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2024-2025 学年第一学期高二年级期中学情调研测试
数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D. 不存在
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线的方程，利用斜率和倾斜角的关系求解.
【详解】因为直线 的斜率不存在，
所以其斜率为 .
故选：C.
2. 若直线 与直线 平行，则它们之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据两直线平行求出 ，再利用两平行线间距离公式求解即可.
【详解】依题意可得 ，解得 ，
则直线方程为 ，
而方程 ，即 ，所以两条平行线间的距离为 .
故选：B.
的
3. 直线 与圆 有两个公共点，那么点 与圆 位置关系是（ ）
A. 点在圆外 B. 点在圆内 C. 点在圆上 D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】
直线 与圆 有两个公共点，可得 ，即为 ，由此可得点
与圆的位置关系．
【详解】因为直线 与圆 有两个公共点，
所以有 ，
即 ，
因为点 与 的圆心的距离为 ，
圆 的半径为1，所以点 在圆外.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是将直线与圆的位置关系的判断式和点与圆的关系的判断式联系起来.
4. 如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面下降1m后，桥洞内水面
宽为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为 轴，过原点且垂直于 轴的直线为 轴建立平
面直角坐标系，设抛物线的方程为 ，分析可知点 在该抛物线上，求出 的值，
可得出抛物线的方程，将 代入抛物线方程，即可得出结果.
【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为 轴，过原点且垂直于 轴的直线为 轴建立如
下图所示的平面直角坐标系，
设抛物线的方程为 ，由题意可知点 在抛物线上，
所以 ，可得 ，所以抛物线的方程为 ，
当水面下降 后，即当 时， ，可得 ，
因此，当水面下降 后，桥洞内水面宽为 .
故选：D.
5. 已知圆 和圆 ，则两圆的公切线条数为（ ）
.
A 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】首先把圆的一般方程转化为标准方程，分别求出两圆圆心与半径，利用圆心距与半径和差大小，
判断两圆的位置关系，可得圆的公切线的条数．
【详解】已知圆 ，圆心 ，半径 .
圆 ，即 ，
圆心 ，半径 .所以圆心距 ， ，
所以 ,
所以两圆相交，故公切线的条数为 .
故选：B.
6. 已知抛物线 ，则抛物线上一点 到直线 的最小距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得当点 为平行于 的直线且与抛物线相切的切点时，才能取最小值，求出
切线方程，即可得点 的坐标，即可得解.
【详解】解：由题意可知，当平行于 的直线与抛物线相切，
的
且点 为切点时， 点到直线 最小，
设切线方程为 ，
即 ，由 ，可得 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
即 ，
所以点 到直线 的距离 .
故选：A.
7. 椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦
点（如图）.已知椭圆 ， 为坐标原点， 是点 处的切线，过左焦点 作 的垂
线，垂足为 ，则 （ ）
A. B. C. 4 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】延长 、 交于点 ，由光学性质分析可知，则 为 的中点，且 ，利用
中位线的性质结合椭圆的定义可求得 的值.【详解】由椭圆 ，则 ，长轴长 .
如图，在平面直角坐标系中，
延长 交于点 ，连接 ，
由题意可知 ，又因为 ，
则 为 的中点，且 ，
所以 ，
又因为 为 的中点，则 为 的中位线，
则 .
故选：C.
8. 已知斜率为 的直线 过双曲线 的左焦点 ，且与 的左，右两支分别交于
， 两点，设 为坐标原点， 为AB的中点，若 是以FP为底边的等腰三角形，则双曲线的离
心率为（ ）
A. 2 B. C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】由点差法得 ，由条件知直线 的倾斜角为 倾斜角的两倍，由二倍角公式得直线 的斜率，代入两直线的斜率关系式 ，求得 ，进而得离心率.
【详解】由双曲线 ，可知 .
设 ,
由 均在 上， 为 的中点，
得 ，则 ，
由 分别在 的左，右两支，则 ，且 ，
， .
设直线 的倾斜角为 ，则 ， 为锐角，
是以 为底边的等腰三角形，则 ，
直线 的倾斜角为 ，则 .
