2004年吉林高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_吉林

2004 年吉林高考理科数学真题及答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的． （1）已知集合M＝{x|x2＜4}，N＝{x|x2－2x－3＜0}，则集合M∩N＝ （A）{x|x＜－2} （B）{x|x＞3} （C）{x|－1＜x＜2} （D）{x|2＜x＜ 3} x2  x2 （2）lim ＝ n1 x2 4x5 1 2 1 （A） （B）1 （C） （D） 2 5 4 1 3 （3）设复数ω＝－ ＋ i，则1＋ω＝ 2 2 1 1 （A）–ω （B）ω2 （C） （D）  2 （4）已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为 （A）(x＋1)2＋y2＝1 （B）x2＋y2＝1 （C）x2＋(y＋1)2＝1 （D）x2＋(y－1)2＝1  （5）已知函数y＝tan(2x＋φ)的图象过点( ,0)，则φ可以是 12     （A）－ （B） （C）－ （D） 6 6 12 12 （6）函数y＝－ex的图象 （A）与y＝ex的图象关于y轴对称 （B）与y＝ex的图象关于坐标原点对称 （C）与y＝e－x的图象关于y轴对称 （D）与y＝e－x的图象关于坐标原点对称  （7）已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离为 ，则球心O到平面ABC 2 的距离为 1 3 2 6 （A） （B） （C） （D） 3 3 3 3 （8）在坐标平面内，与点A(1，2)距离为1，且与点B(3，1)距离为2的直线共有 （A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条 4 3  （9）已知平面上直线l的方向向量e ( , )，点O(0,0)和A(1,-2)在l上的射影分别是O和A，则O A 5 5 1 1 1 1  ＝e ，其中＝ 11 11 （A） （B）－ （C）2 （D）－2 5 5 （10）函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数  3 3 5 （A）( ， ) （B）(，2) （C）( ， ) （D）(2，3) 2 2 2 2 （11）函数y＝sin4x＋cos2x的最小正周期为 第1页 | 共6页  （A） （B） （C） （D）2 4 2 （12）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有 （A）56个 （B）57个 （C）58个 （D）60个 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． （13）从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布 为 ξ 0 1 2 P x 0，  （14）设x，y满足约束条件x  y， 则z＝3x＋2y的最大值是 ．  2x y 1，  （15）设中心在原点的椭圆与双曲线2x2－2y2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方 程是 ． （16）下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过 相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④ 若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱，其中，真命题的编号是 (写出所有 真命题的编号)． 三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 3 1 （17） (本小题满分12分)已知锐角三角形ABC中，sin(A＋B)＝ ，sin(A－B)＝ ． 5 5 (Ⅰ)求证：tanA＝2tanB； (Ⅱ)设AB＝3，求AB边上的高． （18）(本小题满分12分) 已知8个球队中有3个弱队，以抽签方式将这8个球队分为A、B两组，每组4个．求 (Ⅰ)A、B两组中有一组恰有两个弱队的概率； (Ⅱ)A组中至少有两个弱队的概率． （19）(本小题满分12分) n2 数列{a}的前n项和记为S，已知a＝1，a ＝ S（n＝1，2，3，…）．证明： n n 1 n＋1 n n S (Ⅰ)数列{ n }是等比数列； n (Ⅱ)S ＝4a． n＋1 n （20）(本小题满分12分) ． 如图，直三棱柱ABC-ABC中，∠ACB＝90o，AC＝1，CB＝ 2 ，侧棱AA＝1，侧面AABB的两条对角 1 1 1 1 1 1 线交点为D，BC的中点为M． 1 1 (Ⅰ)求证：CD⊥平面BDM； (Ⅱ)求面BBD与面CBD所成二面角的大小． 1 （21）(本小题满分12分) 给定抛物线C：y2＝4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两 点． 第2页 | 共6页(Ⅰ)设l的斜率为1，求OA与OB夹角的大小； (Ⅱ)设FB＝AF ，若∈[4，9]，求l在y轴上截距的变化范围． (22)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x，g(x)＝xlnx． (1)求函数f(x)的最大值； ab (2)设0＜a＜b，证明：0＜g(a)＋g(b)－2g( )＜(b－a)ln2． 2 2004年高考试题全国卷2 理科数学（必修＋选修Ⅱ）答案： 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． （1）C （2）A （3）C （4）C （5）A （6）D （7）B （8）B （9）D （10）B （11）B （12）C 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 1 （13）0.1，0.6，0.3 （14）5 （15） x2＋y2＝1 （16）②④ 2 3 1 17．(I)证明：∵sin(A+B)= ,sin(A-B)= 5 5  3  2 sinAcosBcosAsinB  sinAcosB     5  5 tanA ∴     2，∴tanA 2tanB. 1 1 tanB   sinAcosBcosAsinB  cosAsinB     5  5 3 4 3  (II)解：∵ =  . |OA||OB| 41 3 41 所以OA与OB夹角的大小为-arccos . 41 解：(II)由题设知FB AF 得：(x 2 -1,y 2 )=λ(1-x 1 ,-y 1 )，即   x y 2 2   1     y 1 (  1  x  1 )       ( ( 1 2 ) ) 由 (2)得y2=λ2y2, ∵y2=4x,y2=4x,∴x=λ2x……………………………………(3) 2 1 1 1 2 2 2 1 联立(1)(3)解得x=λ.依题意有λ>0. 2 ∴B(λ,2 )或B(λ,-2 )，又F(1,0), 得直线l的方程为(λ-1)y=2 (x-1)或(λ-1)y=-2 (x-1) 2  2  当λ∈[4,9]时，l在y轴上的截距为 或- 1 1 2  2 2 2  由 =  ，可知 在[4，9]上是递减的， 1 1 1 1 3 2  4 4 2  3 ∴   ，- -  4 1 3 3 1 4 4 3 3 4 直线l在y轴上截距的变化范围是[ , ] [ , ]  3 4 4 3 1 22．(I)解：函数f(x)的定义域是(-1,∞), f'(x)= 1.令 f'(x)=0，解得x=0，当-10, 1x 当x>0时, f'(x)<0，又f(0)=0，故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值是0 ab ab 2a 2b (II)证法一：g(a)+g(b)-2g( )=alna+blnb-(a+b)ln =aln bln . 2 2 ab ab ba ab 由 (I) 的 结 论 知 ln(1+x)-x<0(x>-1, 且 x ≠ 0) ， 由 题 设 0-  0. ab ab 2 2 2a ab 2a 2b ab 2b 2b 又  , aln bln a时F'(x)0, 2 2 因此 F(x)在(a,+∞)上为增函数从而，当 x=a 时，F(x)有极小值 F(a)因为 F(a)=0,b>a,所以 F(b)>0,即 ab 00时,G'(x)0,因此G(x)在(0,+∞)上 2 ab 为减函数，因为G(a)=0,b>a,所以G(b)<0.即g(a)+g(b)-2g( )<(b-a)ln2. 2 第5页 | 共6页第6页 | 共6页