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2025-2026 学年度（上）阶段性考试（一）
高 2024 级 数学
考试时间：120 分钟 满分：150 分
一、单选题：本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求.
1. 我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有 1200 人，其中一、二、三年级的人数比为
，要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为 120 的样本，则应抽取的一年级学生的人数为（
）
A. 52 B. 48 C. 36 D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用分层抽样的抽样比列式计算即得.
【详解】依题意，应抽取的一年级学生的人数为 .
故选：C
2. 学校组织知识竞赛，某班 8 名学生的成绩（单位：分）分别是 65，60，75，78，86，84，90，94，则这
8 名学生成绩的 75%分位数是（ ）
A. 88 分 B. 84 分 C. 85 分 D. 90 分
【答案】A
【解析】
【分析】先对这 8 名学生的成绩按从小到大排列，然后用百分位数的定义求解即可.
【详解】8 名学生的成绩从小到大排列为：60，65，75，78，84，86，90，94，
因为 ，所以 75%分位数为第 6 个数和第 7 个数的平均数，
即 分．
故选：A.
3. 在一个实验中，某种豚鼠被感染 病毒的概率均为 ，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的
概率：先由计算机产生出 ， 之间整数值的随机数，指定 1，2，3，4 表示被感染，5，6，7，8，9，0
表示没有被感染.经随机模拟产生了如下 20 组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
第 1页/共 18页257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠都没被感染的概率为（ ）
A. 0.25 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.75
【答案】A
【解析】
【分析】求得三只豚鼠都没有被感染的数量，结合题意，求解即可.
【详解】 组数据中，都不含 的数据有 5 个，分别是：907，966，569，556，989；
故三只豚鼠都没被感染的概率为： .
故选： .
4. 若 是两条不相同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据线面关系，对 A、B、D,都可能推出 l ，而 C，由面面平行的性质定理直接判断即可.
【详解】对 A、B、D,都可能推出 l ,所以不正确；
对 C，根据两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，所以 正确.
故选 C.
【点睛】本题考查了线面、面面平行的判定定理与性质定理的应用，考查了空间线面的位置关系，属于基
础题．
5. 已知 是空间的一个基底，则可以与向量 ， 构成空间另一个基底的向量是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间基底、空间向量共面等知识确定正确答案.
第 2页/共 18页【详解】因为 ，
，
，
所以向量 ， ， 均与向量 ， 共面，ABD 均不合题意；
假设 ，
则 ，无解，所以 与向量 ， 不共面，C 符合题意.
故选：C
6. 向量 ， ， ，且 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量的关系列式求解 ， 的值，再运用向量的数乘及加法的坐标表示公式，结合向量的模公式
计算得出结果.
【详解】由 ， ，则 ，解得 ，
， ，
，
故选：C.
7. 如图，某电子元件由 ， ， 三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，
， ， 三种部件不能正常工作的概率分别为 ， ， ，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子
元件能正常工作的概率是（ ）
第 3页/共 18页A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】设上半部分正常工作为事件 ，下半部分正常工作为事件 ，该电子元件能正常工作为事件 ，
根据相互独立事件的概率公式求出 、 ，即可求出 、 ，再根据对立事件及独立事
件的概率公式计算可得.
【分析】设上半部分正常工作为事件 ，下半部分正常工作为事件 ，该电子元件能正常工作为事件 ，
则 ， ，
，所以 ，
所以 ，
即该电子元件能正常工作的概率是 .
故选：B
8. 正方体 的棱长为 2，P 是空间内的动点，且 ，则 的最小值
为（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】取 的中点 M，连接 ，取 的中点 N，连接 ，则由已知条件可得动点 P 的轨迹为正
方体 的外接球，然后由向量的运算可得 ，从而可求得结果.
【详解】取 的中点 M，连接 ，
第 4页/共 18页则 ，则 ，即 ，
故动点 P 的轨迹为以 M 为球心， 为半径的球.
由正方体 的棱长为 2，可知正方体 外接球的半径为 3，
即动点 P 的轨迹为正方体 的外接球.
取 的中点 N，连接 ，
则
.
由题可知， ，则 ， ，
则 .
所以 最小值为 ，
故选：C
二、多选题：本题共 3 个小题，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A. 若 ，则向量 ， 的夹角是锐角
B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
C. 若对空间中任意一点 O，有 ，则 P，A，B，C 四点共面
D. 若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面
【答案】BC
第 5页/共 18页【解析】
【分析】根据空间向量共面定理即可判断 B；根据 ，得到 ，即可判断 A；根据
判断四点共面即可判断 C；异面直线的平行线即可判断 D.
【详解】对 A，若 ，则 ，则向量 ， 的夹角可以为 0 不是锐角,故 A 错误；
对 B，根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故 B 正
确.
