广东省深圳市宝安区2024-2025学年高三上学期10月第一次调研测试数学PDF版含答案（可编辑）_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年10月试卷

宝安区 学年第一学期调研测试卷 2024-2025 高三 数学 2024.10 注意事项： 1．答题前，请将姓名、班级和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定 的位 置上，并正确粘贴条形码。 2 ．作答选择题时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号的 信息 点框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。作答非选择题时，用黑色字 迹的钢笔或签字笔把答案写在答题卡指定区域内，写在本试卷或 草稿纸上，其答案一律 无效。 3 ．本试卷共4 页，19小题，满分 150 分。考试时间120分钟。 4 ．考试结束后，请将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.样本数据1，6，7，8，8，9，10，11，12，13的第30百分位数为（ ） A.7 B.7.5 C.8 D.8.5   2.已知集合A x|x2 5 ,B {xZ | x1 2}，则AB （ ） A.{1,0,1,2} B.{1,2} C.{0,1,2} D.{1,0,1,2,3} z1 3.若 1i，则z （ ） z A.1i B.i C.1i D.i      4.已知向量a (2,x),b (x,2)，若a (b a)，则x（ ） A.2 B.0 C.1 D. 2 5.已知sin()m,tan2tan，则sin()（ ） A.m B.m C.3m D.4m 6.一个正四面体边长为3，则一个与该正四面体体积相等、高也相等的正三棱柱的侧面积为 （ ） A.9 2 B.3 3 C.9 6 D.3 2 {#{QQABCQ4EogioQJIAAQgCQwU4CgKQkBCACQgOxAAEoAIAyRFABCA=}#}x3ax1,x1 7.已知函数为 f(x) ，在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） ex1ln(x2),x1 A.[3,1] B.(,3] C.[3,) D.[1,) 13 8.函数 f(x)cosx 3sin2x在[0, ]上的零点个数为（ ） 6 A.3 B.4 C.5 D.6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符 合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知随机变量X 服从正态分布X  N(0,2),当变大时,则（ ） 1 1 1 1 A.P(  X  )变大 B.P(  X  )变小 2 2 2 2 C.正态分布曲线的最高点上移 D.正态分布曲线的最高点下移 10.对于正数a,b，x [0,)，使(x a)ex 0 b 1，则（ ） 0 0 1 4 A.aeb 1 B. ab C. ab2  D.ab1 e e2 11.已知函数 f(x)的定义域为R，若 f(x y1) f(x) f(y)1，且 f(0)2，则（ ） A. f(1)1 B. f(x)无最小值 40 C.  f(i)900 D. f(x)的图象关于点(2,0)中心对称 i1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知函数 f(x) x2 m与函数 f(x)lnxx在公共点处的切线相同，则实数m的值 为__________.  13.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且B ,b 2,a1,M 为AB的中点， 4 则线段CM 的长为__________. 14.为了回馈长期以来的顾客群体，某健身房在五周年庆活动期间设计出了一种游戏活动， 顾客需投掷一枚骰子两次，若两次投掷的数字都是偶数，则该顾客获得该健身房的免费团操 券5张，且有2次终极抽奖机会（2次抽奖结果互不影响 ；若两次投掷的数字之和是5或 9，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有1次终极抽奖机会；其余情况顾客均获 {#{QQABCQ4EogioQJIAAQgCQwU4CgKQkBCACQgOxAAEoAIAyRFABCA=}#}得该健身房的免费团操券3张，不具有终极抽奖机会．已知每次在终极抽奖活动中的奖品和 对应的概率如下表所示． 奖品 一个健身背包 一盒蛋白粉 概率 则一位参加游戏活动的顾客获得蛋白粉的概率为__________. 三、解答题 15.（本题13分）如图，在直角POA中，PO^AO，PO=2AO=4，将POA绕边PO旋 2 ⌒ ⌒ 1⌒ 转到POB的位置，使ÐAOB= ，得到圆锥的一部分，点C为AB上的点，且AC＝ AB． 3 4 (1)求点O到平面PAB的距离； (2)设直线OC与平面PAB所成的角为，求sin的值． P O B A C x2 y2 3 16.