文档内容
威远中学校 学年⾼⼆上期 ⽉⽉考
2025-2026 12
数学
2025.12.12
数学试题共4⻚，满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，务必将⾃⼰的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使⽤2B铅笔将答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊，如需改动，⽤橡⽪擦
擦⼲净后，再选涂其他答案标号.
3.答⾮选择题时，必须使⽤0.5毫⽶⿊⾊签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题⽬必须在答题卡上作答，在试题卷上答题⽆效.
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
⼀、单选题（本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项
符合题⽬要求）．
1. 直线 的倾斜⻆为（ ）
A B. C. D.
2. 若直线 是圆 的⼀条对称轴，则 （ ）
A. B. C.1 D.
3. 若m为直线， 为两个平⾯，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
4. 如图，在⻓⽅体 中， ， ， ， ， ，
则直线 与 所成⻆的余弦值为（ ）
第1⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司A. B. C. D.
5. 在棱⻓为3的正⽅体 中， 在线段 上，且 ， 为线段 上的动点，
则三棱锥 的体积为( )
A.1 B. C. D. 与 点的位置有关
6. 已知 为等腰直⻆三⻆形，AB为斜边， 为等边三⻆形，若⼆⾯⻆ 为 ，则
直线CD与平⾯ABC所成⻆的正切值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知圆 上到直线 的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是
（ ）
A. B. C. D.
8. 已知⊙M： ，直线 ： ， 为 上的动点，过点 作⊙M的切线
，切点为 ，当 最⼩时，直线 的⽅程为（ ）
A. B. C. D.
⼆、多选题（本⼤题共3⼩题，每⼩题6分，共18分.在每⼩题给出的选项中，有多项符合题
⽬要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）．
9. 已知 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ，则下列说法正确的有（ ）
A. 边上的⾼所在直线的⽅程 ；
B. 外接圆的⽅程为 ；
C. 过 作直线 与线段 相交，则直线 斜率的取值范围为 ；
D. 的⾯积为 .
10. 已知直线 与圆 ，点 ，则下列说法正确 是（ ）
A. 若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
第2⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司C. 若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D. 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
11. 如图，在三棱锥 中，侧⾯ 是全等的直⻆三⻆形， 是公共的斜边，且
，另⼀个侧⾯ 是正三⻆形，下⾯结论正确的是（ ）
A. 为正三⻆形
B.
C. 与底⾯ 所成⻆的正弦值为
D. 点 到平⾯ 的距离为
第Ⅱ卷（⾮选择题，共92分）
三、填空题（本⼤共3⼩题 ，每⼩题5分，满分15分）．
12. 若棱⻓为 的正⽅体的顶点都在同⼀球⾯上，则该球的表⾯积为______.
13. 在正四棱台 中， ，则该棱台的体积为________．
14. 圆O： ，过点 作两条互相垂直的动弦 、 ，则四边形 的⾯积的最
⼤值为_________.
四、解答题（本题共计5⼩题，共77分，解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤）.
15. 求满⾜下列条件的直线⽅程：
（1）过点 ，且在 轴， 轴上 截距互为相反数的直线⽅程；
第3⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（2）已知两直线 ，求过两直线的交点，且平⾏于直线 的
直线⽅程．
16 已知圆 .
（1）求m的取值范围.
（2）已知直线 与圆 交于 两点，且 .
①求 ；
②求过点 的圆 的切线⽅程.
17. 如图，在四棱锥 中，底⾯ 为直⻆梯形， ，
， 平⾯ 为棱 上的动点.
（1）当 为棱 的中点时，证明： 平⾯ ；
（2）若 ，求平⾯ 与平⾯ 夹⻆的余弦值.
18. 如图，三棱柱ABC－A B C 中，点A 在平⾯ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC =2.
1 1 1 1 1
（1）证明:AC ⊥A B；
1 1
（2）设直线AA 与平⾯BCC B 的距离为 ，求⼆⾯⻆A －AB－C的余弦值.
1 1 1 1
第4⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司19. 已知圆 的圆⼼在直线 上，且经过点 和 .
（1）求圆 的标准⽅程；
（2）设点 在 上运动，且点 满⾜ （ 为原点）,记点 的轨迹为 .
①求曲线 的⽅程；
②过点 的直线与曲线 交于 、 两点，问在 轴正半轴上是否存在定点 ，使得 轴平分
？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
第5⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司威远中学校 学年⾼⼆上期 ⽉⽉考
2025-2026 12
数学
2025.12.12
数学试题共4⻚，满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，务必将⾃⼰的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使⽤2B铅笔将答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊，如需改动，⽤橡⽪擦
擦⼲净后，再选涂其他答案标号.
