2004年吉林高考文科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_吉林

2004 年吉林高考文科数学真题及答案 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟. 第I卷 参考公式： 球的表面积公式 如果事件A、B互斥，那么 S=4R2 P（A+B）=P（A）+P（B） 其中R表示球的半径， 如果事件A、B相互独立，那么 球的体积公式 P（A·B）=P（A）·P（B） 4 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 V= R3， 3 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 P(k)=CkPk(1－P)n－k 其中R表示球的半径 n n 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．已知集合M {x| x2  4|,N {x| x2 2x30}，则集合M N= （ ） A．{x| x  2} B．{x| x 3} C．{x|1 x  2} D． {x|2 x 3} 1 2．函数y  (x  5)的反函数是 （ ） x5 1 A．y  5(x  0) B．y  x5(xR) x 1 C．y  5(x  0) D．y  x5(xR) x 3．曲线y  x3 3x2 1在点（1，－1）处的切线方程为 （ ） A．y 3x4 B．y  3x2 C．y  4x3 D．y  4x5 4．已知圆C与圆(x1)2  y2 1关于直线y  x对称，则圆C的方程为 （ ） A．(x1)2  y2 1 B．x2  y2 1 C．x2 (y1)2 1 D．x2 (y1)2 1  5．已知函数y  tan(2x)的图象过点( ,0)，则可以是 （ ） 12     A． B． C． D． 6 6 12 12 6．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为 （ ） A．75° B．60° C．45° D．30° 7．函数y  ex的图象 （ ） A．与y ex的图象 关于y轴对称 B．与y ex的图象关于坐标原点对称 第1页 | 共8页C．与y ex的图象关于y轴对称 D．与y ex的图象关于坐标原点对称 8．已知点A（1，2）、B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是 （ ） A．4x2y 5 B．4x2y 5 C．x2y 5 D．x2y 5 9．已知向量a、b满足：|a|=1，|b|=2，|a－b|=2，则|a+b|= （ ） A．1 B． 2 C． 5 D． 6  10．已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为 ，则 2 球心O到平面ABC的距离为 （ ） 1 3 2 6 A． B． C． D． 3 3 3 3 11．函数y sin4 xcos2 x的最小正周期为 （ ）   A． B． C． D．2 4 2 12．在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521 的数共有 （ ） A．56个 B．57个 C．58个 D．60个 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．已知a为实数，(xa)10展开式中x7的系数是－15，则a  . 14．设x,y满足约束条件： x 0,  x  y,  2x y 1,  则z 3x2y的最大值是 . 15．设中心的原点的椭圆与双曲线2x2 2y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方 程是 . 16．下面是关于四棱柱的四个命题： ①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 第2页 | 共8页③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱 ④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱 其中，真命题的编号是 （写出所有正确结论的编号）. 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） 已知等差数列{a }，a 9,a  21. n 2 5 （Ⅰ）求{a }的通项公式； n （Ⅱ）令b  2a n ，求数列{b }的前n项和S. n n n 18．（本小题满分12分） 3 1 已知锐角三角形ABC中，sin(AB)  ,sin(AB)  . 5 5 （Ⅰ）求证tanA 2tanB； （Ⅱ）设AB=3，求AB边上的高. 19．（本小题满分12分） 已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支. 求：（Ⅰ）A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率； （Ⅱ）A组中至少有两支弱队的概率. 20．（本小题满分12分） 如图，直三棱柱ABC—ABC 中，∠ACB=90°，AC=1， 1 1 1 CB= 2 ，侧棱AA=1，侧面AABB的两条对角线交点为D， 1 1 1 BC 的中点为M. 1 1 第3页 | 共8页（Ⅰ）求证CD⊥平面BDM； （Ⅱ）求面BBD与面CBD所成二面角的大小. 1 21．（本小题满分12分） 1 1 若函数 f(x)  x3  ax2 (a1)x1在区间（1，4）内为减函数，在区间 3 2 （6，+∞）上为增函数，试求实数a的取值范围. 22．（本小题满分14分） 给定抛物线C：y2  4x,F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点. （Ⅰ）设l的斜率为1，求OA与OB夹角的大小； （Ⅱ）设FB AF,若[4,9]，求l在y轴上截距的变化范围. 参考答案 一、选择题 1 C 2 A 3 B 4 C 5 A 6 C 7 D 8 B 9 D 10 B 11 B 12 C 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 第4页 | 共8页1 x2 13． 14．5 15．  y2 1 16．②④ 2 2 三、解答题 17．本小题主要考查等差、等比数列的概念和性质，考查运算能力，满分12分. 解：（Ⅰ）设数列{a }的公差为d，依题意得方程组 n a d 9,  1 解得a 5,d  4. a 4d  21, 1  1 所以{a }的通项公式为a  4n1. n n （Ⅱ）由a  4n1得b  24n1,所以{b }是首项b  25，公式q  24的等比数列. n n n 1 25 (24n 1) 32(24n 1) 于是得{b }的前n项和 S   . n n 24 1 15 18．