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2024—2025 学年度第二学期期中考试高二年级数学试题
卷面满分:150分 考试时间：120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1．计算 的值是 （ ）
A．41 B．61 C．62 D．82
2．五一期间甲、乙、丙、丁、戊五个同学计划在本地一日游，若每人计划只去“新四军纪念
馆、大丰麋鹿自然保护区、西溪旅游文化景区”这三个景点中的一个景点，则不同的游览
方法共有 （ ）
A．40种 B．60种 C．125种 D．243种
3．在研究线性回归模型时，样本数据 所对应的点均在直线 上，用
表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则 （ ）
A． B．1 C． D．
4．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．若平面 过点 且该平面的一个法向量为 ，则点 到平面 的距
离为 （ ）
A． B． C． D．
6．现将7个不同的小球全部放入3个不同的盒子里，每个盒子至少放2个小球，则不同的放
法共有 （ ）
A．210种 B．630种 C．1260种 D．1890种
7．用数字 、 、 、 、 组成没有重复数字的三位数，在这个数能被 整除的条件下，它能
被 整除的概率为 （ ）
A． B． C． D．8．设函数 ，若 恒成立，则 的最大值为 （ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，毎小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.
9．已知随机变量 服从正态分布 且 ，则下列选项中一定正确
的是 （ ）
A．
B．
C．若 ，则
D．
10．以下关于杨辉三角的猜想中，正确的有 （ ）
A．第100行中，从左到右看第51个数最大
B．第150行的所有数的和为
C．
D．
11．已知球 是棱长为 的正方体 的外接球， 为球 的直径，点 为该正
方体表面上的一动点，则下列说法中正确的是 （ ）
A．当 为 中点时，直线 与 所成角的余弦值为
B．当三棱锥 的体积为 时，点 轨迹的长度为2
C． 的最小值为D． 的最大值为
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，满分15分.
12．已知直线 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，若
，则 ．
13．某电影院要在一天的A、B、C、D、E五个不同的时段分别安排《哪吒之魔童闹海》、
《唐探1900》、《误杀3》、《封神第二部：战火西岐》、《射雕英雄传：侠之大者》、
《长空之王》等6部电影中的一部，每部电影在当天的五个时段中至多只安排一次，若A
时段不安排《哪吒之魔童闹海》，E时段不安排《长空之王》，那么共有 种安排
方式．（答案用数字表示）
14．定义：设 是离散型随机变量，则 在给定事件 条件下的k阶矩定义为
，其中 为 的
所有可能取值集合， 表示事件“ ”与事件“ ”都发生的概率.某射
击运动爱好者进行射击训练，每次射击击中目标的概率均为 ，击中目标两次时停止射
击.设 表示第一次击中目标时的射击次数， 表示第二次击中目标时的射击次数，
则 ， .
四、解答题：共5个小题，满分77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
有8只不同的试验产品，其中有3只不合格品、5只合格品．现每次取1只测试，直到3
只不合格品全部测出为止．
（1）求最后1只不合格品正好在第3次测试时被发现的不同情形有多少种？
（2）求最后1只不合格品正好在第4次测试时被发现的不同情形有多少种？16．（本小题满分15分）
如图，长方体 底面是边长为2的正方形，高为6，E为线段AB的中点，F
为线段 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求直线EF与平面 所成角的正弦值.
17．（本小题满分15分）
已知 的展开式的第2项与第4项的二项式系数之比是 .
（1）求 的值；
（2）展开式中的整式项共有几项？
（3）展开式中系数最大的项和最小的项分别是第几项？
18．（本小题满分17分）
2025年4月24日我国成功发射了神舟二十号载人飞船，我校航天社团于次日对本校学生
进行了问卷调查，其中关于是否收看了现场直播的统计数据如下表所示（单位：人），已知
从被访谈的同学中随机抽取1人，抽到看现场直播的女同学的概率为 ．
看现场直
未看现场直播
播
男同学 1.5
女同学 150 250
（1）求 的值；
（2）是否有 以上的把握认为，观看现场直播与学生性别有关？
（3）为进一步调研，现从看现场直播的同学中按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机抽取2人，记这2人中女同学的人数为 ，求 的分布列
以及 ．
参考公式： ．
参考数据：
0.1 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
19．（本小题满分17分）
函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时，解方程 ；
（3）当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围．
参考答案
1．【答案】B
2．【答案】D
3．【答案】A
4．【答案】D
5．【答案】A
6．【答案】B
7．【答案】C
8．【答案】C
9．【答案】AC10．【答案】ACD
11．【答案】ACD
12．【答案】
13．【答案】504
14．【答案】 ，
15.【详解】（1）有8只不同的试验产品，其中有3只不合格品，
若最后1只不合格品正好在第3次测试时被发现，则前三次都是不合格品，
故共有 种不同的情形.··············································································6分
（2）有8只不同的试验产品，其中有3只不合格品，
若最后1只不合格品正好在第4次测试时被发现，
则前3次有2次是不合格品，一次是合格品，抽到的产品共有 种不同的情形，
对这三个产品进行排列有 种不同的情形，
第4次抽到其中剩余的一件不合格品，有1种情况，
由分步计数原理，共有 种不同的情形.···········································13分
16．【详解】（1）如图，以 为正交基底建立空间直角坐标系，·············1分
则 ， ， ， ，
又 为线段 的中点，所以 ，
所以 ，·························································································3分
易知平面 的法向量可以为 ，
所以 ，即 ，················································································5分
又 平面 ，所以 平面 .··························································7分（2）由（1）可得 ，所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，可得 ，则 ，·······························································10分
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，·······················14分
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .····················································15分
17．【详解】（1）依题意可得第2项的二项式系数为 ，第4项的二项式系数为 ，
所以 ，·······························································································2分
即 ，则 ， 或 （舍去）；························4分
（2） 展开式的通项为 ，························6分
其中 ， ，
令 ，解得 ，所以整式项共有7项.···································9分
（3）设 的系数为 ，
令 得 ，则 ，得 ，所以 ，∴ ，
令 得 ，所以 ，∴ ，
又 ， ，∴ ，
综上系数最大的项和最小的项分别是第6项和第21项.·········································15分
注：最大的项和最小的项各3分
18．【详解】（1）依题意可得 ，············································2分
解得 .··································································································4分
（2）提出假设 ：是否观看现场直播与学生性别无关.·········································6分
根据题目所给公式及数据可得 ，····························8分
因为当 成立时， ≈0.001,这里的 ,
所以我们有99.9%的把握认为，是否观看现场直播与学生性别有关．······················10分
（3）观看现场直播的同学中，男同学与女同学的比例为 ，
所以分层随机抽样抽取的9人中6人是男同学，3人是女同学，
记这2人中，女同学的人数为 ，则 的可能取值为 .
，
，
.
所以 的分布列如下：
0 1 2················································································································16分
则 .·········································································17分
19．【详解】（1）因为 ，所以 .························1分
若 ，则 在 上恒成立，所以函数 在 上单调递增；·············3分
若 ，由 ；由 .
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
综上，当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增.····························5分
（2）当 时，由 ，得 ，
由（1）知当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增
所以 ，·······················································································7分
设 ，则 ，令 得 ，令 得 ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ ，∴ ，即 ，当且仅当 时取等号，
故方程 的解为 .···········································································10分
（3）当 时， ，
当 时，上式恒成立，即 ；当 时， ，设 ， ，······································12分
则 ，
设 ， ，则 在 上恒成立，即 在 上单调递
增，
又 ，所以 在 上恒成立.·······························14分
所以由 ，由 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 .
综上可知， 的取值范围为 .································································17分