3.答⾮选择题时，必须使⽤0.5毫⽶⿊⾊签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题⽬必须在答题卡上作答，在试题卷上答题⽆效.
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
⼀、单选题（本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项
符合题⽬要求）．
1. 直线 的倾斜⻆为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】⾸先求斜率，再求倾斜⻆.
【详解】由条件可知，直线的斜率 ，设直线的倾斜⻆为 ，
则 ， ，所以 .
故选：B
2. 若直线 是圆 的⼀条对称轴，则 （ ）
A. B. C.1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆⼼，将圆⼼代⼊直线计算求解．
【详解】由题可知圆⼼为 ，因为直线是圆的对称轴，所以圆⼼在直线上，即 ，解得
第1⻚/共21⻚
学科⽹（北京）股份有限公司．
故选：A．
3. 若m为直线， 为两个平⾯，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据线⾯平⾏的定义可判断A的正误，根据空间中垂直关系的转化可判断BCD的正误.
【详解】对于A，若 ，则 可平⾏或异⾯，故A错误；
对于B，若 ，则 ，故B错误；
对于C，若 ，则存在直线 ， ，
所以由 可得 ，故 ，故C正确；
对于D， ，则 与 可平⾏或相交或 ，故D错误；
故选：C.
4. 如图，在⻓⽅体 中， ， ， ， ， ，
则直线 与 所成⻆的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取 上靠近 的三等分点F，取 上三等分点 ，可知直线 与 所成⻆即为直线
第2⻚/共21⻚
学科⽹（北京）股份有限公司与 所成⻆，求出 ，在 中，由余弦定理求解即可.
【详解】取 上靠近 的三等分点F，取 上三等分点 ，
连接 ，
因为 ，所以四边形 是平⾏四边形，
所以 ，所以直线 与 所成⻆即为直线 与 所成⻆，
，
由正⽅体的性质可得： 平⾯ ， 平⾯ ，
所以 平⾯ ，所以 ， ，
， ，
，
在 中， ，
所以直线 与 所成⻆的余弦值为 .
故选：B.
5. 在棱⻓为3的正⽅体 中， 在线段 上，且 ， 为线段 上的动点，
则三棱锥 的体积为( )
A.1 B. C. D. 与 点的位置有关
【答案】B
【解析】
【分析】作出图像，观察可知 ，点P到平⾯ 的距离是 到平⾯ 距离的 ，
为定值，据此即可求出体积.
第3⻚/共21⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【详解】∵ ，
∴点P到平⾯ 的距离是 到平⾯ 距离的 ，即为 ＝1.
，
＝ × ×1＝ .
故选：B.
6. 已知 为等腰直⻆三⻆形，AB为斜边， 为等边三⻆形，若⼆⾯⻆ 为 ，则
直线CD与平⾯ABC所成⻆的正切值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，推导确定线⾯⻆，再利⽤余弦定理、正弦定理求解作答.
【详解】取 的中点 ，连接 ，因为 是等腰直⻆三⻆形，且 为斜边，则有
，
⼜ 是等边三⻆形，则 ，从⽽ 为⼆⾯⻆ 的平⾯⻆，即 ，
第4⻚/共21⻚
学科⽹（北京）股份有限公司显然 平⾯ ，于是 平⾯ ，⼜ 平⾯ ，
因此平⾯ 平⾯ ，显然平⾯ 平⾯ ，
直线 平⾯ ，则直线 在平⾯ 内的射影为直线 ，
从⽽ 为直线 与平⾯ 所成的⻆，令 ，则 ，在 中，由余弦定
理得：
，
由正弦定理得 ，即 ，
显然 是锐⻆， ，
所以直线 与平⾯ 所成的⻆的正切为 .
故选：C
7. 已知圆 上到直线 的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出圆⼼ 到直线 的距离，然后结合图象，即可得出结论.
【详解】由题意，
在圆 中，圆⼼ ，半径为 ，
到直线 的距离为 的点有且仅有 个，
∵圆⼼ 到直线 的距离为： ，
第5⻚/共21⻚
学科⽹（北京）股份有限公司故由图可知，
当 时，
圆 上有且仅有⼀个点（ 点）到直线 的距离等于 ；
当 时，
圆 上有且仅有三个点（ 点）到直线 的距离等于 ；
当则 的取值范围为 时，
圆 上有且仅有两个点到直线 的距离等于 .
