文档内容
高二数学试卷
一、单选题（每小题5分，计40分）
1．已知函数 在 上可导，若 ，则 （ ）
A．9 B．12 C．6 D．3
2．已知抛物线 的焦点为F,若抛物线上的点 与点F间的距离为3,则
( )
A. B. C. 或 D.4或
3．已知数列 满足 ，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， 为 的右支上一点，
，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知实数 满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．设数列 的前 项和为 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是等比数列 B． 成等差数列，公差为
C．当且仅当 时， 取得最大值 D． 时， 的最大值为33
7．当 时，设函数 存在导数 ，且满足 ，若 ，则
（ ）A． B． C．0 D．
8．已知数列 的首项为1，且 ，设数列 中不在数
列 中的项按从小到大的顺序排列构成数列 ，则数列 的前100项和为（ ）
A．11449 B．11202 C．11209 D． 11195
二、多选题（每小题6分，计18分）
9．某工厂生产的200个零件中，有198件合格品，2件不合格品，从这200个零件中任
意抽出3件，则抽出的3个零件中（ ）
A．至多有1件不合格品的抽法种数为
B．都是合格品的抽法种数为
C．至少有1件不合格品的抽法种数为
D．至少有1件不合格品的抽法种数为
10．已知在首项为1，公差为d的等差数列 中， 、 、 是等比数列 的前三项，
数列 的前n项和为 ，则（ ）
A． 或 B． C． 是等差数列 D．
11．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等
可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（ ）
A．2次传球后球在丙手上的概率是
B．3次传球后球在乙手上的概率是
C．3次传球后球在甲手上的概率是
D．n次传球后球在甲手上的概率是三、填空题（每小题5份，计15分）
12．已知 的二项展开式中各项系数和为 ，则展开式中常数项的值为 .
13已知直线l分别与曲线 , 相切于点 , ,则 的值
为 .
14．如图，经过边长为1的正方体的三个项点的平面截正方体得到一个正三角形，将这
个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七面体内部能容纳的最大的球半径是
．
四、解答题（共5小题，计77分）
15．中国在第75届联合国大会上承诺，努力争取 2060年之前实现碳中和(简称“双碳目
标”)．新能源电动汽车作为战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．赛
力斯汽车有限公司为了调查客户对旗下 AITO问界M7的满意程度，对所有的意向客户发
起了满意度问卷调查，将打分在 80分以上的客户称为“问界粉”．现将参与调查的客户
打分(满分100分)进行了统计，得到如下的频率分布直方图：
(1)估计本次调查客户打分的中位数(结果保留一位小数)；
(2)按是否为“问界粉”比例采用分层抽样的方法抽取10名客户前往重庆赛力斯两江智
慧工厂参观，在10名参观的客户中随机抽取2名客户赠送价值2万元的购车抵用券．记
获赠购车券的“问界粉”人数为 ，求 的分布列和数学期望 ．
16．已知数列 满足 ， ．
(1)证明：数列 为等差数列，并求通项 ；(2)求数列 的前n项和 ．
17．如图 平面ABC， ，F是线段BC上的动点，E是MC的中点，已知
(1)证明：平面 平面
(2)若 ， ，N在线段MB上.
（i）求点C到平面AEB的距离;
（ii）是否存在点N，使得平面NAC与平面AEB夹角的余弦值为 若存在，求 的值;若
不存在，请说明理由.
18．如图，圆E的圆心为 ，半径为4， 是圆E内一个定点，M是圆E上任意
一点.线段FM的垂直平分线L和半径EM相交于点N，当点M在圆上运动时，记动点N的轨
迹为曲线
(1)求曲线C的方程;
(2)设曲线C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为曲线C上异于A，B的动点，设PB交
直线 于点T，连结AT交曲线C于点 直线AP、AQ的斜率分别为 、
（i）求证： 为定值;
（ii）证明直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标.19．对于函数 ，我们无法直接求出它的零点，数学家牛顿用设切线的方法
解决了这个问题.设函数的零点为 ，如果可以找到一步步逼近 的 ， ， ，…， ，使
得当 时， ，则可把 看做函数 的近似解，这个方法被称为“牛顿法”.
