，解得ｍ＜２０２５，因为ｍ∈Ｎ，
ｎ ２０２５ ２０２５
所以ｍ ＝２０２４，所以ｍ的最大值为２０２４．!!!!!!!!!!!!!!! １５分
ｍａｘ
高三数学参考答案 第１页（共４页） 高三数学参考答案 第 ２页（共４页）
书书书１８．（１）证明：在△Ａ′ＣＤ内作Ａ′Ｏ′⊥ＣＤ于点Ｏ′，因为Ａ′－ＣＤ－Ｂ为直二面角，所以面
２－槡２ ２－槡２ ２－槡２
当０＜ｒ＜ 时，ｆ′（ｒ）＞０，ｆ（ｒ）单调递增，当 ＜ｒ＜ 时，ｆ′（ｒ）＜０，ｆ（ｒ）
Ａ′ＣＤ⊥面ＢＣＤ，所以Ａ′Ｏ′⊥平面ＢＣＤ， !!!!!!!!!!!!!!!! ２分 ３ ３ ２
过Ｏ′作Ｏ′Ｅ⊥ＢＣ于点Ｅ，连接Ａ′Ｅ，所以Ａ′Ｅ⊥ＢＣ，所以ｃｏｓ∠Ａ′ＣＢ＝ ＣＥ ， 单调递减，所以当ｒ＝ ２－槡２ 时，圆柱体积的最大值为 （２－槡２）２ π ．!!!!!! １７分
Ａ′Ｃ ３ ２７
ｃｏｓ∠Ａ′ＣＤ＝ Ｏ′Ｃ ，ｃｏｓ∠ＢＣＤ＝ ＣＥ ，所以ｃｏｓ∠Ａ′ＣＢ＝ｃｏｓ∠Ａ′ＣＤｃｏｓ∠ＢＣＤ． １９．（１）解：ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋７ｘ－ ３ ＝３ｌｎｘ＋ａｘ２＋ｘ＋３恰有一个不动点，
Ａ′Ｃ Ｏ′Ｃ ２
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ４分 等价于方程ｇ（ｘ）＝ｘ在（０，＋∞）内只有一个根，
π 即３（１＋ｌｎｘ）＝－ａｘ２在（０，＋∞）内只有一个根，
（２）解：①因为ＡＣ⊥ＢＣ，所以∠ＡＣＤ＝ －∠ＢＣＤ，又∠Ａ′ＣＤ＝∠ＡＣＤ，所以ｃｏｓ
２ １＋ｌｎｘ ａ １＋ｌｎｘ
等价于 ＝－ 在（０，＋∞）内只有一个根，令ｈ（ｘ）＝ ，
π １ π ｘ２ ３ ｘ２
∠Ａ′ＣＢ＝ｃｏｓ∠ＢＣＤｃｏｓ（ －∠ＢＣＤ）＝ ｓｉｎ２∠ＢＣＤ，所以当∠ＢＣＤ＝ 时，∠Ａ′
２ ２ ４ １＋ｌｎｘ ａ
等价于ｈ（ｘ）＝ 与ｙ＝－ 有且仅有一个交点，!!!!!!!!!!! ２分
ＣＢ最小．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ５分 ｘ２ ３
过点Ａ作ＡＭ⊥ＣＤ，垂足为 Ｍ，连接ＢＭ，在 Ｒｔ△ＡＣＭ 中，ＡＭ ＝ 槡２ ＡＣ ＝ ｈ′（ｘ）＝ ｘ－２ｘ（ ｘ １ ４ ＋ｌｎｘ） ＝ －１－ ｘ ２ ３ ｌｎｘ ，ｈ′（ｘ）＝０，ｘ＝ｅ－１ ２，
２
槡２ １
当ｘ∈（０，ｅ－１ ２）时，ｈ′（ｘ）＞０，ｈ（ｘ）在（０，ｅ－１ ２）上单调递增，
Ａ′Ｍ ，ＣＭ ＝ ２ ＡＣ ，在△ＢＣＭ中，由余弦定理得 ＢＭ ２＝ ＢＣ ２＋ ２ ＡＣ ２ 当ｘ∈（ｅ－１ ２，＋∞）时，ｈ′（ｘ）＜０，ｈ（ｘ）在（ｅ－１ ２，＋∞）上单调递减，!!!!!! ５分
－２×
槡２
ＡＣ
槡２
ＢＣ ＝ ＢＣ ２＋
１
ＡＣ ２－ ＡＣ ＢＣ ， !!!!!!!! ６分
所以ｈ（ｘ）
ｍａｘ
＝ｈ（ｅ－１ ２）＝
２
ｅ ，
２ ２ ２
ａ ｅ ａ ３
因为ＡＭ⊥ＣＤ，所以Ａ′Ｍ⊥ＣＤ，因为面Ａ′ＣＤ⊥面ＢＣＤ，且面Ａ′ＣＤ∩面ＢＣＤ＝ＣＤ， 所以－ ＝ ，或－ ≤０，即ａ＝－ ｅ，或ａ≥０．!!!!!!!!!!!!! ７分
３ ２ ３ ２
所以Ａ′Ｍ⊥面ＢＣＤ．又因为ＢＭ面ＢＣＤ，所以Ａ′Ｍ⊥ＢＭ．所以在Ｒｔ△Ａ′ＢＭ中，由
３ ３
１
（２）证明：当ａ＝ 时，先证明当ｘ＞１时，ｌｎｘ＜ （ｘ－１），
勾股 定 理 得 Ａ′Ｂ ２ ＝ ＢＭ ２ ＋ ＡＭ ２，即 Ａ′Ｂ ２ ＝ ＢＣ ２ ＋ ＡＣ ２ － ２ ２
２