故选：B
8. 已知⊙M： ，直线 ： ， 为 上的动点，过点 作⊙M的切线
，切点为 ，当 最⼩时，直线 的⽅程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点 共圆，且 ，根据
可知，当直线 时， 最⼩，求出以 为直径的圆的⽅程，
根据圆系的知识即可求出直线 的⽅程．
【详解】圆的⽅程可化为 ，点 到直线 的距离为 ，所
以直线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点 四点共圆，且 ，所以
第6⻚/共21⻚
学科⽹（北京）股份有限公司，⽽ ，
当直线 时， ， ，此时 最⼩．
∴ 即 ，由 解得， ．
所以以 为直径的圆的⽅程为 ，即 ，
两圆的⽅程相减可得： ，即为直线 的⽅程．
故选：D.
【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应⽤，以及圆的⼏何性质的应⽤，意在考查学⽣的
转化能⼒和数学运算能⼒，属于中档题．
⼆、多选题（本⼤题共3⼩题，每⼩题6分，共18分.在每⼩题给出的选项中，有多项符合题
⽬要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）．
9. 已知 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ，则下列说法正确的有（ ）
A. 边上的⾼所在直线的⽅程 ；
B. 的外接圆的⽅程为 ；
C. 过 作直线 与线段 相交，则直线 斜率的取值范围为 ；
D. 的⾯积为 .
【答案】BCD
【解析】
【分析】对选项 ，利⽤直线垂直时斜率的关系可求得⾼线⽅程；对选项 ，⽤待定系数求圆的⽅程；对
选项 ，根据直线 从点 到点 的过程中斜率的变化求得；对选项 ， 的⾯积利⽤点到直线的距
离求得 中 边的⾼，然后根据⾯积公式即可.
【详解】对选项 ，直线 的斜率为：
则 边上的⾼的斜率为：
则⾼的⽅程为： ，即
故 不正确；
第7⻚/共21⻚
学科⽹（北京）股份有限公司对选项 ，设 外接圆的⽅程为
则有：
解得： ， ，
所以△ 的外接圆的⽅程为：
故 正确；
对选项 ， ，
则过点 作直线 与线段 相交时，则直线 斜率的取值范围为：
故 正确；
对选项 ，易知 所在直线的⽅程为：
点 到直线 的距离为：
⼜
则 的⾯积为：
故 正确
故选：
10. 已知直线 与圆 ，点 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C. 若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D. 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【解析】
【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为 的⼤⼩关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位
置关系即可得解.
【详解】圆⼼ 到直线l的距离 ，
第8⻚/共21⻚
学科⽹（北京）股份有限公司若点 在圆C上，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点 在圆C内，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点 在圆C外，则 ，所以 ，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点 在直线l上，则 即 ，
所以 ，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
11. 如图，在三棱锥 中，侧⾯ 是全等的直⻆三⻆形， 是公共的斜边，且
，另⼀个侧⾯ 是正三⻆形，下⾯结论正确的是（ ）
A. 为正三⻆形
B.
C. 与底⾯ 所成⻆的正弦值为
D. 点 到平⾯ 的距离为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A：根据题意直接判断即可；对于B：设点A在底⾯ 的投影为 ，可知四边形 是
第9⻚/共21⻚
学科⽹（北京）股份有限公司边⻓为1的正⽅形，进⽽可证 平⾯ ，即可得结果；对于C：可知 与底⾯ 所成⻆为
，进⽽求解；对于D：转换顶点结合等体积法求点到⾯的距离即可.
【详解】对于选项A：因为侧⾯ 是正三⻆形，故A正确；
对于选项B：由题意可知： ， ，
则 ，可知 .
设点A在底⾯ 的投影为 ，连接 ，
因为 平⾯ ， 平⾯ ，则 ，
且 ， ， 平⾯ ，则 平⾯ ，
且 平⾯ ，所以 ，
同理可得： ，
可知四边形 是边⻓为1的正⽅形，则 ，
⼜因为 平⾯ ， 平⾯ ，则 ，
且 ， 平⾯ ，则 平⾯ ，
且 平⾯ ，所以 ，故B正确；
对于选项C：因为 ， ，
可知 与底⾯ 所成⻆为 ，其正弦值为 ，故C错误；
对于选项D：设点 到平⾯ 的距离为 ，
因为 ，则 ，解得 ，
所以点 到平⾯ 的距离为 ，故D正确；
故选：ABD.
第Ⅱ卷（⾮选择题，共92分）
第10⻚/共21⻚
学科⽹（北京）股份有限公司三、填空题（本⼤共3⼩题 ，每⼩题5分，满分15分）．
12. 若棱⻓为 的正⽅体的顶点都在同⼀球⾯上，则该球的表⾯积为______.