（本题15分）已知椭圆C:  1,(a b 0)，离心率e= ，且点A(2,-1)在椭 a2 b2 2 圆上. (1)求该椭圆的方程;  (2)直线l交椭圆C于P,Q两点，直线AP,AQ的斜率之和为0，且PAQ ，求PAQ的 2 面积. 17.（本题15分）函数 f xlnx,gxx2xm2． (1)若me，求函数Fx f xg x的最大值； (2)若 f xgxx2x2ex在x(0,2]上恒成立，求实数m的取值范围． {#{QQABCQ4EogioQJIAAQgCQwU4CgKQkBCACQgOxAAEoAIAyRFABCA=}#}18.(本题17分）甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答 对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分；然后换对方抽题作答，直到有领先2 4 分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为 ，乙答对题目的概率为 p，答对与否相互 5 2 独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为 .记甲乙两人的 5 答题总次数为nn2 . (1)求p； (2)当n2时，求甲得分X 的分布列及数学期望； 8 8 (3)若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为P A，证明： P AP AP A . n 15 2 3 n 9 19.(本题17分）定义：任取数列{a }中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为3，则称数列 n {a }具有“性质3”．已知项数为n的数列{a }的所有项的和为M ，且数列{a }具有“性质3”． n n n n (1)若n=4，且a =0,a =3，写出所有可能的M 的值； 1 4 n (2)若a =2024,n=2023，证明：“a =-4042”是“a >a (k=1,2,,2022)”的充要条 1 2023 k k+1 件； (3)若a =0,n³2,M =0，证明：n=4m或n=4m+1,(mÎN*). 1 n {#{QQABCQ4EogioQJIAAQgCQwU4CgKQkBCACQgOxAAEoAIAyRFABCA=}#}宝安区 2025 届高三毕业班第一次调研考试 数学参考答案 一、单项选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B A C A D C 二、多项选择题 题号 9 10 11 答案 BD BC BCD 4 3 95 三、填空题：12、0 13、 14、 2 576 四、解答题： 15、【解答】(1)证明：由题意知：POOA, POOB, OAOBO，OA平面AOB， OB平面AOBPO 平面AOB，又PO2OA4，所PA PB 2 5, AB 2 3， 1  2  2 所以 S  2 3 2 5  3  51， PAB 2 设点O到平面PAB的距离为d，由V V OPAB POAB 1 1 1 2 4 17 得 d 51 4 22sin ，解得d  ；（6分） 3 3 2 3 17    (2)以O为原点，OC,OB,OP的方向分别为x,y,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角 π   坐标系，由题意知AOC  ，则A 3,1,0 ，则C  2,0,0  ,B  0,2,0  ,P  0,0,4  ， 6        所以AB  3,3,0 ,AP  3,1,4 ,OC  2,0,0  .      nAB  3a3b 0 设平面PAB的法向量为n a,b,c ，则  ，  nAP  3ab4c  0 {#{QQABCQ4EogioQJIAAQgCQwU4CgKQkBCACQgOxAAEoAIAyRFABCA=}#}r  1 不妨取平面PAB的一个法向量为n  3,1, ，  2     nOC 2 3 2 51 所以sin cos n,OC      . （13分） n OC 17 17 (利用几何解法相对简单，酌情给分)  a2 b2 3     a 2 2 a 2 16、【解答】(1)解：由题 解得：  4 1 b 2  1  a2 b2 x2 y2 故椭圆C:  1, （5分） 8 2   (2)设直线AP的倾斜角为，由PAQ ，2PAQ，得 ,k 1， 2 4 AP k k 0 k 1 k 1 （或 AP AQ  AP ) AQ  k AP k AQ 1  k AQ 1 即AP:y  x3，AQ:y x1 x2 y2 14 14 1 联立 y  x3，及  1得x  ,x 2(舍），故P( , )， 8 2 1 5 2 5 5 x2 y2 2 2 7 联立 y x1，及  1得x  ,x 2(舍），故Q( , ) 8 2 1 5 2 5 5 12 28 故x x  ，x x  , 而| AP| 2|x 2|，| AQ| 2|x 2|， 1 2 5 1 2 25 1 2 1 48 故S  |AP||AQ||x x 2(x x )4| . （15分） PAQ 2 1 2 1 2 25 17、【解答】(1)因为Fxlnxx2xe2， 1 (2x1)(x1) 可知F(x)的定义域为0,，且F(x) 2x1 ， x x 由F(x)0，解得0 x1；由F(x)0，解得x1． 