，由 代入得， .
所以椭圆的离心率为 .
故选：A.
【点睛】结论点睛：中点弦定理：若直线与椭圆（双曲线）交于 不同两点，中点为 （不为原点），
且 斜率存在，则有 ，其中 为坐标原点， 为曲线的离心率.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要
求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 直线的斜率越大，倾斜角越大
B. 直线 在 轴上的截距为
C. 直线 的斜率为
D. 若直线 经过第一、二、四象限，则点 在第二象限
【答案】BD
【解析】
【分析】A项举例直线斜率正负特例即可；B项求与 轴交点的纵坐标可得；C项化一般式方程为点斜式
可得；D项结合图象判断 可得.
【详解】A项，设两条直线斜率分别为 ， ， ，
但斜率为 的直线倾斜角 ，而斜率为 的直线倾斜角为 ，
，故A错误；B项，直线 ，令 ，得 ，
即直线在 轴上的截距为 ，故B正确；
C项，直线 方程可化为 ，
所以直线的斜率为 ，故C错误；
D项，若直线 经过第一、二、四象限，则 ， ，
所以点 在第二象限，故D正确.
故选：BD.
10. 已知椭圆 和双曲线 具有相同的焦点 ， ，点 是它们的一个公共点，且在圆
上，椭圆 和双曲线 的离心率分别为 ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 双曲线 的方程为
C. 的面积为
D. 的周长为
【答案】ABC
【解析】
【分析】结合对称性，利用椭圆与双曲线的定义可得 ， ，再由点 在
圆 上得 ，消去 可得 的关系 ，即，联立 解得 ，进而可得 ，再依选项逐个求解判断可得.
【详解】由题意知，设焦距为 ，则 .
设椭圆的长轴长为 ，短轴长为 ，
双曲线的实轴长为 ，虚轴长为 ，
根据对称性，不妨设椭圆与双曲线的交点 在第一象限，
由椭圆的定义知， ，则
由双曲线的定义知， ，则
由两式相加化简得 ，
点 在圆 上，
， ，
则 ，则 ，又 ，
A项，联立 ，
解得 ， ，故A正确；
B项，由A可知， ， ，
解得 ， ，
则 ，所以双曲线方程为 ，故B正确；
C项，由 ， ，
则
，
所以 的面积 ，故C正确；
D项， 的周长为
，故D错误.
故选：ABC.
11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线 就是其中之一，其形状酷似数学符号“
”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（ ）
A. 曲线 与直线 有3个公共点B. 曲线 与圆 有4个公共点
C. 曲线 所围成的图形的面积为：
D. 若点 在曲线 上，点 ，线段PQ的长度可能为4
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于 A，联立 ，根据解的个数即可判断；对于 B，联立
，可得 ，再代入 ，得 ，
由判别式及韦达定理，可得此方程有4个不同的根，即可判断；对于C，求出一个弓形 的面，则可求
出曲线 所围成的图形的面积，即可判断；对于D，当点 或 ，满足题意，即可判断.
【详解】对于A，由 ，可得 ，
所以 ，即 ，
解得 或 ，
所以 或 或 ，
所以曲线 与直线 有3个公共点，故正确；
对于B，由 ，可得 ，
则有 ，平方得 ，代入 ，得 ，
即 ，
因为 ， ，
所以关于 的方程 有两个不同的正根，
从而得 有四个不同的解，
所以曲线 与圆 有4个公共点，故正确；
对于C， ，
如图所示：
曲线 所围成的图形的面积为四个全等弓形 的面积之和，
设弓形 的面积为 ，
因为 所在圆的圆心为 ，半径为2， ,
在 中， ， ，
所以 ，所以扇形 的面积 ,
，
所以 ，
所以曲线 所围成的图形的面积为 ，故错误；
对于D，当 与 或 重合时，
则 ，故正确.
故选：ABD
的
【点睛】难点点睛：本题 难点是对C选项的判断，求出一个弓形 的面积.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡中的横线上.
12. 已知椭圆 的焦点在 轴上，离心率为 ，则实数 的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用椭圆方程中表示的 及关系,即可求得 的值.
