2004年北京高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_北京

2004 年北京高考理科数学真题及答案
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页。第II卷3至9页。共150
分。考试时间120分钟。
第I卷（选择题 共40分）
注意事项：
1. 答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选
涂其他答案，不能答在试题卷上。
3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：
三角函数的积化和差公式
1
sincos [sin()sin()]
2
1
cossin [sin()sin()]
2
1
coscos [cos()cos()]
2
1
sinsin  [cos()cos()]
2
正棱台、圆台的侧面积公式
1
S  (c'c)l
台侧 2
其中c’，c分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长
球体的表面积公式S  4R2
球
其中R表示球的半径
一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
（1）设全集是实数集R， M {x|2  x  2}，N {x|x 1}，则 M  N 等于
A. {x|x  2} B. {x|2  x 1}
C. {x|x 1} D. {x|2  x 1}
（2）满足条件|z i||34i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是
A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆
（3）设m、n是两条不同的直线，,,是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m，n/ /，则mn
②若/ /，/ /，m，则m
第1页 | 共11页③若m/ /，n/ /，则m/ /n
④若，，则/ /
其中正确命题的序号是
A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④
（4）如图，在正方体 ABCD A B C D 中，P是侧面BB C C内一动点，若P到直线BC与直线C D
1 1 1 1 1 1 1 1
的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是
D C
1 1
A B
1 1
P
D C
A B
A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线
（5）函数 f (x)  x2 2ax3在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是
A. a (,1] B. a [2,) C. a [1,2] D. a (,1][2,)
（6）已知a、b、c满足c b  a，且ac  0，那么下列选项中一定成立的是
A. ab  ac B. c(ba)  0 C. cb2  ab2 D. ac(ac)  0
（7）从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n种。在这些取法中，以
m
取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m，则 等于
n
1 1 3 2
A. B. C. D.
10 5 10 5
x,x P
（ 8 ） 函 数 f (x)   ， 其 中 P 、 M 为 实 数 集 R 的 两 个 非 空 子 集 ， 又 规 定
x,x M

f (P) {y|y  f (x),x P}， f (M) {y|y  f (x),x M}，给出下列四个判断：
①若P M  ，则 f (P) f (M)  
②若P M  ，则 f (P) f (M)  
③若P M  R，则 f (P) f (M)  R
④若P M  R，则 f (P) f (M)  R
其中正确判断有
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第2页 | 共11页第II卷（非选择题 共110分）
二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。
（9）函数 f (x)  cos2x2 3sinxcosx的最小正周期是___________
（10）方程lg(4x 2)  lg2x lg3的解是___________________
（11）某地球仪上北纬30纬线的长度为12cm，该地球仪的半径是__________cm，表面积是
______________cm2
x  cos
（12）曲线C： （为参数）的普通方程是__________，如果曲线C与直线x ya  0
y  1sin

有公共点，那么实数a的取值范围是_______________--
（13）在函数 f (x)  ax2 bxc中，若a，b，c成等比数列且 f (0)  4，则 f (x)有最______________
值（填“大”或“小”），且该值为______________
（14）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数
列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
已知数列{a }是等和数列，且a  2，公和为5，那么a 的值为______________，这个数列的前n项
n 1 18
和S 的计算公式为________________
n
三. 解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（15）（本小题满分13分）
2
在ABC中，sin AcosA  ， AC  2， AB  3，求tgA的值和ABC的面积
2
（16）（本小题满分14分）
如图，在正三棱柱 ABC A B C 中，AB＝3， AA  4，M为 AA 的中点，P是BC上一点，且由P沿
1 1 1 1 1
棱柱侧面经过棱CC 到M的最短路线长为 29 ，设这条最短路线与CC 的交点为N，求：
1 1
（I）该三棱柱的侧面展开图的对角线长
（II）PC和NC的长
（III）平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）
第3页 | 共11页A C
1 1
B
1
M
N
A C
P
B
（17）（本小题满分14分）
如图，过抛物线 y2  2px(p  0)上一定点 P（ x ,y ）（ y  0），作两条直线分别交抛物线于 A
0 0 0
（x ,y ），B（x ,y ）
1 1 2 2
p
（I）求该抛物线上纵坐标为 的点到其焦点F的距离
2
y  y
（II）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求 1 2 的值，并证明直线AB的斜率是非零常数
y
0
y
P
O x
A
B
（18）（本小题满分14分）
x 1 1
函数 f (x)是定义在［0，1］上的增函数，满足 f (x)  2f ( )且 f (1) 1，在每个区间( , ]
2 2i 2i1
（i 1，2……）上，y  f (x)的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分。
1 1 1
（I）求 f (0)及 f ( )， f ( )的值，并归纳出 f ( )(i 1,2, )的表达式

