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2004 年吉林高考文科数学真题及答案
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.
第I卷
参考公式：
球的表面积公式
如果事件A、B互斥，那么
S=4
P（A+B）=P（A）+P（B）
其中R表示球的半径，
如果事件A、B相互独立，那么
球的体积公式
P（A·B）=P（A）·P（B）
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 V= ，
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
P(k)=C Pk(1－P)n－k
n
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．已知集合 ，则集合 = （ ）
A．{ } B．{ } C．{ } D． { }
2．函数 的反函数是 （ ）
A． B．
C． D．
3．曲线 在点（1，－1）处的切线方程为 （ ）
A． B． C． D．
4．已知圆C与圆 关于直线 对称，则圆C的方程为 （ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数 的图象过点 ，则 可以是 （ ）
A． B． C． D．
6．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为 （ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
7．函数 的图象 （ ）
A．与 的图象 关于 轴对称 B．与 的图象关于坐标原点对称
C．与 的图象关于 轴对称 D．与 的图象关于坐标原点对称
8．已知点A（1，2）、B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是 （ ）
A． B． C． D．
9．已知向量a、b满足：|a|=1，|b|=2，|a－b|=2，则|a+b|= （ ）
A．1 B． C． D．
第1页 | 共7页10．已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为 ，则
球心O到平面ABC的距离为 （ ）
A． B． C． D．
11．函数 的最小正周期为 （ ）
A． B． C． D．2
12．在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521
的数共有 （ ）
A．56个 B．57个 C．58个 D．60个
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
13．已知a为实数， 展开式中 的系数是－15，则 .
14．设 满足约束条件：
则 的最大值是 .
15．设中心的原点的椭圆与双曲线 =1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方
程是 .
16．下面是关于四棱柱的四个命题：
①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱
④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱
其中，真命题的编号是 （写出所有正确结论的编号）.
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知等差数列{ }，
（Ⅰ）求{ }的通项公式；
（Ⅱ）令 ，求数列 的前n项和S.
n
第2页 | 共7页18．（本小题满分12分）
已知锐角三角形ABC中，
（Ⅰ）求证 ；
（Ⅱ）设AB=3，求AB边上的高.
19．（本小题满分12分）
已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支.
求：（Ⅰ）A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率；
（Ⅱ）A组中至少有两支弱队的概率.
20．（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC—ABC 中，∠ACB=90°，AC=1，
1 1 1
CB= ，侧棱AA=1，侧面AABB的两条对角线交点为D，
1 1 1
BC 的中点为M.
1 1
（Ⅰ）求证CD⊥平面BDM；
（Ⅱ）求面BBD与面CBD所成二面角的大小.
1
21．（本小题满分12分）
若函数 在区间（1，4）内为减函数，在区间
（6，+∞）上为增函数，试求实数a的取值范围.
第3页 | 共7页22．（本小题满分14分）
给定抛物线C： F是C的焦点，过点F的直线 与C相交于A、B两点.
（Ⅰ）设 的斜率为1，求 夹角的大小；
（Ⅱ）设 ，求 在 轴上截距的变化范围.
参考答案
一、选择题
1 C 2 A 3 B 4 C 5 A 6 C 7 D 8 B 9 D 10 B 11 B 12 C
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
13． 14．5 15． 16．②④
三、解答题
17．本小题主要考查等差、等比数列的概念和性质，考查运算能力，满分12分.
解：（Ⅰ）设数列 的公差为d，依题意得方程组
解得
所以 的通项公式为
（Ⅱ）由 所以 是首项 ，公式 的等比数列.
于是得 的前n项和
18．本小题主要考查三角函数概念，两角和、差的三角函数值以及应用、分析和计算能力，
满分12分.
第4页 | 共7页（Ⅰ）证明：
所以
（Ⅱ）解： ，
即 ，将 代入上式并整理得
解得 ，舍去负值得 ，
设AB边上的高为CD.
则AB=AD+DB=
由AB=3，得CD=2+ . 所以AB边上的高等于2+ .
19．本小题主要考查组合、概率等基本概念，相互独立事件和互斥事件等概率的计算，运用
数学知识解决问题的能力，满分12分.
（Ⅰ）解法一：三支弱队在同一组的概率为
故有一组恰有两支弱队的概率为
解法二：有一组恰有两支弱队的概率
（Ⅱ）解法一：A组中至少有两支弱队的概率
解法二：A、B两组有一组至少有两支弱队的概率为1，由于对A组和B组来说，至少有两支弱队的
概率是相同的，所以A组中至少有两支弱队的概率为
20．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.
满分12分.
解法一：（Ⅰ）如图，连结CA、AC、CM，则CA=
1 1 1
∵CB=CA= ，∴△CBA 为等腰三角形，
1 1
又知D为其底边AB的中点，
1
∴CD⊥AB. ∵AC=1，CB= ，∴AB=
1 1 1 1 1 1 1
又BB=1，AB=2. ∵△ACB为直角三角形，D为AB 的中点，
1 1 1 1
∴CD= AB=1，CD=CC ，又 DM= AC= ，
1 1 1
DM=CM.
1
∴△CDM≌△CCM，∠CDM=∠CCM=90°，即CD⊥DM.
1 1
第5页 | 共7页因为AB、DM为在平面BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM.
1
（Ⅱ）设F、G分别为BC、BD的中点，连结BG、FG、BF，则FG//CD，FG= CD.
1 1
∴FG= ，FG⊥BD.
由侧面矩形BBAA的对角线的交点为D知BD=BD= AB=1，
1 1 1 1
所以△BBD是边长为1的正三角形.
1
于是BG⊥BD，BG= ∴∠BGF是所求二面角的平面角，
1 1 1
又 BF2=BB2+BF2=1+（ = ，
1 1
∴
即所求二面角的大小为
解法二：如图，以C为原点建立坐标系.
（Ⅰ）B（ ，0，0），B （ ，1，0），A （0，1， 1），
1 1
D（ ，M（ ，1，0），
则 ∴CD⊥AB，CD⊥DM.
1
因为AB、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD⊥ 平 面
1
BDM.
（Ⅱ）设BD中点为G，连结BG，则
1
G（ ）， 、 、 ），
所以所求的二面角等于
21．本小题主要考查导数的概念的计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运
用数学知识解决问题的能力.满分12分.
第6页 | 共7页解：函数 的导数 令 ，解得
为增函数.
依题意应有 当
所以 解得
所以a的取值范围是[5，7].
22．本小题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力。
满分14分。
解：（Ⅰ）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，所以l的方程为
将 代入方程 ，并整理得
设 则有
所以 夹角的大小为
（Ⅱ）由题设 得
即
①
②
由②得 ， ∵ ∴ ③
联立①、③解得 ，依题意有
∴ 又F（1，0），得直线l方程为
当 时，l在方程y轴上的截距为
由 可知 在[4，9]上是递减的，
∴
直线l在y轴上截距的变化范围为
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