文档内容
2024—2025 学年高三期中考试
数学试题
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本
试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间为120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.“ ”是“ ”的（ ）
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3.设向量 ， ， ，且 ，则 （ ）
A.3 B.2 C. D.
4.已知某圆锥的轴截面为等边三角形，且圆锥侧面积为 ，则该圆锥的内切球体积为（ ）
A. B. C. D.
5.函数 （ ， ， ）的部分图象如图所示，图象上的所有点向左平
移 个单位长度得到函数 的图象.若对任意的 都有 ，则图中 的值为（
）A. B. C. D.
6.已知函数 若方程 恰有2个不相等的实数解，则 的取值范围
是（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数 为偶函数， 为奇函数，且当 时， ，则 （
）
A.2 B. C.1 D.
8.在平面直角坐标系内，方程 对应的曲线为椭圆，则该椭圆的焦距为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知方程 的两个复数根为 ， ，则下列说法正确的有（ ）
A. B. C. D.
10.设函数 ，则（ ）
A.当 时， 的极大值大于0 B.当 时， 无极值点
C. ，使 在 上是减函数 D. ，曲线 的对称中心的横坐标为定值
11.已知曲线 上的动点 到点 的距离与其到直线 的距离相等，则A.曲线 的轨迹方程为
B.若 ， 为曲线 上的动点，则 的最小值为5
C.过点 ，恰有2条直线与曲线 有且只有一个公共点
D.圆 与曲线 交于 ， 两点，与直线 交于 ， 两点，则 ， ， ， 四点围
成的四边形的周长为12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.记 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则 ______.
13.曲线 在点 处的切线与抛物线 相切，则 ______.
14.已知双曲线 ： （ ， ）与平行于 轴的动直线交于 ， 两点，点 在点
左侧，双曲线 的左焦点为 ，且当 时， ，则双曲线的离心率是______；当直线
运动时，延长 至点 使 ，连接 交 轴于点 ，则 的值是______.（第一空2分，
第二空3分）
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）在 中，内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且满足 .
（1）求角 ；
（2）若 ，求 周长的取值范围.
16.（15分）已知函数 .
（1）若 在 上单调递减，求实数 的取值范围；
（2）若 ，证明： .
17.（15分）如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ， 分别为 ， 的中点，
平面 ，且 .（1）证明： 平面 ；
（2）若 与平面 所成的角是 ，求二面角 的余弦值.
18.（17分）如图，已知椭圆 ： （ ）上的点到其左焦点的最大矩离和最小距离分别
为 和 ，斜率为 的直线 与椭圆 相交于异于点 的 ， 两点.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 ，求直线 的方程；
（3）当直线 ， 均不与 轴垂直时，设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求证：
为定值.
19.（17分）若有穷数列 （ 且 ）满足 （ ），则称
为 数列.
（1）判断下列数列是否为 数列，并说明理由.
①1，2，4，3；②4，2，8，1.
（2）已知 数列 中各项互不相等，令 （ ），求证：数列 是等差数列的充分必要条件是数列 是常数列.
（3）已知 数列 是 且 个连续正整数1，2，…， 的一个排列，若
，求 的所有取值.2024—2025 学年高三期中考试
数学参考答案及评分意见
1. D 【解析】因为 ， ，所以 ， .故选D.
2. C 【解析】当 时， ， 或 ， ，推不出 ；
当 时，必有 ，故“ ”是“ ”的必要不充分条件，故选C.
3. A 【解析】因为 ， ， ，所以 ；
因为 ，所以 ，解得 .故选A.
4. B 【解析】设圆锥的底面半径为 ，则 ，所以 .
设圆锥的内切球半径为 ，又圆锥的轴截面为等边三角形，
所以 ，则内切球的体积 .故选B.
5. A 【解析】由 ，得 .
的图象上的所有点向左平移 个单位长度后得 的图象，
由题意知 为奇函数，所以其图象关于原点对称，得函数 的图象过点 .