2 4 2i
1 1
（II）设直线x  ，x  ，x轴及y  f (x)的图象围成的矩形的面积为a （i 1，2……），
2i 2i1 i
记S(k)  lim(a a  a )，求S(k)的表达式，并写出其定义域和最小值
1 2  n
n
（19）（本小题满分12分）
某段城铁线路上依次有A、B、C三站，AB=5km，BC=3km，在列车运行时刻表上，规定列车8时整
从A站发车，8时07分到达B站并停车1分钟，8时12分到达C站，在实际运行中，假设列车从A站正点
发车，在B站停留1分钟，并在行驶时以同一速度vkm/h匀速行驶，列车从A站到达某站的时间与时刻表
上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差。
（I）分别写出列车在B、C两站的运行误差
（II）若要求列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，求v的取值范围
第4页 | 共11页（20）（本小题满分13分）
给定有限个正数满足条件T：每个数都不大于50且总和L＝1275。现将这些数按下列要求进行分组，
每组数之和不大于150且分组的步骤是：
首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差r 与所有可能的其他选择
1
相比是最小的，r 称为第一组余差；
1
然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为r ；
2
如此继续构成第三组（余差为r ）、第四组（余差为r ）、……，直至第N组（余差为r ）把这些数全部分
3 4 N
完为止。
（I）判断r ,r , ,r 的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数
1 2  N
150n L
（II）当构成第n（n<N）组后，指出余下的每个数与r 的大小关系，并证明r 
n n1 n1
（III）对任何满足条件T的有限个正数，证明：N 11
第5页 | 共11页2004年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题（理工农医类）（北京卷）参考答案
一. 选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分40分。
（1）A （2）C （3）A （4）D
（5）D （6）C （7）B （8）B
二. 填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分30分。
（9） （10）x  0,x 1
1 2
（11）4 3 192
（12）x2 (y1)2 1 1 2  a 1 2
（13）大 -3
5 5 1
（14）3 当n为偶数时，S  n；当n为奇数时，S  n
n 2 n 2 2
三. 解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（15）本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，考查运算能力。满分13分。
解法一：
2
sin AcosA  2cos(A45) 

2
1
cos(A45) 
2
又0  A180
A45  60,A 105
1 3
tgA  tg(45 60)   2 3
1 3
2  6
sin A  sin105  sin(45 60)  sin45 cos60 cos45 sin60 
4
1 1 2  6 3
S  AC ABsin A  23  ( 2  6)
ABC 2 2 4 4
解法二：
2
sin AcosA  （1）

2
1
(sin AcosA)2 
2
1
2sin AcosA  
2
0  A180,sin A 0,cosA 0

第6页 | 共11页3
(sin AcosA)2 12sin AcosA 

2
6
sin AcosA  （2）
2
2  6
（1）+（2）得：sin A 
4
2  6
（1）－（2）得：cosA 
4
sin A 2  6 4
tgA     2 3
cosA 4 2  6
（以下同解法一）
（16）本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力
和运算能力。满分14分。
解：（I）正三棱柱 ABC A B C 的侧面展开图是一个长为 9，宽为 4 的矩形，其对角线长为
1 1 1
92 42  97
（II）如图1，将侧面BB C C绕棱CC 旋转120使其与侧成 AAC C在同一平面上，点P运动到点P
1 1 1 1 1 1
的位置，连接 MP ，则 MP 就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC 到点M的最短路线
1 1 1
A C
1 1
B
1
M
N
A
P
xC x P
1
B
设PC  x，则PC  x，在RtMAP 中，由勾股定理得(3 x)2 22  29
1 1
求得x  2
PC  PC  2
1
NC PC 2
 1 