【详解】由椭圆 的焦点在 轴上，可知 ，
所以 ，
再由离心率 ，即 ，
解得 ，故答案为： .
13. 过点 作直线 ，使它被两条相交直线 和 所截得的线段，恰好被点
平分，则直线 的方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】设出直线 与直线 ， 的交点坐标A(x ,y )、B(x ,y )，然后根据中点坐标的相关性质得出
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， ，再然后根据 在 上以及 在 上得出 ，解得 的坐标，由直线
的两点式方程即得.
【详解】设直线 ，
设直线 夹在直线 ， 之间的线段为 （ 在 上， 在 上），
设A(x ,y )、B(x ,y )，
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因为 被点 平分，所以 ， ，
于是 ， ，
由于 在 上， 在 上，则 ，
即 解得 ， ，
即 的坐标是 ，则直线 的方程是 ，
即 ．故答案为： .
14. 若直线 上存在点 ，过点 作圆 的两条切线，切点分别为
，且 ，则实数 的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】由已知得圆 的圆心及半径，由条件 ，根据图形结合直线与圆相切性质得 ，
可知点 在以 为圆心， 为半径的圆上，结合题意将点的存在问题转化为直线与圆有公共点来解决，再
由圆心到直线的距离与半径关系得出不等式，求解即可.
【详解】圆 ，圆心 ，半径 ，
如图，连接 ，由 ，结合切线的性质可得，
， ，又 ，
则平面四边形 既是矩形，又是菱形，即为正方形.
所以 ，即点 在以 为圆心， 为半径的圆上.
所在圆的方程为 ，
由题意若直线 上存在点 ，满足 ，则直线 与圆 有公共点，
所以圆心 到直线 的距离
，
即 ，解得 ，
所以 的取值范围为 ．
故答案为： ．
的
【点睛】关键点点睛：解决此题 关键在于利用相切性质将条件 转化为点 在定圆上运动，
进而将点的存在问题转化为直线与圆有公共点来解决即可.
四、解答题：本大題共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 的顶点 ， ， .
（1）求AB边上的高所在直线的方程；
（2）求经过点 ，且在 轴上的截距是在 轴上的截距的2倍的直线的方程.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）求出直线 斜率，由垂直可得高线 斜率，由点斜式直线方程可得；
（2）按截距是否为 分类讨论.当截距不为 时，设出截距式方程代入点的坐标待定系数可得.【小问1详解】
如图，过 作 ，垂足为 ，
由题意知 ，
则 ，又 ，
故直线CD的方程为： ，即 ，
即AB边上的高所在直线的方程为： ；
【小问2详解】
由题意，设直线在 轴上的截距为 ，则在 轴上的截距为 ，
①当 时，由直线过 ，则直线方程为 ，
②当 时，设直线方程为： ，
代入点 ，得 ，解得 ，
则直线方程为 ，即 ，
综上所述，直线方程为： 或
16. 已知圆 的圆心 在第一象限，半径为 ，且经过直线 与直线 的
交点.
（1）求圆 的方程；（2）过点 作圆 的切线，求切线的方程.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）根据题意设圆的方程，求出两条直线的交点坐标，将交点坐标代入圆的方程即可；
（2）分切线的斜率是否存在两种情况讨论，根据圆心到切线的距离等于半径即可.
【小问1详解】
由圆 的圆心 在第一象限，半径为 ，
可设圆 的方程为 ，其中 ，
联立 ，解得两直线的交点为 ，
由 得 ，又因为 ，
所以 ，圆心为 ，
所以圆 的方程为 ；
【小问2详解】
①当切线的斜率不存在时，直线为 ，
此时，圆心 到直线的距离 ，舍去；
②当切线的斜率存在时，设直线方程为 ，即 ，
此时，圆心 到直线的距离 ，
解得 ，
所以切线方程为 或 .17. 已知拋物线 的顶点在坐标原点，其焦点 与双曲线 的上焦点重合，A，B为拋物线
上两点.
（1）求拋物线 的标准方程及其准线方程；
（2）若 ，求线段AB的中点到 轴的距离.