设 的最小正周期为 ，则 ，所以 ，故 .
又 ， ，且 ，可得 ，
所以 ， .故选A.
6. C 【解析】当 时， ，由二次函数的性质可知 在 上单调递减，在
上单调递增.令 ，则 ，所以 .当 时， ， ， 在 上单调递减.
令 ，则 .作出 的大致图象，如图所示.方程 恰有2个不
相等的实数解，也就是 的图象与直线 恰有两个公共点.
由图易知所求 的取值范围是 .故选C.
7. C 【解析】因为函数 为偶函数，所以 ，
即函数 的图象关于直线 对称；因为函数 为奇函数，
所以 ，即函数 的图象关于点 中心对称.
又当 时， ，
所以 .故选C.
8. C 【解析】因为 ，将点 的坐标代入方程，原方程保持不变，所以椭圆关于原
点对称；将点 和 的坐标分别代入方程，原方程保持不变，所以椭圆关于直线 和
对称.
设直线 与椭圆交于 ， 两点，
则 解得 或 所以 ；
设直线 与椭圆交于 ， 两点，则 解得 或
所以 .由椭圆性质可知， ， ，
所以 ， ，则 ，故焦距为 .故选C.
9. ACD 【解析】方程 的两个复数根为 ， ，
由一元二次方程根与系数的关系得 ， ，A，C正确；
B选项， 的两个复数根为 ，
若 ， ，
则 ，B错误；
D选项，由B选项知， 或 ，均有 ，D正确.故选ACD.
10. BD 【解析】对于A，当 时， ，求导得 ，
令 得 或 ，由 ，得 或 ，
由 ，得 ，于是 在 ， 上单调递增，
在 上单调递减， 在 处取得极大值，
极大值为 ，A错误；
对于B， ，当 时， ，即 恒成立，
函数 在 上单调递增， 无极值点，B正确；对于C，要使 在 上是减函数，则 恒成立，
而不等式 的解集不可能为 ，C错误；
对于D，由 ，
得曲线 的对称中心的坐标为 ，D正确.故选BD.
11. ABD 【解析】对于A，依题意，曲线 是以 为焦点，
直线 为准线的抛物线，方程为 ，A正确；
对于B，如图，过点 作直线 的垂线，交直线 于 ，交抛物线于 .
令点 到直线 的距离为 ，则 ，
当且仅当点 与点 重合时取等号，因此 的最小值为 ，B正确；
对于C，显然过点 与曲线 有且只有一个公共点的直线的斜率存在，
设其方程为 ，由 消去 得 ，
当 时，直线 与抛物线仅有一个公共点，
当 时，由 ，解得 ，显然直线 ， 均与抛物线仅有一个公
共点，因此过点 与曲线 有且只有一个公共点的直线有3条，C错误；
对于D，直线 交圆 于点 ， ，由 得 或 从而 ， ，
所以四边形 是矩形，其周长为 ，D正确.故选ABD.
12. 8 【解析】设等差数列 的公差为 ，
因为 ， ，即 解得
则 ，所以 .故答案为8.
13. 1 【解析】设 ，则 ，则 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
由 消去 ，得 ，
由 ，得 .故答案为1.
14. 【解析】当 时，设 ，
则 ，解得 .又 ，所以 ，
又 ，所以 ，两边同时除以 ，得 ，
解得 或 （舍）.
如图，因为 ，所以 ，
设 ，则 ， ， ， ，
所以，
又 ，所以 .
15.解：（1）由 及正弦定理得 ，
故 ，
所以 .
因为 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 .
（2）由（1）可知， ，由余弦定理，得 ，
又 ，所以 .
由基本不等式得： ，即 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立.
又 ，即 ，又 ，所以 ，
所以 ，
即 周长的取值范围是 .
16.（1）解： ， ，则 .
