文档内容
成都石室中学2023-2024年度下期高2024届高考考前模拟一
数学答案（理）
（总分：150分，时间：120分钟 ）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1. 已知集合 ，若 ，则实数 的所有可能取值的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当 时， ；当 时， .选D
2. 复数 在复平面上对应的点位于虚轴上，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 在复平面上对应的点位于虚轴上，
∴ ，即 .故选：D
3. 已知 ， 为实数，则使得“ ”成立的一个必要不充分条件为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】对于A，如果 ，不能推出 ，如果 ，则必定有 ，既不是充分
条件也不是必要条件，错误；
对于B，如果 ，根据对数函数的单调性可知 ，但不
能推出 ，但是 ，正确，
对于C，因为 等价于 ，是充分必要条件，错误；
对于D，如果 ，则必有 ，是充分不必要条件,故错误.
故选：B.
4. 《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，
是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法，我们用近代术语解释为：把
阳爻“ ”当作数字“1”，把阴爻“ ”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：
卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数
学科网（北京）股份有限公司坤 000 0
艮 001 1
坎 010 2
巽 011 3
依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“ ”，其表示的十进制数是（ ）
A．33 B．34 C．35 D．36
【答案】B
【详解】据条件可得符号为“ ”表示的二进制数为 ，
则其表示的十进制数是 .
故选：B.
5. 函数 的大致图象是（ ）
A B C D
【答案】B
【详解】∵ ，所以 ，故排除C，D，
当 时， 恒成立，排除A，故选：B．
6. 在区间 上随机地取一个数 ，使 恒成立的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设函数 ，可得 ，所以 为递增函数，且 ，
所以，当 时， ；当 时， ，
所以不等式 的解集为 ，
因为 ，所以不等式 的解集为 ，
由长度比的几何概型的概率计算，可得使 恒成立的概率是 .
故选：A.
学科网（北京）股份有限公司7. 设抛物线 的焦点为 ，过抛物线上一点 作其准线的垂线，设垂足为 ，若 ，
则 （ ）
1. A． B． C． D．
【答案】C
【详解】易知 的倾斜角为 ，从而
8. 变量 ， 满足约束条件 ，则目标函数 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】不等式组 表示的平面区域如图所示，
三个交点坐标分别为 ，目标函数 ，
即 ，当目标函数过 时取得最大值为5，过 时取得最小值为 ，
所以目标函数 的取值范围是 ，
故选：B.
9. 我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫做拟柱体的
底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，过高的中点且平行于
底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面.已知拟柱体的体积公式为 ，其中
分别是上､下底面的面积， 是中截面的面积， 为拟柱体的高.一堆形为拟柱体的建筑材料，
其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米，宽10米，堆高1米，上底的长､宽比下底
的长､宽各少2米.现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为5吨的卡车装运，则至少需要运
学科网（北京）股份有限公司（ ）（注：1立方米该建筑材料约重1.5吨）
A．51车 B．52车 C．54车 D．56车
【答案】B
【详解】由条件可知：上底长为18米，宽为8米；中截面长19米，宽9米；则上底面积 ，中截
面积 ，下底面积 ，所以该建筑材料的体积为
(立方米)，所以建筑材料重约 （吨），
需要的卡车次为 ，所以至少需要运52车.
故选：B
10. 设锐角 的三个内角 的对边分别为 ，且 ，则 的取值范围为 (
)
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】在 中，由 及正弦定理得
又 为锐角三角形， ，则
11. 菱形 中 ，现将菱形 沿对角线 折起，当 时，此时三棱锥
的体积为 ，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】不妨设菱形 的边长为 ， 为 中点， 分别为正 的中心，过
分别作面 和面 的垂线交于点 .等腰 中， ，且
，则
学科网（北京）股份有限公司，即 （ 舍）
中，由余弦定理得 ，则在直角 中， ，
，故外接球的表面积为
A
A
O
B D
D
O
1
E
O
2
B
C C
12. 在同一平面直角坐标系中， 分别是函数 和函数
图象上的动点，若对任意 ，则 最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 ，整理得 ，
即 在圆心 ，半径为1的半圆上. ，
当且仅当 时，等号成立，
所以曲线 的一条切线为 ，
数形结合可知，当 分别为对应切点，且 与两切线垂直时 取得最小值，
即 的最小值为圆心到直线 的距离减去半径，
即 的最小值为 .
过圆心 与 垂直的直线方程 ，
学科网（北京）股份有限公司所以，当且仅当 即 时取到最小值.
综上所述， ，
故答案为： .
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13. 在 的展开式中，常数项为
【答案】
【详解】二项式 展开式的通项为 （ 且
），
令 解得 ，故常数项为 .
14. 函数 的图象关于直线 对称，则 ________
【答案】
【详解】 的 且 为对称轴
的中心为 ， ，解得
15. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， 为左支上一点，
的内切圆圆心为 ，直线 与 轴交于点 ，若双曲线的离心率为 ，则
【答案】2
学科网（北京）股份有限公司【详解】
又 中，由余弦定理得 ，
即 ，又
16. 已知数列 满足 ，函数 在 处取得最大值，若 ，
则
【答案】
【详解】因为 ，令 ，则 在 上单减，
且 ，由零点存在定理知，存在唯一的 使得
，即 ①，所以 在 上单增， 上单减
由 ，而 ②
由①②知
所以
从而
三、解答题（本题共6道小题，共70分）
17. 在三棱锥 中， ， ， ，异面直线 与 所成角为
60°，点 分别是线段 的中点.
学科网（北京）股份有限公司（1）求线段 的长度；
（2）求直线 与平面 所成角的余弦值.