３ ３ １ ３ ２－３ｘ
１ 设ｎ（ｘ）＝ｌｎｘ－ ｘ＋ ，ｎ′（ｘ）＝ － ＝ ＜０在（１，＋∞）上恒成立，所以
ＡＣ ＢＣ ＋ ＡＣ２，所以 Ａ′Ｂ ２＝ ＢＣ ２＋ ＡＣ ２－ ＡＣ ＢＣ ， !!! ８分 ２ ２ ｘ ２ ２ｘ
２
ｎ（ｘ）在（１，＋∞）上单调递减，当ｘ＞１时，ｎ（ｘ）＜ｎ（１）＝０，
因为△ＡＢＣ为直角三角形，则有 ＡＢ ２＝ ＡＣ ２＋ ＢＣ ２，由均值不等式得 ＡＣ ２＋
３
ＢＣ２≥２ＡＣ ＢＣ ，当且仅当 ＡＣ ＝ ＢＣ 时取等号，所以 Ａ′Ｂ ２＝ ＡＢ ２－
即当ｘ＞１时，ｌｎｘ＜
２
（ｘ－１）， !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ９分
ＡＢ ２ ＡＢ ２ １ ｘ２ ３ ｘ２ ｘ
ＡＣ ＢＣ ≥ ＡＢ ２－ ＝ ．!!!!!!!!!!!!!!!! ９分 则当ｘ＞１时，ｌｎｘ＋ ＋ －ｘ＜ － ，
２ ２ ２ ４ ４ ４ ４
１ １ １ １ ｘ２ ３
由题知焦点Ｆ（０， ），直线ＡＢ可设为ｙ－ ＝ｋｘ，即ｙ＝ｋｘ＋ ，设Ａ（ｘ，ｙ），Ｂ（ｘ， ｌｎｘ＋ ＋
２ ２ ２ １ １ ２ ２ ４ ４ １ ｆ（ｘ） １
则 －１＜ （ｘ－１），即 ＜ （ｘ－１），
ｙ），联立方程组消ｙ得ｘ２－２ｋｘ－１＝０，所以 ＡＢ ＝ｙ＋ｙ＋１＝ｋ（ｘ＋ｘ）＋２＝ ｘ ４ ６ｘ ４
２ １ ２ １ ２
２（ｋ２＋１），所以 Ａ′Ｂ ２≥ Ａ ２ Ｂ ２ ＝２（ｋ２＋１）２，所以当ｋ＝０时 Ａ′Ｂ 取最小值，最小 ｆ ６ （ ａ ａ ｎ ｎ ） ＜ １ ４ （ａ ｎ －１），ａ ｎ＋１ －１＜ １ ４ （ａ ｎ －１），!!!!!!!!!!!!!!!! １１分
若ａ＞１，则ａ ＞１，因此，若存在正整数Ｎ，使得ａ ≤１，则ａ ≤１，从而ａ ≤１，
值为槡２．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １１分 ｎ ｎ＋１ Ｎ Ｎ－１ Ｎ－２
３
②由①知ＢＤ＝ＣＤ＝１＝Ａ′Ｄ，则三角形ＢＣＤ内切圆半径Ｒ＝ ２－槡２ ，设圆柱底面半径
重复这一过程有限次后可得ａ
１
≤１，与ａ
１
＝
２
矛盾，故ｎ∈Ｎ，ａ
ｎ
＞１， !!! １３分
２
１
由于ａ＞１，ａ ＞１，所以ａ－１＞０，ａ －１＞０，故 ａ －１ ＜ ａ－１ ，故
１－ｈ ｒ ｎ ｎ＋１ ｎ ｎ＋１ ｎ＋１ ４ ｎ
为ｒ，高为ｈ，则 ＝ ，则ｈ＝１－（２＋槡２）ｒ，!!!!!!!!!!!! １２分
１ ２－槡２ １ １ １ １（１）ｎ－１
ａ－１ ＜ ａ －１ ＜ ａ －１ ＜…＜ ａ－１ ＝ ，所以对任意ｎ
２ ｎ ４ ｎ－１ ４２ ｎ－２ ４ｎ－１ １ ２ ４
所以圆柱体积Ｖ＝πｒ２ｈ＝πｒ２［１－（２＋槡２）ｒ］，!!!!!!!!!!!!!! １３分 ∈Ｎ，｜ａ－１｜＋｜ａ－１｜＋…＋｜ａ－１｜＜ １ ＋ １ × １ ＋ １ × （１）２ ＋…＋ １ ×
１ ２ ｎ ２ ２ ４ ２ ４ ２
２－槡２
令ｆ（ｒ）＝ｒ２－（２＋槡２）ｒ３（０＜ｒ＜ ），ｆ′（ｒ）＝２ｒ－３（２＋槡２）ｒ２＝ｒ［２－３（２＋槡２）ｒ］ １（ １）
２ １－
（１）ｎ－１ ２ ４ｎ ２（ １） ２
＝ ＝ １－ ＜ ．!!!!!!!!!!!!!!!! １７分
２－槡２ ４ １ ３ ４ｎ ３
＝０，得ｒ＝ ，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １４分 １－
３ ４
高三数学参考答案 第３页（共４页） 高三数学参考答案 第 ４页（共４页）
