文档内容
邕衡金卷·名校联盟
柳州高中、南宁三中2024届一轮复习诊断性联考
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在
本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知集合A={1,3,4}，集合B={2,3,4,6}，则如图中的阴影部分表示（ ）
A． {3,4}
B．{1}
C．{2,6}
D．{1,2,3,4,6}
2．已知命题p：∃ x∈R，lgx+x≥3，则 ¬ p为（ ）
A．∀x∈R,lgx+x<3 B．∃x∈R,lgx+x<3
C．∀x∈R,lgx+x≥3 D．∃x∈R,lgx+x≤3
3．一组数据从小到大的顺序排列如下：9,10,12,15,17,18,22,26，经计算，则 75%分位数是
（ ）
A． 18 B．20 C．21 D．22
π 3
4．若cos α+ = ，则sin2α=（ ）
4 5
7 7 9 9
A． B．− C． D．−
25 25 25 25
5．已知 f
(
x
)= cosx
为奇函数，则a =（ ）
(x2 +3x)(x+a)
A．3 B．− 3 C．0 D．− 1
数学试题 第 1 页（共 4 页）6．抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射
光线经过抛物线的焦点．过点P(2 2,5)且平行于y 轴的一条光线射向抛物线C：x2 = 4y 上
的A点，经过反射后的反射光线与C相交于点B，则|AB|=（ ）
7 9
A． B．9 C．36 D．
2 2
7．如果一个数列从第 2 项起，每一项与它前一项的和除以与它前一项的差等于同一个常数，
那么这个数列就叫做“和差等比数列”．已知{a }是“和差等比数列”，a =1，a =3，则
n 1 2
满足使不等式a >100的n的最小值是（ ）
n
A． 8 B．7 C．6 D．5
8．某同学参加学校组织的数学知识竞赛，在 5 道四选一的单选题中有 3 道有思路，有 2 道完
1
全没有思路，有思路的题目每道做对的概率为 ，没有思路的题目只好任意猜一个答
2
案．若从这5道题目中任选2题，则该同学2道题目都做对的概率为（ ）
1 7 3 5
A． B． C． D．
4 32 16 32
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若复数z满足zi=1−i，则下列命题正确的有（ ）
A． z的虚部是−1 B．|z| = 2
C．z2 = 2 D．z是方程x2+2x+2=0的一个根
10．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动
称为“简谐运动”．在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数
f ( x )= Asin (ωx+ϕ)( A>0,ω>0,ϕ<π ) 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是
（ ）
1 π
A． ω=2，频率为 ，初相为
π 6
π
B．函数 f ( x ) 的图象关于直线x=− 对称
6
( )
π 13π
C．函数 f x 在 , 上的值域为[0,2]
12 24
( )
D．若把 f x 图像上所有点的横坐标缩短为原
2 π π
来的 倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位，则所得函数是y=2sin3x+
3 12 12
数学试题 第 2 页（共 4 页）
11．在边长为 2 的正方体 ABCD−ABC D 中，动点 M 满足 AM =xAB+ yAD+zAA ，
1 1 1 1 1
（x,y,z∈R且x≥0,y≥0,z≥0)，下列说法正确的是（ ）
A． 当x= 1 ,z=0,y∈[ 0,1 ] 时，BM +MD的最小值为 13
4 1
1 10
B．当x= y=1,z= 时，异面直线BM与CD 所成角的余弦值为
1
2 5
2 5 4 2π
C．当x+ y+z=1，且AM = 时，则M的轨迹长度为
3 3
6
D．当x+ y=1,z=0时，AM与平面AB D 所成角的正弦值的最大值为
1 1
3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
( ) ( )
12．已知向量a=( 1,m ) ,b=( 3,−1 ) ．若 2a−b // a+2b ，则实数m的值为 .
1 1
13．已知(ax+ )5(2x− )（a为常数）的展开式中所有项的系数和为32，则展开式中x2的系数
x x
为 （用数字作答）.
14．已知数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是 20，接下
来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，若该数列的前n项和为S ，
n
若 log (S )∈Z，n∈N*，则称(n,log (S ))为“好数对”，如 log (S )=log 20=0，
2 n 2 n 2 1 2
log (S )=log 21=1,则(1,0)，(2,1)都是“好数对”，当n≥66时，第一次出现的“好数对”
2 2 2
是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
a−b sinA−sinC
15.（13分）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知 = ．
c sinA+sinB
（1）求角B的大小；
（2）若b =2，求△ABC周长的最大值．
16.（15 分）某校为了丰富学生课余生活，体育节组织定点投篮比赛．为了解学生喜欢篮球是否
与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：
喜欢篮球 不喜欢篮球 合计
男生 40
女生 30
合计
数学试题 第 3 页（共 4 页）（1）根据所给数据完成上表，依据小概率值α=0.001的χ2独立性检验，能否据此推断该校
学生喜欢篮球与性别有关？
（2）篮球指导老师从喜欢篮球的学生中抽取了2名男生和1名女生进行投篮示范．已知这两
3 2
名男生投进的概率均为 ，这名女生投进的概率为 ，每人投篮一次，假设各人投篮
4 3
相互独立，求3人投进总次数X的分布列和数学期望.
n(ad −bc)2
附：χ2 =
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
α
17.（15分）在如图所示的五面体ABCDEF中，ABEF共面，△ADF是正三角形，四边形ABCD
2π
为菱形，∠ABC= ，EF∥平面ABCD，AB=2EF=2，点M为BC中点.
3
（1）证明：EM∥平面BDF；
（2）已知EM=2，求平面BDF与平面BEC所成二面角的正弦值.
18.（17分）已知函数 f(x)=lnx−ax+a,g(x)=(x−1)ex−a −ax+1(a∈R).
( )
（1）若 f x ≤0，求a的值；
（2）当a∈(
0,1
]
时，证明：g
(
x
)
≥ f
(
x
)
.
19.（17分）已知曲线Γ:x2 =4y.
（1）若点T ( t,s ) 是Γ上的任意一点，直线l:y= t x−s，判断直线l与Γ的位置关系并证明.
2
（2）若E是直线y=−1上的动点，直线EA与Γ相切于点A，直线EB与Γ相切于点B.
①试问∠AEB是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
|EB| |AB|
=
②若直线EA，EB与x轴分别交于点C，D，证明： .
|EC| |CD|
数学试题 第 4 页（共 4 页）
