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阿克苏市实验中学 2023—2024 学年第一学期高三年级第一次月考考试
数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的)
1. 已知集合 ，则集合 的子集个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】先化简集合A，再求得其子集即可
【详解】由已知可得 ，其子集为 ，子集个数为4个
故选：C.
2. “ ”是“ ”的（ ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
【答案】B
【解析】
的
【分析】根据充分性和必要性 概念直接求解即可.
【详解】因为 ， ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故选：B
3. 不等式 的解集为（ ）
A. B.
C. ，或 D. ，或
【答案】B
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】对于二次项系数是负数的一元二次不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解.
【详解】不等式可化为 ，解得 .
故选：B.
4. 若 ， ， ，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由指数和对数函数的性质，利用中间值确定a，b，c的范围，即可求解．
【详解】指数函数 在R上为减函数，则 ，即 ，
对数函数 在 上为增函数，则 ，
对数函数 在 上为增函数，则 ．因此 .
故选：B．
5. 已知正数 满足 ，则 的最小值是（ ）
A. 17 B. 16 C. 15 D. 14
【答案】A
【解析】
【分析】先配凑 ，然后运用基本不等式求出最小值
【详解】 ，
当且仅当 ，即 ， 时， 取得最小值 .
故选： .
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学科网（北京）股份有限公司6. 函数f（x）＝ ·2x的图象大致形状是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数的单调性、值域排除选项可得到结果．
【详解】由函数 ，
可得函数在 上单调递增，且此时函数值大于1；
在 上单调递减，且此时函数值大于－1且小于零，
结合所给的选项，只有B项满足条件，
故选：B．
7. 草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素，能够调节免疫功能，增强机体免疫力．草莓味甘、性凉，有
润肺生津，健脾养胃等功效，受到众人的喜爱．根据草莓单果的重量，可将其从小到大依次分为4个等级，
其等级x 与其对应等级的市场销售单价y（单位：元/千克）近似满足函数关系式 ，
若花同样的钱买到的1级草莓比4级草莓多1倍，且1级草莓的市场销售单价为20元/千克，则3级草莓的
市场销售单价最接近（参考数据： ， ）（ ）
A. 30.24元/千克 B. 31.75元/千克
C. 38.16元/千克 D. 42.64元/千克
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由指数的运算性质，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可知， ，解得 ，由 ，
可得 ，
故选：B．
8. 已知 ，若 ，则 所在区间为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用零点存在性定理求解即可.
【详解】由已知得函数 连续且单调递增，
因为 ， ，
所以 ，
由零点存在性定理可知存在 使得 ，
故选： .
二、选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9. 已知集合 ，则下列式子表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】ACD
【解析】
【分析】先求得集合 ，然后根据元素与集合的关系，集合与集合的关系求得正确答案.
【详解】由题意可知， ，所以 ， ， .，ACD选项正确.
是
B选项， 集合，不是元素，所以不能用“ ”，B选项错误.
故选：ACD
10. 若幂函数 的图像经过点 ，则下列命题中，正确的有（ ）
A. 函数 为奇函数 B. 函数 为偶函数
C. 函数 在 为减函数 D. 函数 在 为增函数
【答案】AC
【解析】
【分析】先根据幂函数图像经过点 ，求出函数解析式，然后利用幂函数的基本性质即可求解.
【详解】因为 是幂函数，所以设 ，
又 的图像经过点 ，所以 ，所以 ，即 ，
所以函数 为奇函数，且在 为减函数，故AC正确，BD错误；
故选：AC.
11. 已知函数 ，则下列结论中正确的是（ ）
A. 函数 有且仅有一个零点0 B.
C. 在 上单调递增 D. 在 上单调递减
【答案】BC
【解析】
【分析】根据分段函数解析式，结合对数函数性质判断单调性和零点．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由函数 ，可得 有两个零点0、1，故A错误；
由于 ，故B正确；
当 时 ，所以 在 上单调递增，故C正确；
当 时 ，所以 在 上单调递减， 上单调递增，故D错误．
故选：BC．
12. 函数 的定义域为 ，其图象如图所示.函数 是定义域为 的偶函数，满足 ，
且当 时， .则下列结论正确的是（ ）
A. ；
B. 不等式 的解集为 ；
C. 函数 的单调递增区间为 ， ；
D. 对于 .
【答案】AC
【解析】
【分析】由 可知 是周期为2的周期函数，又当 时， ，由此
作出函数 大致图象，利用数形结合依次判断可得答案.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】 满足 ，可知函数 是周期为2的周期函数，
又函数 是R上的偶函数，所以 ，
且当 时， ，作出 大致图象如图所示，
由图可知 ，故A正确；
不等式 的解集为 ，故B错误；
函数 的单调递增区间为 ， ，故C正确；
若对于 ，则 是 的对称轴，由图象可知 不是 的对称轴，故
D错误.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：在做题时，利用函数的性质作出函数的图象是解题的关键.