因为 在 上单调递减，所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立.
构造函数 （ ），
则 ，令 ，解得 .
当 时， ；当 时， ，
所以 在区间（0，1）上单调递增，在区间 上单调递减，
所以当 时， 取得极大值，也是最大值，即 .
所以 ，即 的取值范围为 .
（2）证明：方法一：由题意得 的定义域为 ，
当 时，要证 ，即证 ，等价于证明 .
构造函数 （ ），即证 .
因为 ，令 ，因为函数 图象的对称轴为直线 ，所以 在 上单调递增，
且 ， ，所以存在 ，
使得 ，所以当 时， ；
当 时， ， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， 取得极小值，也是最小值，
即 （ ）.
又因为 ，得 ，所以 （ ）.
令 ， ，则 在 上恒成立，
所以 在 上单调递减，所以当 时， ，
所以 ，即 ，所以 .
方法二：将 看作以 为变量的函数 ，其中 ，
因为 ，所以 关于 单调递减.
要证当 时， ，即证当 时， ，
只需证当 时， .
令 ，则 ，令 ，解得 .
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
－ 0 ＋单调递减 单调递增
所以 .
综上， .， ，即 .
17.（1）证明：如图，设 的中点为 ，连接 ， ，则 且 .
又 且 ，
所以 ， ，
所以四边形 为平行四边形，则 .
又因为 平面 平面 ，所以 平面 .
（2）解：如图，取 的中点 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ， ，
则 且 ，又 ，所以 .
因为 平面 ，所以 平面 ，故 与平面 所成的角为 ，所以 .
所以在 中， .
又由菱形性质可得 ，所以 ，所以 .
所以 ，所以 ， ， 两两垂直.10分
以点 为坐标原点，直线 ， ， 分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为 ，
所以 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ， .
由 平面 得平面 的一个法向量为 .
设平面 的一个法向量为 ，
则 故
取 ，则 ，
所以 为平面 的一个法向量.
设二面角 的平面角为 ，由图可得 为锐角，
所以 ，
所以二面角 的余弦值为 .
18.（1）解：由椭圆 ： 上的点到其左焦点的最大距离和最小距离分别为 和，结合椭圆的几何性质，得
解得 则 ，
故椭圆 的方程为 .
（2）解：设直线 的方程为 ， ， .
由 消去 ，整理得 .
由 ，得 ，
则 ， .
，
解得 或 .10分
当 时，直线 的方程为 ，此时直线 过点 ；
当 时，直线 的方程为 ，满足题目条件.
所以直线 的方程为 .
（3）证明：因为直线 ， 均不与 轴垂直，
所以直线 ： 不经过点 和 ，则 且 ，由（2）可知，
，为定值.
19.（1）解：①因为 ，所以数列1，2，4，3不是 数列；
②因为 ，所以数列4，2，8，1是 数列.
（2）证明：必要性：
若数列 是等差数列，设其公差为 ，则 ，
所以数列 是常数列.
充分性：
若数列 是常数列，
则 （ ），即 （ ），
所以 或 .
因为数列 的各项互不相等，所以 ，
所以数列 是等差数列.
综上可知，数列 是等差数列的充分必要条件是数列 是常数列.
（3）解：当 时，因为 （ ），所以 ，不符合题意；
当 时，数列为3，2，4，1，此时 ，符合题意；
当 时，数列为2，3，4，5，1，此时 ，符合题意.下面证当 时，不存在 满足题意.
令 （ ），
则 ，且 ，
所以 有以下三种可能：
①
②
③
当 时，因为 ，
由（2）知： ， ，…， 是公差为1（或 ）的等差数列，
当公差为1时，由 得 或 ，
所以 或 ，与已知矛盾.
当公差为 时，同理得出与已知矛盾.
所以当 时，不存在 满足题意.
其他情况同理可得，不存在 满足题意.综上可知， 的所有取值为4或5.
