2004年北京高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_北京

2004 年北京高考理科数学真题及答案 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页。第II卷3至9页。共150 分。考试时间120分钟。 第I卷（选择题 共40分） 注意事项： 1. 答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选 涂其他答案，不能答在试题卷上。 3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。 参考公式： 三角函数的积化和差公式 1 sincos [sin()sin()] 2 1 cossin [sin()sin()] 2 1 coscos [cos()cos()] 2 1 sinsin  [cos()cos()] 2 正棱台、圆台的侧面积公式 1 S  (c'c)l 台侧 2 其中c’，c分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长 球体的表面积公式S  4R2 球 其中R表示球的半径 一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 （1）设全集是实数集R， M {x|2  x  2}，N {x|x 1}，则 M  N 等于 A. {x|x  2} B. {x|2  x 1} C. {x|x 1} D. {x|2  x 1} （2）满足条件|z i||34i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是 A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆 （3）设m、n是两条不同的直线，,,是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m，n/ /，则mn ②若/ /，/ /，m，则m 第1页 | 共11页③若m/ /，n/ /，则m/ /n ④若，，则/ / 其中正确命题的序号是 A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④ （4）如图，在正方体 ABCD A B C D 中，P是侧面BB C C内一动点，若P到直线BC与直线C D 1 1 1 1 1 1 1 1 的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是 D C 1 1 A B 1 1 P D C A B A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线 （5）函数 f (x)  x2 2ax3在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是 A. a (,1] B. a [2,) C. a [1,2] D. a (,1][2,) （6）已知a、b、c满足c b  a，且ac  0，那么下列选项中一定成立的是 A. ab  ac B. c(ba)  0 C. cb2  ab2 D. ac(ac)  0 （7）从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n种。在这些取法中，以 m 取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m，则 等于 n 1 1 3 2 A. B. C. D. 10 5 10 5 x,x P （ 8 ） 函 数 f (x)   ， 其 中 P 、 M 为 实 数 集 R 的 两 个 非 空 子 集 ， 又 规 定 x,x M  f (P) {y|y  f (x),x P}， f (M) {y|y  f (x),x M}，给出下列四个判断： ①若P M  ，则 f (P) f (M)   ②若P M  ，则 f (P) f (M)   ③若P M  R，则 f (P) f (M)  R ④若P M  R，则 f (P) f (M)  R 其中正确判断有 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第2页 | 共11页第II卷（非选择题 共110分） 二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。 （9）函数 f (x)  cos2x2 3sinxcosx的最小正周期是___________ （10）方程lg(4x 2)  lg2x lg3的解是___________________ （11）某地球仪上北纬30纬线的长度为12cm，该地球仪的半径是__________cm，表面积是 ______________cm2 x  cos （12）曲线C： （为参数）的普通方程是__________，如果曲线C与直线x ya  0 y  1sin  有公共点，那么实数a的取值范围是_______________-- （13）在函数 f (x)  ax2 bxc中，若a，b，c成等比数列且 f (0)  4，则 f (x)有最______________ 值（填“大”或“小”），且该值为______________ （14）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数 列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。 已知数列{a }是等和数列，且a  2，公和为5，那么a 的值为______________，这个数列的前n项 n 1 18 和S 的计算公式为________________ n 三. 解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （15）（本小题满分13分） 2 在ABC中，sin AcosA  ， AC  2， AB  3，求tgA的值和ABC的面积 2 （16）（本小题满分14分） 如图，在正三棱柱 ABC A B C 中，AB＝3， AA  4，M为 AA 的中点，P是BC上一点，且由P沿 1 1 1 1 1 棱柱侧面经过棱CC 到M的最短路线长为 29 ，设这条最短路线与CC 的交点为N，求： 1 1 （I）该三棱柱的侧面展开图的对角线长 （II）PC和NC的长 （III）平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示） 第3页 | 共11页A C 1 1 B 1 M N A C P B （17）（本小题满分14分） 如图，过抛物线 y2  2px(p  0)上一定点 P（ x ,y ）（ y  0），作两条直线分别交抛物线于 A 0 0 0 （x ,y ），B（x ,y ） 1 1 2 2 p （I）求该抛物线上纵坐标为 的点到其焦点F的距离 2 y  y （II）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求 1 2 的值，并证明直线AB的斜率是非零常数 y 0 y P O x A B （18）（本小题满分14分） x 1 1 函数 f (x)是定义在［0，1］上的增函数，满足 f (x)  2f ( )且 f (1) 1，在每个区间( , ] 2 2i 2i1 （i 1，2……）上，y  f (x)的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分。 1 1 1 （I）求 f (0)及 f ( )， f ( )的值，并归纳出 f ( )(i 1,2, )的表达式  2 4 2i 1 1 （II）设直线x  ，x  ，x轴及y  f (x)的图象围成的矩形的面积为a （i 1，2……）， 2i 2i1 i 记S(k)  lim(a a  a )，求S(k)的表达式，并写出其定义域和最小值 1 2  n n （19）（本小题满分12分） 某段城铁线路上依次有A、B、C三站，AB=5km，BC=3km，在列车运行时刻表上，规定列车8时整 从A站发车，8时07分到达B站并停车1分钟，8时12分到达C站，在实际运行中，假设列车从A站正点 发车，在B站停留1分钟，并在行驶时以同一速度vkm/h匀速行驶，列车从A站到达某站的时间与时刻表 上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差。 （I）分别写出列车在B、C两站的运行误差 （II）若要求列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，求v的取值范围 第4页 | 共11页（20）（本小题满分13分） 给定有限个正数满足条件T：每个数都不大于50且总和L＝1275。现将这些数按下列要求进行分组， 每组数之和不大于150且分组的步骤是： 首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差r 与所有可能的其他选择 1 相比是最小的，r 称为第一组余差； 1 然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为r ； 2 如此继续构成第三组（余差为r ）、第四组（余差为r ）、……，直至第N组（余差为r ）把这些数全部分 3 4 N 完为止。 （I）判断r ,r , ,r 的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数 1 2  N 150n L （II）当构成第n（n