具体步骤为：选取合适的 ，在横坐标为 的点作 的切线，切线与 轴的交点的横坐标
即 ，再用 代替 ，重复上面的过程得到 ，如此循环计算出 .我们知道 在
处的切线的斜率为 ，由此写出切线方程 ，因为
，所以令 得切线与 轴交点的横坐标 ，同理得
， ，以此类推，可以得到 .
(1)对于函数 ，当 时，求 ， 的值；
(2)已知函数 的定义域R.
（i）对于函数 ，若 为公差不为零的等差数列，求证： 无零点；
（ii）当 时，运用“牛顿法”证明：高二数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A B D D D B CD AC
题号 11
答案 ACD
1．B【详解】由导数定义可知：
，
故 .故选：B.
2．C解析：抛物线 开口向左,依题意,抛物线上的点 与点F间的距离
为3,所以 , ,抛物线方程为 ,令 ,得 ,解得 ,故选：C.
3．【详解】由 可得： ，若 ，则
，与题中条件矛盾，故 ，所以 ，也即数列
是以 为首项，以 为公比的等比数列，所以 ，则有
，
也即 ，所以 ，故选： .
4．B【详解】依题意得 ，则 的离心率为
故选：B.
5．D【详解】设 ，将其看作直线 ，由直线 与圆
有公共点，得圆心 到直线的距离小于或等于圆的半径 ，
即 ，解得 ，所以 的最大值为 ，
即 的最大值为 故选：D
6．D【详解】因为 ，所以数列 是以 为公差，32为首项的等差数列，
所以 ，所以 ，所以当 时， ，所以
，
因为 ，所以 ，对于A，因为 ，
所以 是以 为公差的等差数列，所以A错误，对于B，因为 ，所以
，所以 ，
因为 ，所以 成等差数列，公差为 ，所以B错误，对于
C， ，对称轴为 ，因为 ，所以当 或 时， 取得最大值，所以C错误，对于D，由 ，得 ，且 ，所以 的最大值为33，所
以D正确，故选：D
7．D【详解】由 ，即 ，即 ，所以 是
常数，当 时， ，所以 ，当 时， ，得 .故
选：D
8．【答案】B
【详解】数列 的首项为1，且 ，
当 时， ，
，而 满足上式，因此 ，
，而 ，
因此数列 的前100项和为数列 的前107项的和减去数列 的前7项的和，
所以数列 的前100项和为 .故
选：B
9．【答案】CD【详解】对于A：至多有1件不合格品分两种，一种是只有1件不合格
品，一种是没有不合格品，故抽法种数为 ，A错误；
对于B：都是合格品的抽法种数为 ，B错误；
对于C：至少有1件不合格品分两种，一种是只有1件不合格品，一种是有2件不合格
品，故抽法种数为 ，C正确；对于D：至少有1件不合格品的抽法种数为
，D正确.故选CD.10．【答案】AC【详解】由题意 ，则 ，整理得 ，可得 或
，当 时， ， ，则 ，即 是等差数列，此时 ；当 时，
， ，则 ，即 是等差数列，
此时 ，易知公比为4，故 ；综上，A、C对，B、D错.
