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2004 年陕西高考理科数学真题及答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）设集合 ， ， ， ， ， ，则集
合 中元素的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（5分）函数 的最小正周期是
A． B． C． D．
3．（5分）设数列 是等差数列， ， ， 是数列 的前 项和，则
A． B． C． D．
4．（5分）圆 在点 处的切线方程为
A． B． C． D．
5．（5分）函数 的定义域是
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
6．（5分）设复数 的幅角的主值为 ，虚部为 ，则
A． B． C． D．
7．（5分）设双曲线的焦点在 轴上，两条渐近线为 ，则双曲线的离心率
A．5 B． C． D．
8．（5分）不等式 的解集为
A． B． ， ，
C． D． ， ，
第1页 | 共15页9．（5分）正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为
A． B． C． D．
10．（5分）在 中， ，则边 上的高为
A． B． C． D．
11．（5分）设函数 则使得 的自变量 的取值范围为
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
12．（5分）将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）用平面 截半径为 的球，如果球心到截面的距离为 ，那么截得小圆的面积与球的表面积
的比值为 ．
14．（4分）函数 在区间 的最小值为 ．
15．（4分）已知函数 是奇函数，当 时， ，设 的反函数是 ，则
16．（4分）设 是曲线 上的一个动点，则点 到点 的距离与点 到 轴的距离之和的最
小值是 ．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）已知 为锐角，且 ，求 的值．
18．（12分）解方程 ．
19．（12分）某村计划建造一个室内面积为 的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙
各保留 宽的通道，沿前侧内墙保留 宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最
第2页 | 共15页大？最大种植面积是多少？
20．（12分）三棱锥 中，侧面 与底面 垂直， ．
（1）求证 ；
（2）如果 ，求 与侧面 所成角的大小．
21．（12分）设椭圆 的两个焦点是 ， ， ，且椭圆上存在点 ，使得直
线 与直线 垂直．
求实数 的取值范围．
设 是相应于焦点 的准线，直线 与 相交于点 ．若 ，求直线 的方程．
22．（14分）已知数列 的前 项和 满足： ， ．
（1）写出求数列 的前3项 ， ， ；
（2）求数列 的通项公式；
（3）证明：对任意的整数 ，有 ．
第3页 | 共15页2004年高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）设集合 ， ， ， ， ， ，则集
合 中元素的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】 解：根据题意， ， ， ， ，
将 代入 ，
得 ，△ ，
所以方程组有两组解，
因此集合 中元素的个数为2个，
故选： ．
2．（5分）函数 的最小正周期是
A． B． C． D．
【解答】解：对于 ， ，
函数 是函数 轴上方的图象不动将 轴下方的图象向上对折得到的，如图示，故
，
故选： ．
第4页 | 共15页3．（5分）设数列 是等差数列， ， ， 是数列 的前 项和，则
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，
得 ，
故选： ．
4．（5分）圆 在点 处的切线方程为
A． B． C． D．
【解答】解：法一：
．
该二次方程应有两相等实根，即△ ，解得 ．
，
即 ．
法二：
点 在圆 上，
第5页 | 共15页点 为切点，从而圆心与 的连线应与切线垂直．
又 圆心为 ， ．
解得 ，
切线方程为 ．
故选： ．
5．（5分）函数 的定义域是
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【解答】解：
或 ．
的定义域为 ， ， ．
故选： ．
6．（5分）设复数 的幅角的主值为 ，虚部为 ，则
A． B． C． D．
【解答】解： 复数 的幅角的主值为
设复数
虚部为
第6页 | 共15页故选： ．
7．（5分）设双曲线的焦点在 轴上，两条渐近线为 ，则双曲线的离心率
A．5 B． C． D．
【解答】解：依题意可知 ，求得
故选： ．
8．（5分）不等式 的解集为
A． B． ， ，
C． D． ， ，
【解答】解：
即 即 ，
