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2025-2026学年高二上学期期中考试
数学试题
一、单选题
1．已知直线 经过点 ，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线 ，则直线 在 轴上的截距为（ ）
A．4 B． C．6 D．
3．若直线 与直线 垂直，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
4．圆心坐标为 ，且与 轴相切的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知椭圆 的左右焦点分别为 ，点 为坐标原点，点 为椭圆 上一点，点
为 中点，若 的周长为6，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知双曲线 的两条渐近线相互垂直，则 （ ）
A． B． C．4 D．2
7．抛物线方程为 ，则此抛物线的准线为（ ）
A． B． C． D．8．若关于 的方程 有且仅有两个不同的实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知点 到直线 的距离为3，则实数 等于（ ）
A．0 B． C．3 D．2
10．已知曲线 ，则下列正确的有（ ）
A．若 ，则曲线 的离心率为
B．若 ，则 是椭圆，其焦点在 轴上
C．若 ，则 为双曲线，其渐近线方程为
D．若 ，则 是圆，其半径为
11．已知圆 ，直线 ，则（ ）
A．直线 恒过定点
B．当 时，圆 上恰有三个点到直线 的距离等于1
C．直线 被圆 截得的最小弦长为
D．若圆 与圆 恰有三条公切线，则
三、填空题
12．顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线 上的抛物线的标准方程为 .13．已知 ，动点 满足 ，则动点 的轨迹 的方程为 .
14．若点 、 为椭圆的长轴顶点，过椭圆上任一不同于 、 的点 作 的垂线，垂足为点 ，若
，则该椭圆的离心率为 .
四、解答题
15．已知直线 经过 、 两点．
(1)求直线 的方程；
(2)设直线 ，若 ，求实数 的值．
16．已知圆M过点
(1)求圆M的方程；
(2)过点 的直线 与圆M相交于D､E两点，且 ，求直线 的方程.
17．已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为 .
(1)求C的方程；
(2)若直线 与C交于 两点，O为坐标原点， 的面积为 ，求t的值.
18．若抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合.
(1)求抛物线 的方程；
(2)已知点 ，在曲线 上是否存在一点 ，使点 到点 的距离与点 到 轴的距离之和取得最小
值？若存在点 ，求出点 的坐标以及 的最小值.19．如图，设双曲线 的左顶点为点 ，直线 与双曲线 相交于A、B两点，且
A、B两点均异于点 .
(1)求点 的坐标，及双曲线 的离心率；
(2)若线段AB的中点为 ，求直线 的方程；
(3)若以线段AB为直径的圆恒过点 ，试判断直线 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定
点，请说明理由.1．D
借助斜率公式计算即可可得.
【详解】直线 的斜率为 .
故选：D.
2．D
根据题意，令 ，求得 ，即可得到直线 在 轴上的截距，得到答案.
【详解】由直线 的方程为 ，令 ，可得 ，解得 ，
所以直线 在 轴上的截距为 .
故选：D.
3．C
利用两条直线互相垂直列式求解.
【详解】由直线 与直线 垂直，得 ，所以 .
故选：C.
4．D
先根据已知条件得出圆心到 轴的距离等于半径，再利用圆心坐标和半径得出圆的方程，最后对比判断选
项即可．
【详解】 圆心坐标为 ，且圆与 轴相切，
圆的半径等于圆心到 轴的距离 ，
圆的方程为： ，故D正确．
故选：D．
5．B
由中位线性质得出焦点 的周长，从而求得半焦距，再由离心率的定义式计算可得．
【详解】因为 为 的中点，而 是 中点，所以 ，所以 的周长是 周长的一半，
又 的周长为6，所以 周长是12，
即 ，得 ，
又 ，所以 ， ．
故选：B．
6．B
由题可得双曲线渐近线方程为 ，再由直线斜率为-1可得答案.
【详解】双曲线 的渐近线方程为 ，因为 的两条渐近线相互垂直，
所以 . ，又 ，则 .
故选：B.
7．D
先化为标准抛物线形式，再由准线方程可得.
【详解】 抛物线方程为 ，则 ，可得 ， 抛物线的准线为 .
故选：D．
8．A
由题意可得方程 有且仅有两个不同的实数根，将方程根的情况转化为一个半圆与一
条直线交点的情况，再用数形结合，先求出相切时的斜率，再得到有两个交点的情况.
【详解】关于 的方程 有且仅有两个不同的实数根，
所以 ，即方程 有且仅有两个不同的实数根，
将方程 转化为：半圆 与直线 有两个不同交点，当直线与半圆相切时，有 ，解得 ，
所以半圆 与直线 有两个不同交点时.
直线 一定过 ，
由图象知直线过 时直线的斜率 取最大值为1，
.
故选：A
9．AB
根据点到直线的距离公式计算即可.
【详解】依题意 ，即 ,解得 或 .
故选：AB.
10．ACD
根据圆、椭圆、双曲线的标准方程和几何性质即可逐项判断.