【答案】 .
【解析】
【分析】求出球的半径即可.
【详解】解：因为正⽅体的顶点都在同⼀球⾯上，
所以球的直径为正⽅体的对⻆线，
所以 ，
所以 ，
故球的表⾯积： .
故答案 ： .
13. 在正四棱台 中， ，则该棱台的体积为________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】结合图像，依次求得 ，从⽽利⽤棱台的体积公式即可得解.
【详解】如图，过 作 ，垂⾜为 ，易知 为四棱台 的⾼，
因为 ，
则 ，
第11⻚/共21⻚
学科⽹（北京）股份有限公司故 ，则 ，
所以所求体积为 .
故答案为： .
14. 圆O： ，过点 作两条互相垂直的动弦 、 ，则四边形 的⾯积的最
⼤值为_________.
【答案】28
【解析】
【分析】过点 作 的垂线，垂⾜为 ， 作 的垂线，垂⾜为 ，构造直⻆三⻆形求出四边形的对
⻆线⻓度，则四边形⾯积为对⻆线乘积的⼀半，结合基本不等式即可求解.
【详解】过点 作 的垂线，垂⾜为 ， 作 的垂线，垂⾜为 ，如图所示：
设 ，
则 ，且 ，
则四边形 的⾯积
第12⻚/共21⻚
学科⽹（北京）股份有限公司，
当且仅当 ，即 时，等号成⽴，
所以四边形 的⾯积的最⼤值为28.
故答案为：28.
四、解答题（本题共计5⼩题，共77分，解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤）.
15. 求满⾜下列条件的直线⽅程：
（1）过点 ，且在 轴， 轴上的截距互为相反数的直线⽅程；
（2）已知两直线 ，求过两直线的交点，且平⾏于直线 的
直线⽅程．
【答案】（1） 或
（2）
【解析】
【分析】（1）分两种情况，过原点时设直线⽅程为 ，不过原点时设直线⽅程为 ，代⼊点
即可求解；
（2）联⽴ 、 ，解出交点坐标，再结合与直线 平⾏，利⽤点斜式即可求解．
【⼩问1详解】
分两种情况，
当直线过原点时，设 ，代⼊ ，得 ，⽅程为 ，
当直线不过原点时，设截距式 ，代⼊ ，得 ，⽅程为 ，
综上，直线⽅程为 或 ．
【⼩问2详解】
联⽴ 、 ⽅程 ，解得交点为 ，
直线 斜率为 ，所求直线与之平⾏，斜率也为 ，⼜因为过 ，
第13⻚/共21⻚
学科⽹（北京）股份有限公司所以直线⽅程为 ，
整理得 ．
16. 已知圆 .
（1）求m的取值范围.
（2）已知直线 与圆 交于 两点，且 .
①求 ；
②求过点 的圆 的切线⽅程.
【答案】（1）
（2）① ；② 或 .
【解析】
【分析】（1）根据圆的⼀般⽅程成⽴条件，建⽴不等式，可得答案.
（2）①根据弦⻓公式，建⽴⽅程，求出参数；②根据切线⽅程的求法，可得答案.
【⼩问1详解】
（⽅法⼀）由题意得 ，则 ，
得 ，所以 的取值范围为 .
（⽅法⼆）由 ，
得 ，所以 的取值范围为 .
【⼩问2详解】
①由题意得 到 的距离 ，
则圆 的半径为 ，
得
②当所求切线的斜率不存在时，该切线的⽅程为 .
当所求切线的斜率存在时，设该切线的⽅程为 ，即 .
第14⻚/共21⻚
学科⽹（北京）股份有限公司由 ，得 ，
所以所求的切线⽅程为 ，即 .
综上，过点 的圆 的切线⽅程为 或 .
17. 如图，在四棱锥 中，底⾯ 为直⻆梯形， ，
， 平⾯ 为棱 上的动点.
（1）当 为棱 的中点时，证明： 平⾯ ；
（2）若 ，求平⾯ 与平⾯ 夹⻆的余弦值.
【答案】（1）证明⻅解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ， ，求证 ，即可求解；
（2）建⽴空间直⻆坐标系，求得平⾯法向量，代⼊夹⻆公式即可.
【⼩问1详解】
取 的中点 ，连接 ， ，
第15⻚/共21⻚
学科⽹（北京）股份有限公司因为 为 的中点，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以四边形 为平⾏四边形，所以
⼜ 平⾯ 平⾯ ，所以 平⾯ .
【⼩问2详解】
因为 平⾯ ，
在平⾯ 内，所以 ，
即 两两垂直，
故可以 为原点， 所在直线分别为 轴建⽴如图所示的空间直⻆坐标系.