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13. 函数 ，则 定义域是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据解析式列出不等式组求解即可.
【详解】由 可得，
，解得 ，
所以函数的定义域为 .
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
14. 函数 的零点个数为_________.
【答案】
【解析】
【分析】将问题转化为函数 与 的交点个数，作出函数图象即可得到结果.
【详解】函数 的零点个数等价于方程 的解得个数，
即函数 与 的交点个数，
作出函数 与 的图象如下图所示，
由图象可知：函数 与 有且仅有两个不同交点，
函数 的零点个数为 .
故答案为： .
15. 已知函数 ，若 ，则 ________.
【答案】2
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】得出 即可
【详解】因为
所以
即 ，因为 ，所以
故答案为：2
【点睛】若 是奇函数，则 的图象关于 对称，满足 .
16. 已知函数 ，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】根据解析式可推导得到 ，进而求得结果.
【详解】 ， .
故答案为： .
四、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. 已知函数 ,且 .
（1）求 的值;
的
（2）判定 奇偶性.
【答案】（1）1 （2）奇函数
【解析】
【分析】(1)根据 ,待定系数即可求得参数值;
(2)根据函数奇偶性的定义,结合函数定义域,即可容易判断.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司,
.
【小问2详解】
由(1)得: ,
则 定义域为 ,
,
为定义在 上的奇函数.
18. 已知奇函数
（1）求 的值；
（2）若函数 在区间 上单调递增，试确定a的取值范围.
【答案】（1）0； （2） .
【解析】
【分析】（1）先根据函数的奇偶性确定 的值，再求函数值即可；
（2）先画出函数的图像，结合图像找到函数的单调递增区间，依题意得到 的范围，解不等式即得.
【小问1详解】
当 时， ，因为 是奇函数，
所以 ，
所以 .故 .
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司依题意作出函数 图像如图，
的
因函数 在区间 上单调递增，故 ，
则有 ，解得 或 .
即实数a的取值范围为 .
19. 已知函数 且 ，且 的图象过点 .
（1）求 的解析式；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)由 ，求得 ，从而可得答案；
（2）根据 在R上单调递增，可得 ，进而可得答案.
【小问1详解】
的图象过点 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司又
【小问2详解】
在R上单调递增
.
20. 已知函数 .
（1）求函数 恒过哪一个定点，写出该点坐标；
（2）令函数 ，当 时，证明：函数 在区间 上有零点.
【答案】（1）恒过定点 ，坐标
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，可得函数 的解析式，再由对数函数过定点，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由条件可得函数 的解析式，再由零点存在定理判断即可.
【小问1详解】
由题意知函数 ，故 ，
令 ，
即函数 恒过定点 ，该点坐标为 ；
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司证明：由题意 ，
当 时， ，
即 ，
则 ，又 ，
故函数 在区间 上有零点.
21. 定义在 上的偶函数 ，当 时， .
（1）求函数 在 上的表达式，并在图中的直角坐标系中画出函数 的大致图象；
（2）若 有四个零点，求实数m的取值范围.
【答案】（1） ，图象见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）令 ，则 ，代入已知函数解析式，结合函数的奇偶性即可得解，再根据二次函数
的图象作出图象即可；
（2）即函数两个函数的图象有四个交点，根据函数图象即可得解.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司因为定义在 上的偶函数 ，当 时， ，
则 ，
令 ，则 ，
则 ，
所以 ，
作出函数图象，如图所示：
【小问2详解】
令 ，则 ，
若 有四个零点，
则函数 两个函数的图象有四个交点，
由图可知 .
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学科网（北京）股份有限公司22. 已知二次函数 ，且不等式 的解集为 .
（1）求 解析式；
（2）若不等式 在 上有解，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集结合韦达定理求得 ，即得答案.
（2）不等式 在 上有解，即 在 上的最大值，采用换
元法结合基本不等式求得 的最大值，即得答案.
【小问1详解】
由题意知 的解集为 ，
故方程 的两个根是1和3，
故 ，即 ，
故 .
【小问2详解】
由题意 在 上有解，即 在 上有解，
∵ ，∴ 在 上的最大值，
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学科网（北京）股份有限公司设 ，则 ，则
又 ，当且仅当 即 时，等号成立，
∴ ，即实数 的取值范围为 .
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学科网（北京）股份有限公司