可知F(x)在(0,1)内单调递增，在(1,)内单调递减， 所以函数Fx f xgx的最大值为F1e2． （5分） {#{QQABCQ4EogioQJIAAQgCQwU4CgKQkBCACQgOxAAEoAIAyRFABCA=}#}(2)因为 f(x)g(x)x2(x2)ex在x(0,2]恒成立， 等价于m(x2)exlnxx2在x(0,2]恒成立． 1  1  设h(x)(x2)exlnxx2，x(0,2]，则h(x)(x1)ex 1 x1 ex ， x  x  1 1 当x1时，则x10，且ex e, 1，可得ex e10，所以h(x)0； x x 1 1 当0 x1时，则x10，设u(x)ex ,0x1，则u(x)ex  0， x x2 1 1  可知u(x)在(0,1)递增，且u  e20,u(1)e10．则x  ,1，使得ux 0． 2 0 2  0 当x0,x 时，u(x)0；当xx ,1时，u(x)0． 0 0 当x0,x 时，h(x)0；当xx ,1时，h(x)0． 0 0 可知函数h(x)在0,x 递增，在x ,1递减，在(1,2)递增． 0 0 1 1 由ux ex0  0，得ex0  ，且lnx x ． 0 x x 0 0 0 0 1  1 可得hx x 2ex0 ln x x 2 x 2 2x 232 x  ， 0 0 0 0 0 x 0  0 x  0 0 1  且x  ,1，则hx 0，又因为h(2)ln20，可知当x(0,2]时，h(x) h2ln2， 0 2  0 max 所以m的取值范围是[ln2,)． （15分） 18、【解答】(1)记A “第i次答题时为甲”，B“甲积1分”， i 则PA 1 ，PB|A 4 ，P  B|A  1 4  1 ，P  B|A  1p ，P  B|A   p， 1 2 i 5 i 5 5 i i 2 14 1  1 1 4  p 1 p  1 p  p ，     5 25 5  2 5 5 2 3p1 1 则  ，解得 p ； （5分） 5 5 3 (2)由题意可知当n=2时，X可能的取值为0，1，2，则由（1）可知 2 11 1 1 1 1 14 2 2 4 8 PX 1 ，PX 0      ，PX 2      ， 5 25 3 3 5 15 25 3 3 5 15 X的分布列为： X 0 1 2 {#{QQABCQ4EogioQJIAAQgCQwU4CgKQkBCACQgOxAAEoAIAyRFABCA=}#}1 2 8 P 15 5 15 1 2 8 22 随机变量X的数学期望为EX0 1 2  . （10分） 15 5 15 15 (3)由答题总次数为n时甲晋级，不妨设此时甲的积分为x ，乙的积分为x ， 甲 乙 则x x 2，且x x n，所以甲晋级时n必为偶数，令n2m,mN* 甲 乙 甲 乙 当n为奇数时，P A0， n 则P AP AP AP AP AP A 2 3 n 2 4 n 0 1 2 m1 2 8 2 8 2 8 2 8             5 15 5 15 5 15 5 15   2 m 8 2 0 2 1 2 2 2 m1 8   1   1 5        8  2 m               1   155 5 5 5  15  1 2  9 5   5    又∵m1时，P AP AP A随着m的增大而增大， 2 3 n 8 8 ∴ P AP AP A （17分） 15 2 3 n 9 19、【解答】(1)解：依题意， 若a :0，3，0，3，此时M =6 n n 若a :0，-3，0，3，此时M =0 n n 若a :0，3，6，3，此时M =12 （3分） n n (2)证明：必要性：因为a >a (k=1,2,,2022)， k k+1 故数列{a }(n=1,2,3,2023)为等差数列， n 所以a -a =-3,(k=1,2,,2022)，公差为-3， k+1 k 所以a =2024+(2023-1)´(-3)=-4042,(k=1,2,,2022)，必要性得证 2023 {#{QQABCQ4EogioQJIAAQgCQwU4CgKQkBCACQgOxAAEoAIAyRFABCA=}#}充分性：由于a -a ³-3,a -a ³-3,a -a ³-3, 2023 2022 2022 2021 2 1 累加可得，a -a ³-6066,即a ³a -6066=-4042,， 2023 1 2023 1 因为a =-4042，故上述不等式的每个等号都取到， 2023 所以a -a =-3,(k=1,2,,2022)，所以a a (k=1,2,,2022)”的充要条件； （9分） 2023 k k+1 (3)证明：令 ，依题意，c =±3， k 因为 ， ， ， ， 所以 ， 因为c =±3，所以 为偶数 ， k 所以 为偶数; 所以要使 ，必须使 为偶数，即4整除 ， 亦即 或 ， 当 时， 比如 ，a =-3，a =3,(k=1,2,m) 4k-2 4k 或 ，a =3，a =-3,(k=1,2,m)时， 有 ， 4k-2 4k 当 时， 比如 ，a =-3，a =3,a =0(k=1,2,m)， 4k-2 4k 4k+1 或 ，a =3，a =-3,a =0(k=1,2,m)，有 ， 4k-2 4k 4k+1 当 或 时， 不能被4整除， （17分） {#{QQABCQ4EogioQJIAAQgCQwU4CgKQkBCACQgOxAAEoAIAyRFABCA=}#}