则
因为 ，所以 ，
所以 .
设平⾯ 的法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，所以
因为 平⾯ ，所以 平⾯ .
所以 为平⾯ 的⼀个法向量.
设平⾯ 与平⾯ 的夹⻆为 ，
第16⻚/共21⻚
学科⽹（北京）股份有限公司则 .
所以平⾯ 与平⾯ 夹⻆的余弦值为 .
18. 如图，三棱柱ABC－A B C 中，点A 在平⾯ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC =2.
1 1 1 1 1
（1）证明:AC ⊥A B；
1 1
（2）设直线AA 与平⾯BCC B 的距离为 ，求⼆⾯⻆A －AB－C的余弦值.
1 1 1 1
【答案】（1）证明⻅解析；
（2）⼆⾯⻆A -AB -C的余弦值为 .
1
【解析】
【分析】(1) 由条件证明 ， ，由线⾯垂直的判定定理证明 平⾯ ，由此
证明 ；(2) 建⽴空间直⻆坐标系，结合条件直线AA 与平⾯BCC B 的距离为 ，确定相关点
1 1 1
的坐标，利⽤向量⽅法求⼆⾯⻆A －AB－C的余弦值.
1
【⼩问1详解】
∵ 点A 在平⾯ABC内的射影D在AC上，
1
第17⻚/共21⻚
学科⽹（北京）股份有限公司∴ 平⾯ ，⼜ 平⾯ ，
∴ ，∵ , ， 平⾯ ，
∴ 平⾯ ， 平⾯ ，
∴ ，
∵ ，四边形 为平⾏四边形，
∴ 四边形 为菱形，故 ，
⼜ ， 平⾯ ，
∴ 平⾯ ， 平⾯ ，
∴ ；
⼩问2详解】
以C为坐标原点，以 为x轴， 轴， 轴的正⽅向建⽴空间直⻆坐标系，设 ，由题
设有 ， ，
设平⾯BCC B 的法向量 ，则 ，因 ，所以
1 1
第18⻚/共21⻚
学科⽹（北京）股份有限公司，
所以 ，⼜ ， 即 ，
所以点 到平⾯ 的距离为 ，⼜依题设，直线AA
1
与平⾯BCC B 的距离为 ，所以 .代⼊①得 （舍去）或 ，于是 ，
1 1
设平⾯ 的法向量 ，则 ，所以 ，所以 ，⼜
为平⾯ 的法向量，故 ，
所以⼆⾯⻆A -AB -C的余弦值为 .
1
19. 已知圆 的圆⼼在直线 上，且经过点 和 .
（1）求圆 的标准⽅程；
（2）设点 在 上运动，且点 满⾜ （ 为原点）,记点 的轨迹为 .
①求曲线 的⽅程；
②过点 的直线与曲线 交于 、 两点，问在 轴正半轴上是否存在定点 ，使得 轴平分
？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）（i） ；（ii）存在，且定点为
【解析】
【分析】（1）设点 ，根据 结合两点间的距离公式求出 的值，可得出圆⼼ 的坐
标，求出圆 的半径⻓，即可得出圆 的标准⽅程；
（2）（i）设点 、 ，根据平⾯向量的坐标运算得出 ，代⼊等式
化简可得曲线 的⽅程；
第19⻚/共21⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（ii）假设存在满⾜题设条件的点 ，设点 、 ，设直线 的⽅程为 ，
将该直线⽅程与曲线 的⽅程联⽴，列出⻙达定理，根据 求出 的值，即可得出结论.
【⼩问1详解】
因为圆⼼ 在直线 上，设点 ，
由题意得 ，即 ，解得 ，
所以圆⼼为 ，半径为 ，
故圆 的标准⽅程为 .
【⼩问2详解】
（i）设点 、 ，由 可得 ，
所以 ，解得 ，
因为点 在 上，所以 （*），
将 代⼊等式（*）得 ，即 ，
故曲线 的⽅程为 ；
②假设存在满⾜题设条件的点 ，设点 、 ，
若直线 的斜率为零，则直线 与 轴重合，不合乎题意，
设直线 的⽅程为 ，联⽴ ,
第20⻚/共21⻚
学科⽹（北京）股份有限公司可得 ，
，
由⻙达定理可得 ， ，
直线 的斜率为 ，
同理可得直线 的斜率为 ，
所以
，
即 对任意的 恒成⽴，故 ，解得 ，
故在 轴正半轴上存在定点 ，使得 轴平分 .
第21⻚/共21⻚
学科⽹（北京）股份有限公司
