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成都石室中学2023-2024年度下期高2024届高考考前模拟一
数学试题（理科）
（总分：150分，时间：120分钟 ）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1. 已知集合 ，若 ，则实数 的所有可能取值的集合为（ ）
A． B． C． D．
2. 复数 在复平面上对应的点位于虚轴上，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
3. 已知 ， 为实数，则使得“ ”成立的一个必要不充分条件为（ ）
A． B． C． D．
4. 《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，
是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法，我们用近代术语解释为：把
阳爻“ ”当作数字“1”，把阴爻“ ”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：
卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数
坤 000 0
艮 001 1
坎 010 2
巽 011 3
依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“ ”，其表示的十进制数是（ ）
A．33 B．34 C．35 D．36
5. 函数 的大致图象是（ ）
A B C D
6. 在区间 上随机地取一个数 ，使 恒成立的概率是（ ）
A． B． C． D．
7. 设抛物线 的焦点为 ，过抛物线上一点 作其准线的垂线，设垂足为 ，若 ，
则 （ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
8. 变量 ， 满足约束条件 ，则目标函数 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
9. 我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫做拟柱体的
底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，过高的中点且平行于
底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面.已知拟柱体的体积公式为 ，其中
分别是上､下底面的面积， 是中截面的面积， 为拟柱体的高.一堆形为拟柱体的建筑材料，
其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米，宽10米，堆高1米，上底的长､宽比下底
的长､宽各少2米.现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为5吨的卡车装运，则至少需要运
（ ）（注：1立方米该建筑材料约重1.5吨）
A．51车 B．52车 C．54车 D．56车
10. 设锐角 的三个内角 的对边分别为 ，且 ，则 的取值范围为 (
)
A. B. C. D.
11. 菱形 中 ，现将菱形 沿对角线 折起，当 时，此时三棱锥
的体积为 ，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
12. 在同一平面直角坐标系中， 分别是函数 和函数 图
象上的动点，若对任意 ，则 最小值为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13. 在 的展开式中，常数项为
14. 函数 的图象关于直线 对称，则 ________
学科网（北京）股份有限公司15. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， 为左支上一点，
的内切圆圆心为 ，直线 与 轴交于点 ，若双曲线的离心率为 ，则
16. 已知数列 满足 ，函数 在 处取得最大值，若 ，
则
三、解答题（本题共6道小题，共70分）
17. 在三棱锥 中， ， ， ，异面直线 与 所成角为
60°，点 分别是线段 的中点.
（1）求线段 的长度；
（2）求直线 与平面 所成角的余弦值.
18. 《中华人民共和国未成年人保护法》保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益.我校拟
选拔一名学生作为领队，带领我校志愿队上街宣传未成年人保护法.现已从全校选拔出甲乙两人进行比赛，
比赛规则是：准备了5个问题让选手回答，选手答对问题，则自己得1分，该选手继续作答，若答错，则
对方得1分，换另外选手作答，比赛结束时分数多的一方获胜，甲乙能确定胜负时比赛就结束，或5个问
题回答完比赛也结束，已知甲、乙答对每个问题的概率都是 .竞赛前抽签，甲获得第一问题的答题权.
(1)求甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率；
(2)已知5个问题回答完后乙获胜，设在前三个问题中乙回答问题的个数为 ，求 的分布列和期望．
19、已知数列 满足 当 时，
（1）求 和 ，并证明当 为偶数时 是等比数列；
（2）求
学科网（北京）股份有限公司20、已知抛物线 的焦点为 ，过点 作抛物线 的两条切线，切点分别为
, .
（1）求抛物线 的方程；
（2）过点 作两条倾斜角互补的直线 ， 交抛物线 于 两点， 交抛物线 于 两点，连
接 ，设 的斜率分别为 ，求 的值；
（3）设 ，求 的值.
21、设
（1）当 ，求函数 的零点个数.
（2）函数 ，若对任意 ，恒有 ，求实数 的取值范围
选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22、在直角坐标系xOy中，曲线 的渐近线方程为 ， ，直线 过点
，且倾斜角为 .以点 为极点，以从点 出发与x轴正方向同方向的射线为极轴，建立极
坐标系，点 在曲线 上.
（1）写出曲线 在第二象限的参数方程和直线 的极坐标方程；
（2）曲线 与直线 相交于点 ，线段 的中点为 ，求 的面积.
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23、设 ，
学科网（北京）股份有限公司（1）解不等式：
（2）设 的最大值为 ，已知正数 和 满足 ，令 ，求 的最小
值.
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