对 C，因为 ，且 ，所以 四点共面,故 C 正确.
对 D，分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量是异面直线的平行线可以共
面，故 D 错误.
故选：BC.
10. 有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取 1 个球，甲表
示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取
出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ）
A. 乙发生的概率为 B. 丙发生的概率为
C. 甲与丁相互独立 D. 丙与丁互为对立事件
【答案】ACD
【解析】
【分析】先计算出甲乙丙丁的概率，故可判断 AC 的正误，再根据独立事件的乘法公式可判断 C 的正误，
根据对立事件的意义可判断 D 的正误.
【详解】设 为事件“第一次取出的球的数字是奇数”， 为事件“第二次取出的球的数字是偶数”，
为事件“两次取出的球的数字之和是奇数”， 为事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，
则 ， ，故 A 正确.
， ，故 B 错误.
而 ，故 C 正确.
两次取出的数字之和要么为奇数，要么为偶数，故丙与丁互为对立事件，
故 D 正确.
第 6页/共 18页故选：ACD.
11. 正三棱柱 中， ，点 满足 ，其中 ， ，则
（ ）
A. 当 时，三棱锥 的体积为定值
B. 当三棱锥 的体积为定值 时，
C. 当 时，有且仅有两个点 ，使得
D. 当 平面 时，
【答案】BC
【解析】
【分析】选项 A，C 先确定点 的轨迹判断即可；选项 B，D 利用题意确定轨迹即可.
【详解】当 时，得 ，由向量的加法运算可知，此时点 在线段 上，
此时三棱锥 中点 到平面 的距离为定值，为底面正三角形 的高为 ，
所以此时 的体积为 ，故选项 A 错误；
第 7页/共 18页由题易知，点 在正方形 内，所以点 到平面 的距离为定值 ，
当三棱锥 的体积为定值 时，可知
因为 ，所以点 到直线 的距离为 ，故此时点 在线段 上，
根据向量的线性运算可知 ，故选项 B 正确；
记 的中点为 , 的中点为 ， 的中点为 ,连接 ，当 时，易知点 在
线段 上；
要使 ，易知点 在以 为直径的球面上；故我们需要判断以 为直径的球面与线段 的
交点个数；
易知，
所以线段 上刚好有两个点在以 为直径的球面上，
即当 时，有且仅有两个点 ，使得 ，故选项 C 正确；
记 的中点为点 ,连接 ，
由题易知，
所以有
第 8页/共 18页所以 ,
又 是平面 内的两条相交直线，所以 平面
又因为 平面 ，点 在正方形 内
所以易知点 在线段 上，此时 的值不确定，故选项 D 错误；
故选：BC
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知空间向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量的坐标是______
【答案】
【解析】
【分析】根据题中条件，直接利用公式计算即可.
【详解】因为 ， ，
所以
，
，
故向量 在向量 上的投影向量为
，
故答案为：
13. 我国古代认为构成宇宙万物的基本要素是金、木、水、火、土这五种物质，称为“五行”.古人构建了金生
水、水生木、木生火、火生土、土生金的相生理论，随机任取“两行”，则取出的“两行”相生的概率是_______
【答案】 ##0.5
【解析】
【分析】写出随机任取 “两行”共有多少种，再写出“两行”相生的可能情况，根据古典概型的概率计算求
第 9页/共 18页得答案.
【详解】由题意得，随机任取“两行”共有金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土
共 10 种，
其中取出的“两行”相生的情况有金生水、水生木、木生火、火生土、土生金共 5 种，
所以取出的“两行”相生的概率 ,
故答案为：
14. 设 ， 是一个随机试验中的两个事件，且 ， ， ，则
_______
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质及互斥事件的概率公式列式求解.
【详解】由 ，得 ，解得 ，
由 ，得 ，解得 ，
由 ，得 ，解得 ，
所以 .
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，已知棱长为 1 的正四面体 ， ， 分别是 ， 的中点．
（1）用 表示向量 ，并求 的模长；
（2）求 与 所成角的余弦值．
【答案】（1） ，
第 10页/共 18页（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量的三角形法则即可表示出向量 ，两边同时平方即可求得结果.
（2）利用空间向量夹角的计算公式即可求得结果.
【小问 1 详解】
，
，所以
【小问 2 详解】
设 为异面直线 与 所成的角，
，所以异面直线 与 所成的角 .
16. 如图，在长方体 中，点 ， 分别在棱 ， 上，且 ， ．证
明：
（1）当 时， ；
（2）点 在平面 内．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
第 11页/共 18页【解析】
【分析】（1）根据正方形性质得 ，根据长方体性质得 ,进而可证 平面 ,即
得结果；
（2）只需证明 即可，在 上取点 使得 ,再通过平行四边形性质进行证明即可.
