文档内容
上饶市 2024—2025 学年上学期期末教学质量测试
高二数学试卷
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓
名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．
4．本试卷共19题，总分150分，考试时间120分钟．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出得四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．直线 的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线 的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．已知随机变量 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．“直线 与直线 平行”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知向量 ，则 （ ）
A．10 B．2 C．0 D．
6． 是自然对数函数的底数，被称为自然常数或者欧拉数．最初由雅各布·伯努利在研究复利时发现，后
由莱昂哈德·欧拉证明其为无理数，大约为 ．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，
打算将自然常数 的前6位数字2，7，1，8，2，8进行排列得到一个六位数密码，那么小明可以设置（
）个不同密码．
A．240 B．180 C．120 D．72
7．如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为 1，高为2，内装水若干；现将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好是中截面（即平面经过边 、 的中点）则图1中容器水面的高
度是（ ）
图1 图2
A． B． C． D．
8．椭圆 的左、右焦点分别是 ，斜率为1的直线 过左焦点 ，交 于
两点，且 的内切圆的面积是 ，若线段 的长度的取值范围为 ，则椭圆 的离心率
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知 是空间两条不同的直线， 是空间两个不重合的平面，下列命题不正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
10．对于随机事件 ，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知曲线 ．点 ，则以下说法正确的是（ ）
A．曲线 关于原点对称
B．曲线 存在点 ，使得C．直线 与曲线 没有交点
D．点 是曲线 上在第三象限内的一点，过点 向 作垂线，垂足分别为 ，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 的展开式中常数项为____________．
13．在四棱锥 中， 平面 ，四边形 为平行四边形， 且
， ， 为 的中点，则异面直线 与 所成的角的余弦值为____________．
14．如图所示，用过 点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高
，底面圆的半径为2， 为母线 的中点，平面与底面的交线 ，则该双曲线的两条渐
近线所成角的正弦值为____________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）（1）解方程： （2）计算 ．
16．（本小题满分15分）已知 ，动点 满足 ．
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）求 的最小值和最大值．
17．（本小题满分15分）甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，经过大数据分析，每局比赛甲获胜的概率约为
，乙获胜的概率约为 ．
（1）若比赛为三局两胜制：
（I）设比赛结束时比赛场次为 ，求 的分布列与数学期望；（Ⅱ）求乙最终获胜的概率；
（2）若比赛为五局三胜制，已知甲最终获胜了，求在此条件下进行了5局比赛的概率．
18．（本小题满分17分）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上．过
点 的直线 与 及圆 依次相交于点 ，如图．
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）证明： 为定值；
（3）过 两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点 ，求 与 的面积之积的最小
值．
19．（本小题满分 17 分）在空间直角坐标系 中，定义：过点 ，且方向向量为
的直线的点方向式方程为 ；
过点 ，且法向量为 n 的平面的点法向式方程为
，将其整理为一般式方程为 ，其中 ．
（1）已知直线 的点方向式方程为 ，平面 的一般式方程为 ，求
直线 与平面 所成角的余弦值；
（2）已知平面 的一般式方程为 ，平面 的一般式方程为 ，平面
的一般式方程为 ，若 ，
证明： ；
（3）已知斜三棱柱 中，侧面 ，所在平面 经过三点，侧面 所在平面 的一般式方程为 ，侧面 所在平面 的
一般式方程为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
2024-2025 学年秋季学期高二数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
A D C B C B D A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
AC ABD BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．80 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。
15．【解析】（1）因为 ，所以
又因为 ，所以 ，解得 ．
（2）法一：
法二：原式
16．解析：（1）设动点
即 ，整理得，
（2） 就是 ，其半径是2，圆心 ．
∵ ，∴ 在圆外，
故 的最小值是 最大值是
17．解析：（1）解：（i） 所有可能的取值为2，3， ，
所以 的分布列为：
2 3
（ii）乙最终获胜的概率 ；
（2）设事件 “甲最终获胜”，事件 “共进行了5场比赛”．
则 ，
，故
18．解析：（1）由题意得，因为点 在抛物线上，所以 ∴ ，
所以抛物线 的标准方程为 ；
（2）由（1）知： ，显然直线/的斜率存在，所以设直线 方程为： ，
由 ，
设 ，则
由抛物线的定义得： ，
所以： ，即 为定值1．
（3）由
设直线 ，联立 得：∴ ，直线 ，即
同理求得直线 ，
，则 ，
∴ 到 的距离 ，
∴ 与 的面积之积 ，
当 时， 与 的面积之积的最小值1
19．解析：（1）由直线 的点方向式方程为 可知，
直线 的一个方向向量坐标为，
由平面 的点法式方程为 可知，平面 的一个法向量为 ，设直线
与平面 所成角为 ，
所以有 ，
所以 ，即直线 与平面 所成角的值 ．
（2）由平面 可知，平面 的法向量为 ，
由平面 可知，平面 的法向量为 ，
设两平面交线 的方向向量为 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，由平面 可知，平面 的法向量为
， 因为 ，即 ，且
，所以 ．
（3）因平面 经过三点 ，可得
设侧面 所在平面 的法向量
则 ，令 ，解得 ，可得 ，
由平面 可知，平面 法向量为 ，
设平面 与平面 的交线 的方向向量为 ，
则 ，令 ，则 ， ，可得 ，
由平面 可知，平面 的法向量为 ，
因为 ，解得 ，即 ，
故平面 与平面 夹角的余值为 ．