本小题主要考查三角函数概念，两角和、差的三角函数值以及应用、分析和计算能力， 满分12分. 3 1 （Ⅰ）证明： sin(AB)  ,sin(AB)  ,  5 5  3  2 sin AcosBcosAsinB  , sin AcosB  ,    5  5 tanA      2. 1 1 tanB   sin AcosBcosAsinB  . cosAsinB     5  5 所以tanA 2tanB.  3 3 （Ⅱ）解：  AB ，sin(AB)  , tan(AB)   ,  2 5 4 tanAtanB 3 即   ，将tanA 2tanB代入上式并整理得 1tanAtanB 4 2tan2 B4tanB10. 2 6 2 6 解得tanB  ，舍去负值得tanB  ， 2 2 tanA 2tanB  2 6. 设AB边上的高为CD. CD CD 2CD 则AB=AD+DB=   . tanA tanB 2 6 由AB=3，得CD=2+ 6 . 所以AB边上的高等于2+ 6 . 19．本小题主要考查组合、概率等基本概念，相互独立事件和互斥事件等概率的计算，运用 第5页 | 共8页数学知识解决问题的能力，满分12分. C1 C3 1 （Ⅰ）解法一：三支弱队在同一组的概率为 5  5  . C4 C4 7 8 8 1 6 故有一组恰有两支弱队的概率为1  . 7 7 C2C2 C2C2 6 解法二：有一组恰有两支弱队的概率 3 5  3 5  . C4 C4 7 8 8 C2C2 C3C1 1 （Ⅱ）解法一：A组中至少有两支弱队的概率 3 5  3 5  C4 C4 2 8 8 解法二：A、B两组有一组至少有两支弱队的概率为1，由于对A组和B组来说，至少有两支弱队的 1 概率是相同的，所以A组中至少有两支弱队的概率为 . 2 20．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力. 满分12分. 解法一：（Ⅰ）如图，连结CA、AC、CM，则CA= 2. 1 1 1 ∵CB=CA= 2 ，∴△CBA 为等腰三角形， 1 1 又知D为其底边AB的中点， 1 ∴CD⊥AB. ∵AC=1，CB= 2 ，∴AB= 3 1 1 1 1 1 1 1 又BB=1，AB=2. ∵△ACB为直角三角形，D为AB的 中点， 1 1 1 1 1 1 2 ∴CD= AB=1，CD=CC，又DM= AC= ，DM=CM. 1 1 1 1 2 2 2 ∴△CDM≌△CCM，∠CDM=∠CCM=90°，即CD⊥DM. 1 1 因为AB、DM为在平面BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM. 1 （Ⅱ）设 F、G 分别为 BC、BD 的中点，连结 BG、FG、BF，则 1 1 1 FG//CD，FG= CD. 2 1 ∴FG= ，FG⊥BD. 2 1 由侧面矩形BBAA的对角线的交点为D知BD=BD= AB=1， 1 1 1 1 2 所以△BBD是边长为1的正三角形. 1 3 于是BG⊥BD，BG= . ∴∠BGF是所求二面角的平面角， 1 1 1 2 2 3 又 BF2=BB2+BF2=1+（ )2= ， 1 1 2 2 第6页 | 共8页3 1 3 ( )2 ( )2  BG2 FG2 B F2 2 2 2 3 ∴ cosBGF  1 1    . 1 2BCFG 3 1 3 1 2  2 2 3 即所求二面角的大小为arccos . 3 解法二：如图，以C为原点建立坐标系. （Ⅰ）B（ 2 ，0，0），B（ 2 ，1，0），A（0，1，1）， 1 1 2 1 1 D（ , , ) ，M（ 2，1，0）， 2 2 2 2 2 1 1 CD ( , , ),A B ( 2,1,1), 2 2 2 1 1 1 DM (0, , ), 2 2 则CDA B 0,CDDM 0, ∴CD⊥AB，CD⊥DM. 1 1 因为AB、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM. 1 （Ⅱ）设BD中点为G，连结BG，则 1 3 2 1 1 2 1 1 2 3 1 G（ , , ），BD ( 、 、 ），BG ( , , ), 4 4 4 2 2 2 1 4 4 4 BDBG 0, BD  BG. 又CD  BD, 1 1 BD与BG的夹角等于所求的二面角的平面角. 1 CDBG 3 cos 1   . |CD|| BG| 3 1 3 所以所求的二面角等于arccos . 3 21．本小题主要考查导数的概念的计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运 用数学知识解决问题的能力.满分12分. 解：函数 f(x)的导数 f (x)  x2 axa1. 令 f (x) 0，解得 x1或xa1. 当a11即a2时,函数f(x)在(1,)上是增函数,不合题意 当a11即a2时,函数f(x)在(,1)上为增函数,在(1,a1)内为减函数,在(a1,) 为增函数. 依题意应有 当x(1,4)时, f (x)0,当x(6,)时, f (x) 0. 第7页 | 共8页所以 4 a16. 解得5 a 7. 所以a的取值范围是[5，7]. 22．本小题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力。 满分14分。 解：（Ⅰ）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，所以l的方程为y  x1. 将y  x1代入方程y2 4x，并整理得 x2 6x10. 设A(x ,y ),B(x ,y ),则有 x  x 6,x x 1. 1 1 2 2 1 2 1 2 OAOB (x ,y )(x ,y )  x x  y y  2x x (x  x )1 3. 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 |OA||OB| x2  y2  x2  y2  x x [x x 4(x  x )16]  41. 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 OAOB 3 14 cos(OA,OB)    . |OA||OB| 41 3 14 所以OA与OB夹角的大小为arccos . 41 （Ⅱ）由题设FB AF 得 (x 1,y ) (1x ,y ), 2 2 1 1 x 1(1x ), ① 即 2 1 y  y  2 1. ② 由②得y2 2y2， ∵ y2  4x ,y2  4x , ∴x 2x .③ 2 1 1 1 2 2 2 1 联立①、③解得x ，依题意有0. 2 ∴B(,2 ),或B(,2 ),又F（1，0），得直线l方程为 (1)y  2 (x1)或(1)y  2 (x1), 2  2  当[4,9]时，l在方程y轴上的截距为 或 , 1 1 2  2  2 2  由   , 可知 在[4，9]上是递减的， 1 1 1 1 3 2  4 4 2  3 ∴   ,     , 4 1 3 3 1 4 4 3 3 4 直线l在y轴上截距的变化范围为[ , ][ , ]. 3 4 4 3 第8页 | 共8页