【详解】
（1）因为长方体 ,所以 平面 ,
因为长方体 ,所以四边形 为正方形
因为 平面 ,因此 平面 ,
因 平面 ,所以 ；
（2）在 上取点 使得 ,连 ,
因为 ,所以
所以四边形 为平行四边形，
因为 所以 四点共面，所以四边形 为平行四边形，
，所以 四点共面，
因此 在平面 内
【点睛】本题考查线面垂直判定定理、线线平行判定，考查基本分析论证能力，属中档题.
17. 某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过
考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015 年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、
第 12页/共 18页“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为 、 、 ，已知三个社团他都能进入的概率为 ，至少进入
一个社团的概率为 ，且 .
（1）求 与 的值；
（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分 1 分，对进入“诗词”
社的同学增加校本选修学分 2 分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分 3 分．求该新同学在社团方
面获得校本选修课学分分数不低于 4 分的概率．
【答案】（1） ； （2） .
【解析】
【分析】（1）根据题意，假设该同学通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概
率依次为 、 、 ，已知三个社团都能进入的概率为 ，至少进入一个社团的概率为 ，且 ，
利用相关公式建立方程组，即可求得 与 的值；
（2）根据题意，可知不低于 4 分包括了得分为 4 分、5 分、6 分三种情况，之后应用乘法和加法公式求得
结果.
【详解】（1）依题 ，解得
（2）由题令该新同学在社团方面获得本选修课学分的分数为 ，
获得本选修课学分分数不低于 4 分为事件 ，
则 ； ； .
故 .
【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有相互独立事件同时发生的概率，互斥事件有一
个发生的概率，注意对公式的正确应用是解题的关键.
18. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更
是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所
第 13页/共 18页有答卷中随机抽取 100 份作为样本，将样本的成绩（满分 100 分，成绩均为不低于 40 分的整数）分成六段：
， ， ， 得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中 的值；
（2）求样本成绩的众数，中位数和平均数；
（3）已知落在 的平均成绩是 54，方差是 7，落在 的平均成绩为 66，方差是 4，求两组成
绩合并后的平均数 和方差 .
【答案】（1） ；
（2）众数为 75，中位数为 75，平均数为 74；
（3）平均数为 62，方差为 37.
【解析】
【分析】（1）根据频率和为 1 求得 ；
（2）根据直方图，及众数、中位数、平均数求法求值；
（3）根据已知求样本总均值，再由总方差公式求样本总方差.
【小问 1 详解】
由每组小矩形的面积之和为 1，得 ，解得 ；
【小问 2 详解】
由 ，得样本成绩的众数为 75，
成绩落在 内的频率为 ，
成绩落在 内的频率为 ，
故中位数在 内，由 ，得样本成绩的中位数为 75，
由 ，
第 14页/共 18页得样本成绩的平均数为 74；
【小问 3 详解】
由频率分布直方图知，成绩在 的样本数为 ，
成绩在 的样本数为 ，
所以 ，
总方差为 .
19. 已知两个非零向量 ， ，在空间任取一点 ，作 ， ，则 叫做向量 ， 的夹角，
记作 .定义 与 的“向量积”为： 是一个向量，它与向量 ， 都垂直，它的模
.如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ，
， 为 上一点， .
（1）求 的长；
（2）若 为 的中点，求二面角 的余弦值；
（3）若 为 上一点，且满足 ，求 .
【答案】（1）2 （2）
（3）10
【解析】
【分析】（1）证明 ， 为直线 与 所成的角，设 ，结合“向量积”的
模的定义由条件列方程求 可得 的长；
（2）过点 作 交 的延长线于点 ，证明 为二面角 的平面角，解三角形
求其大小，结合二面角
与二面角 互补可得结论；
第 15页/共 18页（3）过点 作 ，证明 平面 ，过点 作 交 于点 ，证明
，结合条件可求 .
小问 1 详解】
因为底面 为矩形，
所以 ， ，
因为 底面 ， 底面 ，
所以 ，
又 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
因为 ，
所以 为直线 与 所成的角，即 ，
设 ，则 ， ，
在 中 ，
又 ，所以 ，解得 或 （舍去），
所以 ；
【小问 2 详解】
在平面 内过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ，
因为 底面 ， 底面 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
所以 为二面角 的平面角，
因为 为 的中点，
所以 ， ，
第 16页/共 18页所以 ，
设二面角 的平面角为 ，则 ，
所以 ，
即二面角 的余弦值为 ；
【小问 3 详解】
依题意 ， ，又 ，
所以 ， ，又 ，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
在平面 内过点 作 ，垂足为 ，
由 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
在平面 内过点 作 交 于点 ，在 上取点 ，使得 ，连接 ，
所以 且 ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，又 ，即 ，
所以 .
第 17页/共 18页【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义
去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象
看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变
才是制胜法宝.
第 18页/共 18页