MA P A 5
1
4
NC 
5
（III）如图2，连结PP ，则PP 就是平面NMP与平面ABC的交线，作NHPP于H，又CC 平面
1 1 1 1
第7页 | 共11页ABC，连结CH，由三垂线定理得，CHPP
1
A C
1 1
B
1
M
N
C
A P H P
1
B
NHC就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角（锐角）
1
在RtPHC中， PCH  PCP  60
 2 1
PC
CH  1
2
4
NC 5 4
在RtNCH 中，tgNHC   
CH 1 5
4
故平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小为arctg
5
（17）本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能
力。满分14分
p p
解：（I）当y  时，x 
2 8
p
又抛物线y2  2px的准线方程为x  
2
p p 5p
由抛物线定义得，所求距离为 ( ) 
8 2 8
y
P
O x
A
B
（2）设直线PA的斜率为k ，直线PB的斜率为k
PA PB
由y 2  2px ，y 2  2px
1 1 0 0
相减得(y  y )(y  y )  2p(x  x )
1 0 1 0 1 0
y  y 2p
故k  1 0  (x  x )
PA x  x y  y 1 0
1 0 1 0
第8页 | 共11页2p
同理可得k  (x  x )
PB y  y 2 0
2 0
由PA，PB倾斜角互补知k  k
PA PB
2p 2p
即  
y  y y  y
1 0 2 0
所以y  y  2y
1 2 0
y  y
故 1 2  2
y
0
设直线AB的斜率为k
AB
由y 2  2px ，y 2  2px
2 2 1 1
相减得(y  y )(y  y )  2p(x  x )
2 1 2 1 2 1
y  y 2p
所以k  2 1  (x  x )
AB x  x y  y 1 2
2 1 1 2
将y  y  2y (y  0)代入得
1 2 0 0
2p p
k    ，所以k 是非零常数
AB y  y y AB
1 2 0
（18）本小题主要考查函数、数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。满分14分。
解：（I）由 f (0)  2f (0)，得 f (0)  0
1 1 1 1
由 f (1)  2f ( )及 f (1) 1，得 f ( )  f (1) 
2 2 2 2
1 1 1 
同理， f ( )  f ( ) 
4 2 2 4
1 1
归纳得 f ( )  (i 1,2, )

2i 2i
1 1
（II）当  x  时
2i 2i1
1 1
f (x)  k(x )
2i1 2i1
1 1 1 1 1 1 1
a  [  k(  )](  )
i 2 2i1 2i1 2i 2i1 2i1 2i
k 
 (1 ) (i 1,2, )

4 22i1
第9页 | 共11页1 k 1
所以{a }是首项为 (1 )，公比为 的等比数列
n 2 4 4
1 k
(1 )
2 4 2 k
所以S(k)  lim(a a  a )   (1 )
n 1 2  n 1 3 4
1
4
1
S(k)的定义域为0 k 1，当k 1时取得最小值
2
（19）本小题主要考查解不等式等基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力。满分12
分。
解：（I）列车在B，C两站的运行误差（单位：分钟）分别是
300 480
| 7|和| 11|
v v
（II）由于列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，所以
300 480
| 7|| 11| 2 （*）
v v
300 300 480
当0 v  时，（*）式变形为 7 11 2
7 v v
300
解得39  v 
7
300 480 300 480
当  v  时，（*）式变形为7  11 2
7 11 v v
300 480
解得  v 
7 11
480 00 480
当v  时，（*）式变形为7 11  2
11 v v
480 195
解得  v 
11 4
195
综上所述，v的取值范围是[39， ]
4
（20）本小题主要考查不等式的证明等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。
满分13分。
150
解：（I）r  r   r 。除第N组外的每组至少含有  3个数
1 2  N 50
（II）当第n组形成后，因为n  N ，所以还有数没分完，这时余下的每个数必大于余差r ，余下数
n
之和也大于第n组的余差r ，即
n
L[(150r )(150r ) (150r )] r
1 2  n n
由此可得r r  r 150n L
1 2  n1
150n L
因为(n1)r  r r  r ，所以r 
n1 1 2  n1 n1 n1
第10页 | 共11页（III）用反证法证明结论，假设N 11，即第11组形成后，还有数没分完，由（I）和（II）可知，
余下的每个数都大于第11组的余差r ，且r  r
11 11 10
150111275
故余下的每个数 r  r   37.5 （*）
11 10 10
因为第11组数中至少含有3个数，所以第11组数之和大于37.53112.5
此时第11组的余差r 150第11组数之和 150112.5 37.5
11
这与（*）式中r  37.5矛盾，所以N 11
11
第11页 | 共11页