【详解】（1）过点 作 ，连接 、 ，将三棱锥 补 P
形到长方体中， 为正三
角形.
A
D
B C
又
又 四边形 为平行四边形.
…………….5分
（2）平面 即为平面 ，
P
以点 为坐标原点， 所在直线为 轴，以过点 且垂直于平面
M
的直线为 轴，建立空间直角坐标系 ，
A
D
，设平面 法向量为
B N C
，
取 ，则解得： ，
直线 与平面 所成角的余弦值为 ……………………………. 12分
18. 《中华人民共和国未成年人保护法》保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益.我校拟
选拔一名学生作为领队，带领我校志愿队上街宣传未成年人保护法.现已从全校选拔出甲乙两人进行比赛，
比赛规则是：准备了5个问题让选手回答，选手答对问题，则自己得1分，该选手继续作答，若答错，则
对方得1分，换另外选手作答，比赛结束时分数多的一方获胜，甲乙能确定胜负时比赛就结束，或5个问
题回答完比赛也结束，已知甲、乙答对每个问题的概率都是 .竞赛前抽签，甲获得第一问题的答题权.
(1)求甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率；
学科网（北京）股份有限公司(2)已知5个问题回答完后乙获胜，设在前三个问题中乙回答问题的个数为 ，求 的分布列和期望．
【详解】（1）解：设“甲回答问题且得分”为事件A，“甲回答问题但对方得分”为事件 ，“乙回答
问题且得分”为事件B，“乙回答问题但对方得分”为事件
记甲同学连续回答了三次问题且获胜为 ，
则 ．……………………. 5分
（2） 所有可能取值为0，1，2.……………………. 6分
已知 5 个问题回答完后乙获胜，则这 5 个问题回答的情况有六种： , , ,
, ,
, , ,
, ,
; ， ……………………. 9分
所以 的分布列为
0 2 3
……………………. 10分
……………………. 12分
19、已知数列 满足 当 时，
（1）求 和 ，并证明当 为偶数时 是等比数列；
（2）求
【详解】（1） ， 。……………………. 2分
学科网（北京）股份有限公司， ，
当 为偶数时， 是以2为首项，以2为公比的等比数列……………………. 5分
（2）由（1）知， ，
设 ，则 为偶数时，
当 为奇数时，
设 为奇数时，
……. 12分
20、已知抛物线 的焦点为 ，过点 作抛物线 的两条切线，切点分别为
, .
（1）求抛物线 的方程；
（2）过点 作两条倾斜角互补的直线 ， 交抛物线 于 两点， 交抛物线 于 两点，连
接 ，设 的斜率分别为 ，求 的值；
（3）设 ，求 的值.
【详解】(1)设切点 ，
以点M为切点的切线方程为
∵切线过点 ∴
同理， ∴ ，
∴ ， ∵
∴ ∴抛物线方程为 …………………. 5分
学科网（北京）股份有限公司（）设 方程为 ，联立 和抛物线方程，得
(2) i
∴ ……………………. 6分
设 ， ， ，
∴ ，同理， ……………………. 7分
∴ ……………………. 8分
……………………. 10分
∴
（ii）
∴
由（2）可得，
同理
∴ ∴点 共圆
……………………. 12分
21、设
（1）当 ，求函数 的零点个数.
（2）函数 ，若对任意 ，恒有 ，求实数 的取值范围
【详解】（1）当 ， ，
当 时， ， ， ， 在 上无零点。
当 时， ， 在 上单增。
， ， ，
学科网（北京）股份有限公司， ， 在 上有一个零点。
当 时， 在 上无零点。
综上所述， 在 上只有一个零点。 ……………………….5分
（2） 时， ，
，设
当 ， 在 递增，在 上递减， ， ，
， ，
当 时， 在 递减，在 递增，在 递减，
只需 ，
，与 矛盾，舍去；
当 时， 在 上递减，只需 ， ，矛盾，舍去； 不满足条件。
当 ， 在 上递减，在 上递增，在 上递减。
， ， 只需 ，
，
又 ，
学科网（北京）股份有限公司满足条件。 综上所述， ….12分
选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22、在直角坐标系xOy中，曲线 的渐近线方程为 ， ，直线 过点
，且倾斜角为 .以点 为极点，以从点 出发与x轴正方向同方向的射线为极轴，建立极
坐标系，点 在曲线 上.
（1）写出曲线 在第二象限的参数方程和直线 的极坐标方程；
（2）曲线 与直线 相交于点 ，线段 的中点为 ，求 的面积.
解：（1）设曲线 的方程为 ，点 的直角坐标为 ，将点 坐标带入
方程， 曲线 的普通方程为
在第二象限的参数方程为 （参数方程答案不唯一）
设直线 上任意一点 的极坐标为 ，连接 ，在 中， ，由正弦定理
直线 极方程为 ……………………. 5分
（2）设直线 的参数方程为 ，（ 为参数），联立 的参数方程和 的普通方程，得
，设 对应的参数为 ， ，
在 中， ……………………. 10分
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23、设 ，
（1）解不等式：
学科网（北京）股份有限公司（2）设 的最大值为 ，已知正数 和 满足 ，令 ，求 的最小
值.
【详解】（1） 是偶函数， 只需分析 时 的值域.
当 ， ， ，舍去
当 ， ，
当 ， ，
不等式的解集为 ……………………. 5分
（2）由（1）可知，当 ， 的值域为 ，当 ， 的值域为
当 ， 的值域为 时， 的值域为
的最大值为2，
①当且仅当 时等号成立
又
②当且仅当 时等号成立
①+ ②得 的最小值为4，当且仅当 时等号成立……………………. 10分
学科网（北京）股份有限公司
