文档内容
数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写
清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．已知集合 ， ，则集合 的元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．复数 （其中 为虚数单位）的虚部为（ ）
A．2 B．1 C． D．
3．已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A． B．1
C． D．
4．为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念， 市某高中全体教师于2023年3月12日开展植树活动，
购买柳树、银杏、梧桐、樟树四种树苗共计1200棵，比例如图所示．青年教师、中年教师、老年教师报名参
加植树活动的人数之比为 ，若每种树苗均按各年龄段报名人数的比例进行分配，则中年教师应分得梧
桐的数量为（ ）
A．60棵 B．100棵 C．144棵 D．160棵
5．设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 的值为（ ）
A．9 B．7 C．5 D．4
6．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使
用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池
学科网（北京）股份有限公司的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量 、放电时间 和放电电流 之间关系
的经验公式： ，其中 为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，
当放电电流为 时，放电时间为 ；当放电电流为 时，放电时间为 ，则该蓄电池的Peukert
常数 约为（参考数据： ， ）（ ）
A．1.12 B．1.13
C．1.14 D．1.15
7．某圆锥的轴截面是一个边长为8的等边三角形，在该圆锥中内接一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为
（ ）
A． B．
C． D．
8．已知定义域为 的函数 ，其导函数为 ，且满足 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多
个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，则下列说法正确的
是（ ）
A．数列 为递增数列
B．数列 的前 项和为
C．数列 的通项公式为
D．数列 不是递增数列
10．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示
事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次
学科网（北京）股份有限公司取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ）
A．乙发生的概率为 B．丙发生的概率为
C．甲与丁相互独立 D．丙与丁互为对立事件
11．已知函数 满足： ， ，则（ ）
A．函数 的值域为
B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 是奇函数
D．函数 在 上单调递减
12．如图，正方体 的棱长为1， 是线，段 上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．四面体 的体积为定值
B． 的最小值为
C． 平面
D．当直线 与 所成的角最大时，四面体 的外接球的体积为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．二项式 的展开式中含 的系数为______．
学科网（北京）股份有限公司14．核桃（又称胡桃、羌桃）、扁桃、腰果、榛子并称为世界著名的“四大干果”．它的种植面积很广，但
因地域不一样，种植出来的核桃品质也有所不同：现已知甲、乙两地盛产核桃，甲地种植的核桃空壳率为
2%（空壳率指坚果，谷物等的结实性指标，因花未受精，壳中完全无内容，称为空壳），乙地种植的核桃空
壳率为4%，将两地种植出来的核桃混放在一起，已知甲地和乙地核桃数分别占总数的60%，40%，从中任取
一个核桃，则该核桃是空壳的概率是______．
15．如图，表面积为 的球面上有四点 ， ， ， ， 是等边三角形，球心 到平面 的
距离为3，若平面 平面 ，则三棱锥 体积的最大值为______．
16．已知直线与抛物线 交于 ， 两点，抛物线的焦点为 ， 为原点，且
， 于点 ，点 的坐标为 ，则 ______．
四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知 ．
（1）．求 ；
（2）若 ， ，求 的面积．
18．（本小题满分12分）
已知数列 的前 项和为 ，且 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）在数列 中， ，求数列 的前 项和 ．
19．（本小题满分12分）
某学校为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明、小红打
算报名参加大赛．赛前，小明、小红分别进行了为期一周的封闭强化训练，下表记录了两人在封闭强化训练
学科网（北京）股份有限公司期间每天加工模具成功的次数，其中小明第7天的成功次数 忘了记录，但知道 ， （ ，
分别表示小明、小红第 天的成功次数）．
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
序号 1 2 3 4 5 6 7
16 20 20 25 30 36
小明成功次数
16 22 25 26 32 35 35
小红成功次数
（1）求这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率；
（2）根据小明这7天内前6天的成功次数，求其成功次数 关于序号 的线性回归方程，并估计小明第七天
成功次数 的值．
参考公式：回归方程 中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为：
， ．
参考数据： ； ．
20．（本小题满分12分）
如图，在三棱台 中， 在 边上，平面 平面 ， ， ，
， ， ．
（1）证明： ；
（2）若 且 的面积为 ，求 与平面 所成角的正弦值．
21．（本小题满分12分）
学科网（北京）股份有限公司已知椭圆 的上、下顶点分别是 ， ，点 （异于 ， 两点）在椭圆 上，
直线 与 的斜率之积为 ，椭圆 的短轴长为4．
（1）求 的标准方程；
（2）已知 ，直线 与椭圆 的另一个交点为 ，且直线 与 相交于点 ，证明：点 在定
直线上．
22．（本小题满分12分）
已知函数 ， ．
（1）若 ，讨论函数 的单调性；
（2）当 时， 恒成立，求 的取值范围．
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