故选：AC
11．【答案】ACD【详解】第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结果为：甲乙甲，甲
乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共4个结果，它们等可能，2次传球后球在丙手中的事件有：
甲乙丙， 1个结果，所以概率是 ，故A正确；
第一次甲将球传出后，3次传球后的所有结果为:甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙
丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共 8个结果，它们等可能，3次传
球后球在乙手中的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3个结果，所以概率为 ，
故B错误；
3次传球后球在甲手上的事件为：甲乙丙甲，甲丙乙甲，2个结果，所以概率为 ，故
C正确；n次传球后球在甲手上的事件记为 ，则有 ，令 ，则
于是得 ，
故 ，则 ，而第一次由甲传球后，球不可能在甲手中，即
，则有 ，数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以
即 ，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】【详解】 的二项展开式中各项系数和为1024，即 ，
．设 的二项展开式的通项为 ，则 ，
令 ，得 ，故展开式中常数项的值为 ．
故答案为：210．
13．答案：1解析：由 , ,有 , ,
在点 处的切线方程为 ,
在点 处的切线方程为 ,
则有 ,得 ,
所以 ,可得 .
故答案为：1.
14．【答案】
【详解】如图，七面体为正方体 截去三棱锥 的图形，
由正方体的结构特征可得这个七面体内部能容纳的球最大时，
该球与三个正方形面和等边三角形面相切，且球心在体对角线 上，
如图，以点 为原点建立空间直角坐标系，则 ，
设球心 ，故 ，
设平面 的法向量为 ，则有 ，可取 ，则球心 到平面 的距离为 ，因为球 与三个正方形面和
等边三角形面相切，所以 ，解得 ，
所以这个七面体内部能容纳的最大的球半径是 .
故答案为： .
15．【详解】（1）由频率分布直方图可知：打分低于70分的客户所占比例为40％，打
分低于80分的客户的所占比例为70％，所以本次调查客户打分的中位数在[70，80）
内，由 ，所以本次调查客户打分的中位数约为73.3分；
（2）根据按比例的分层抽样：抽取的“问界粉”客户3人，“非问界粉”客户7人，则
的所有可能取值分别为0，1，2，
其中： ， ， ，
所以ξ的分布列为：
0 1 2
P
所以数学期望 ．
16．【详解】（1）因为 ，所以 ，又 ，所以 ，所以数列
是以为1首项，1为公差的等差数列，所以 ，所以 .（2）由（1）可得 ，
所以 ，则 ，
两式相减得 ， ，
所以 .
17．【详解】（1） ，E是MC的中点， ， 平面ABC， 平面
ABC， ，又 ，又 ， 平面MAC， 平面MAC，
平面MAC，又 平面AEF， ，又 ， 平面MBC， 平面
MBC， 平面MBC，又 平面AEF 平面 平面MBC
（2）（i） 以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系：
， ， ， ， ， ，
， 设平面AEB的法向量为 则 ，即
，取 ，可得 ，
所以 ，即点C到平面AEB的距离为 ；
（ii） ， 设 ，则 ，，设平面NAC的法向量为 则 ，即
，
令 。可得 ，
，化简得 ，解得 或 ，
或 .
18．【详解】（1）由题意可知， ，由椭圆定义可得，点
N的轨迹是以E， F为焦点的椭圆，且长轴长 ，焦距 ，
所以 ，因此曲线C方程为
（2）证明： 设 ， ， ，由题可知 ， ，如下图所示，则
， ，而 ，于是 ，
所以 ，又 ，则 ，
因此 为定值；
由题意可知，直线PQ不可能与 轴平行，
设直线PQ的方程为 ， ， ，易知由 ，得 ， ，得 所以
由 可知， ，
即 ，
将 代入化简得 ，解得 或 舍去 ，
所以直线PQ的方程为 ，因此直线PQ经过定点
19．【详解】（1） ，故 ，
；
（2）（i）因为 ，而 为公差不为0的等差数列，所以
为非零常数.设 .可得 .并且 .
所以 .用此类推，得 ，因为 为常数，所以当 时，，即 :当 时， ，即 .
所以 不存在，即 无零点.
（ii） ，所以 .
对于函数 ，即 ，因为 ，所以
，以此类推，得
，
令 ，由等比数列求和公式得
，
因此 .
时， ，即 ，所以 .