【详解】对于选项A：若 ，则C为双曲线， ，故A正确；
对于选项B：若 ，则 是椭圆，其焦点在x轴上，故B错误；
对于选项C：若 ，则 为双曲线，其渐近线方程为 ，即 ，故C正确；
对于选项D：若 ，则 是圆 ,半径为 ，故D正确.故选：ACD.
11．ACD
将直线方程变形，求出直线经过的定点，可判断A；利用点到直线的距离公式进行计算，可判断B；根据
过定点的直线与圆相交时最小弦长计算方法计算可判断C；利用圆心距与两圆半径之间的关系计算可判断
D.
【详解】对于A，直线 的方程为 ，
变形可得： ，
令 ，解得 ，所以直线恒过定点 ，故A正确；
对于B，圆 ，其圆心为 ，半径为 ，
当 时，直线 的方程为 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
由于 ，所以圆上只有2个点到直线的距离为1，故B错误；
对于C，因为直线过定点 ，且点 在圆 内，
则经过 ， 两点的直线与直线 垂直时，直线 被圆 截得的弦长最小，
此时圆心 到直线 的距离为 ，
所以最小弦长为 ，故C正确；
对于D，圆的方程 ，即 ，
其圆心为 ，半径为 ，需满足 ，
若圆 与圆 恰有三条公切线，则两圆外切，则有 ，解得 ，故D正确.
故选：ACD.
12． 或
由直线方程求得与坐标轴的交点，根据已知焦点求得抛物线的标准方程，可得答案.
【详解】令 得 ，令 得 ，所以抛物线的焦点为 或 .
当焦点为 时，抛物线方程为 ；焦点为 时，抛物线方程为 .
故答案为： 或 .
13．
设动点 ，根据两点间距离公式，列方程即可求解.
【详解】设动点 ，则 ，
即 ，整理得 ，
故动点 的轨迹 的方程为 .
故答案为： .
14． /
不妨假设椭圆的焦点在 轴上，设椭圆的标准方程为 ，设点 ，其中
，且有 ，利用已知条件得出 的值，再利用 可求得该椭圆离心率的
值.
【详解】不妨假设椭圆的焦点在 轴上，设椭圆的标准方程为 ，设 ，设点 ，其中 ，则 ， ， ，
由题意可得 ，所以 ，
所以 ，
因此该椭圆的离心率为 .
故答案为： .
15．(1)
(2) ．
（1）求出直线 的斜率，利用点斜式求出直线方程；
（2）根据直线垂直满足的关系式得到方程，求出实数 的值.
【详解】（1） 直线 经过 、 两点，
，
直线 ，即： ．
（2）由 ，直线 ， ，得 ，解得 ，
即实数 的值为 ．
16．(1)
(2) 或
（1）利用待定系数法求圆的方程；
（2）由已知求出圆心到直线的距离，分斜率存在和不存在讨论，再利用点到直线的距离公式，即可求出
直线的斜率，进而得到直线的方程.
【详解】（1）设圆 ，
则 ，解得 ，满足 ，
所以圆 的方程为 ，即 .
（2）由（1）知， ，半径 ，
设圆心 到直线 的距离为 ，则 ，即 ，解得 ，
当直线 的斜率不存在时， 为 ，符合题意；
当直线 的斜率存在时，设 ，故 ，解得 ，
此时直线 的方程为 ，
综上，直线 的方程为 或 .
17．(1)
(2) 或（1）根据题意可得 ，进而解出 即可求解；
（2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式及点到直线的距离公式表示出 的面积，建立方程即可求解.
【详解】（1）由题意，得 ，解得 ，
则椭圆C的方程为 .
（2）设 ，
联立 ，得 ，
则 ，解得 ，
且 ，
所以 ，
点 到直线 的距离为 ，则 ，解得 或 ，满足 ，
则 或 .
18．(1)
(2)存在， ， 的最小值为13
【详解】（1）由题意知，椭圆 的右焦点为 ，则 ， ，
所以抛物线 的方程为 .
（2）存在一点 ，使点 到点 的距离与点 到 轴的距离之和取得最小值，理由如下：
如图所示，根据抛物线的定义得 ，
所以当 三点共线时，点 到点 的距离与点 到 轴的距离之和取得最小值，
此时点 为直线 与抛物线的交点 ，又直线 的方程为 ，
联立 ，解得 或 （舍去），则点 ，
此时 最小，且最小值为 ，因此在曲线 上存在一点 ，使点 到点 的距离与点 到 轴的距离之和取得最小值，
且 的最小值为13.
19．(1) ，
(2)
(3)过定点，定点坐标为 ．
【详解】（1）由题可得： ，
所以双曲线C的左顶点为 ，双曲线的离心率为：
（2）由 消去 整理得， ，
则 ，且 ，
设 ，则 ，
由 为 的中点，可得 ，
解得 ，满足 ，
所以直线l的方程为 ，即 .
（3）由（2）知， ．且 ，
则，
因以 为直径的圆恒过点P，则有 ，
即 ，解得 或 ，
当 时，直线 过 ，不符合题意；
当 时，直线 过定点 ，
所以直线l过定点，该定点坐标为 .
