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辽宁省实验中学 2023—2024 学年度上学期期中阶段测试
高三年级数学试卷
考试时间120分钟 试题满分150分
命题人：高三数学组 校对人：高三数学组
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题．本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 设集合 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 若 ，则p是q的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 幂函数f（x）的图象过点 ，则f（x）的一个单调递减区间是（ ）
.
A （0，+∞） B. [0，+∞） C. （﹣∞，0] D. （﹣∞，0）
4. 欧拉公式 （其中 为虚数单位， ），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将
指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地
位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式， 的共轭复数为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知角 终边与单位圆的交点为 ，则 的值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 1 B. C. D.
6. 在平行四边形 ABCD 中， ， ， ，E 为 AB 的中点，若 ，且
，则 （ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数 ，若对任意的正数 、 ，满足 ，则 的最小值为
（ ）
A. B. C. D.
8. 在锐角三角形 中， 、 、 的对边分别为 、 、 ，且满足 ，则 的取值
范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题．本大题共4小题，每小题5分，甚20分，在每小题的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 、 是两条不同的直线， 、 是两个不重合的平面，下列说法正确的是（ ）
A. 、 是异面直线，若 ， ， ， ，则
B. 若 ， ，则
C. 若 ， ， ，则
D. 若 ， ， ，则
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学科网（北京）股份有限公司10. 关于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A. 由 ，可得 必是 的整数倍
B.
C. 图像可由 向右平移 个单位得到
D. 在 上为增函数
的
11. 《九章算术》是我国古代数学中 经典，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之
为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在阳马 中，侧棱 底面 ，
且 ，点 是 的中点，连接 ， ， ．以下结论正确的有（ ）
A. ／／平面
B. 四面体 是鳖臑
C. 若阳马 的体积为 ，四面体 的体积为 ，则
D. 若四面体 的外接球的体积为 ，则 ．
12. 定义在 上的函数 满足： 为奇函数，且 ，则（ ）
A. 的图象关于 对称 B. 4是 的一个周期
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上．
13. 函数 的导函数 ______．
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学科网（北京）股份有限公司14. 已知动点 在正方体 的对角线 （不含端点）上．设 ，若 为钝
角，则实数 的值为______．
的
15. 如图是两个直角三角形板拼成 平面图形，其中 ， ，
， ，则 ______．
16. 在正三棱锥 中， 、 分别是 、 的中点， ．若 ，则三棱锥
的外接球的表面积为______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知数列 的前 项的和为 ，且 ， .
（1）证明数列 是等比数列，并求 的通项公式；
（2）求数列 前 项的和 .
18. 在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 ，
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求 的值.
19. 某职称考试有A，B两门课程，每年每门课程均分别有一次考试机会，若某门课程上一年通过，则下一
年不再参加该科考试，只要在连续两年内两门课程均通过就能获得该职称.某考生准备今年两门课程全部参
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学科网（北京）股份有限公司加考试，预测每门课程今年通过的概率均为 ；若两门均没有通过，则明年每门课程通过的概率均为 ；
若只有一门没过，则明年这门课程通过的概率为 ．
（1）求该考生两年内可获得该职称的概率；
（2）设该考生两年内参加考试的次数为随机变量X，求X的分布列与数学期望.
20. 直三棱柱 中，底面 是等腰直角三角形, ， ， 分别
的
为 中点且 在平面 上的射影是 的重心 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的平面角的余弦值．
21. 已知函数 ．
（1）若曲线 在点 处的切线与直线 平行，求该切线方程；
（2）当 时， 恒成立，求a的取值范围．
22. 已知函数 ， ， 为其导函数．函数 在其定义域 内有零点 ．
（1）求实数a的取值范围；
（2）设函数 ，求证：对任意的 且 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司（3）求证： ．
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