【答案】（1） ，
（2）2
【解析】
【分析】（1）利用双曲线的焦点来求抛物线方程；
（2）利用抛物线定义推导的焦半径公式为 ，即可求解问题.
【小问1详解】
由题知双曲线 ,
所以 ，所以 ，即双曲线的上焦点为 ，
由抛物线的焦点为 ，可设抛物线 的标准方程为： ，
则 ， ，
所以抛物线 的标准方程为： ，
其准线方程为： ；
【小问2详解】
设 ， ，线段AB的中点记为 ，
由 ，结合抛物线的焦半径公式得： ，即 ，所以 ，
即线段AB的中点到 轴的距离为2.
18. 已知 ， ，点 满足 ，记点 的轨迹为 .
（1）求轨迹 的方程；
（2）直线 经过点 ，倾斜角为 ，与轨迹 交于 两点（C在 之间），若 ，
，求 的值；
（3）已知点 ，过点 作直线 与轨迹 交于 ， 两点，记直线 的斜率分别为 ，
，试问： 是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）是，
【解析】
【分析】（1）利用定义判断动点轨迹是双曲线，再利用双曲线中基本量的关系求解即可.
（2）依据题意写出直线方程，联立求出交点坐标，再结合给定条件求解即可.
（3）用不同方法设出直线方程，再利用韦达定理求解，最后将结果代入 中，消去变量，得到定值即
可.
【小问1详解】
因为 ，所以点 的轨迹为以 为焦点的双曲线，
设此双曲线方程为 ，
易知 ，又由 解得 ，即轨迹 的方程为： ；
【小问2详解】
因为直线 经过点 ，倾斜角为 ，
所以直线 的方程为 ，联立 ，
解得 或 ，故得点 和点 ，
则 ， ，
由 得 ，解得 ，
【小问3详解】
如图，
法一：由题意得直线 不可能与 轴重合，
设为： ， ， ，
联立 得到 ，
而 ，由韦达定理得 ，
，
故 是为定值，且该定值为 ，
法二：①当直线 的斜率不存在时，直线方程为 ，
可得 ， ，此时 ，
②当直线 的斜率存在时，设直线方程为 ，
联立 ，得到
而 ，
由韦达定理得 ，
所以
故 是为定值，且该定值为 ，综上所述， 为定值 .
19. 已知椭圆 的焦距为 2， ， 分别为其左右焦点， 为原点，且点
在椭圆 上.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）经过左焦点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点（异于左右顶点），M为线段AB的中点，
①若 ，求线段OM的长度；
②求点 到直线OM的距离 的最小值.
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）由焦距求 ，代入点的坐标联立方程求解 可得；
（2）①设直线AB的方程为 ，将条件 转化为 ，联立直线与
椭圆方程，由韦达定理将根的关系转化为系数 的方程，求解可得；②由韦达定理用 分别表示弦中点
坐标与 ，利用面积关系 得 关于 的函数关系，再求函数最值可得.
【小问1详解】
由题知， ，即 ， ，
由点 在椭圆 上，代入椭圆方程 得，，解得 ，则 ，
故椭圆 的标准方程为： .
【小问2详解】
①由题意可知，直线AB不与 轴垂直，且经过点F (−1,0)，
1
所以可设直线AB的方程为 ，并设A(x ,y )，B(x ,y )
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由 得 .
则 ， ， .
因为 ，则 ，即 ，
即
，
解得 ， .
由 ，
所以AB的中点 为 ，
即点 ，所以 ；②由①可知AB的中点 为 ，
则 ，且直线OM的斜率为 ，
所以直线OM的方程为 .
设点A到直线 的距离为 ，
因为点 是弦AB的中点，所以点 到直线 的距离也为 ，
又因为
，
由 知， ，
所以 ，
解得 ，
由 ，令 ，
则 ，由 在 单调递增，得 ，即当 时， .
即点 到直线OM的距离 的最小值为 .
【点睛】方法点睛：解析几何中面积求解问题中，当三角形某条边过定点
时，可以把三角形某个定顶点和该定点为边，转化为定底边的两个三角形面积之和，从而简化运算.