解得 ，即 ， ，
解法二：
解得 ， ，
故选： ．
9．（5分）正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，
可知：侧棱长为 ，三条侧棱两两垂直，
第7页 | 共15页所以此三棱锥的体积为
故选： ．
10．（5分）在 中， ，则边 上的高为
A． B． C． D．
【解答】解：由点 向 作垂线，交点为 ．
设 ，则 ，
，解得
故选： ．
11．（5分）设函数 则使得 的自变量 的取值范围为
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D．
， ，
【解答】解： 等价于 解得： 或 ．
或 解得：
综上所述， 或 ．
故选： ．
12．（5分）将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【解答】解：将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，
只有一种结果1，1，2，
首先从4个人中选2个作为一个元素，
使它与其他两个元素在一起进行排列，
第8页 | 共15页共有 种结果，
故选： ．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）用平面 截半径为 的球，如果球心到截面的距离为 ，那么截得小圆的面积与球的表面积
的比值为 ．
【解答】解：小圆半径是： ，小圆的面积是： ，
球的表面积是；
截得小圆的面积与球的表面积的比值为：
故答案为：
14．（4分）函数 在区间 的最小值为 1 ．
【解答】解：
，
，
，
，
最小值为1，
故答案为：1．
15．（4分）已知函数 是奇函数，当 时， ，设 的反函数是 ，则
【解答】解：法一：当 时， ，由已知 ．
又 是奇函数，
第9页 | 共15页，即 ．
．
．
法二：当 时， ，由已知 ．
又 是奇函数，
，即 ．
．根据反函数定义
令 得 ，即：
答案为：
16．（4分）设 是曲线 上的一个动点，则点 到点 的距离与点 到 轴的距离之和的最
小值是 ．
【解答】解： 的图象是以 轴为准线， 为焦点的抛物线， 当点 为 点与 点的
连线与抛物线的交点时，距离和最小，
最小值为： ．
故答案为： ．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）已知 为锐角，且 ，求 的值．
第10页 | 共15页【解答】解： ， 为锐角
．
18．（12分）解方程 ．
【解答】解：当 时，有： ，
化简得： ，
解之得： 或 （舍去）．
又 得 ，故 不可能舍去．
当 时，有： ，
化简得： ，
解之得： 或 （舍去）
， ，
综上可得，原方程的解为 ．
19．（12分）某村计划建造一个室内面积为 的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙
各保留 宽的通道，沿前侧内墙保留 宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最
大？最大种植面积是多少？
【解答】解：设矩形温室的左侧边长为 ，后侧边长为 ，则 ．
蔬菜的种植面积
．
所以
当且仅当 ，即 ， 时，
第11页 | 共15页．
答：当矩形温室的左侧边长为 ，后侧边长为 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为 ．
20．（12分）三棱锥 中，侧面 与底面 垂直， ．
（1）求证 ；
（2）如果 ，求 与侧面 所成角的大小．
【解答】解：（1）证明：取 中点 ，连接 、 ．
又 侧面 底面
底面
又
为直角三角形
（2）解：取 的中点为 ，连接 ， ，所以有 ，
由（1）有 平面 ， ，由三垂线定理得
平面 平面 ，又 ．
是等腰直角三角形，取 的中点 ，连接 ，
则 ，又 平面 平面 ，且交线是 ， 平面
即为 与平面 所成的角
．
故 与平面 所成的角为 ．
第12页 | 共15页21．（12分）设椭圆 的两个焦点是 ， ， ，且椭圆上存在点 ，使得直
线 与直线 垂直．
求实数 的取值范围．
设 是相应于焦点 的准线，直线 与 相交于点 ．若 ，求直线 的方程．
【解答】解：（1） 直线 直线
以 为圆心以 为半径的圆： 与椭圆： 有交点．即 有解
又
（2）设 ， ，直线 方程为： ，
直线 的方程为： ，
准线 的方程为 ，
设点 的坐标为 ， ，则 ，
②
解可得 ，从而 ， ， ，
第13页 | 共15页则 或 ，
得到 的方程 或 ．
22．（14分）已知数列 的前 项和 满足： ， ．
（1）写出求数列 的前3项 ， ， ；
（2）求数列 的通项公式；
（3）证明：对任意的整数 ，有 ．
【解答】解：（1）当 时，有： ；
当 时，有： ；
当 时，有： ；
综上可知 ， ， ；
（2）由已知得：
化简得：
上式可化为：
故数列 是以 为首项，公比为2的等比数列．
故
数列 的通项公式为： ．
第14页 | 共15页（3）由已知得：
故 ．
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