文档内容
2025 届清远市普通高中毕业年级教学质量检测（一）
高三数学
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间150分钟。
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。
4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
1．若集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知i是虚数单位，若 ，则复数 的虚部为（ ）
A．4 B．2 C． D．
3．已知向量 ，且 ，则 的值为（ ）
A． B．6 C． D．
4．函数 在区间 上的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．下列函数中，是偶函数且在 上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
6．设函数 在区间 上单调递减，则正数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．7．记函数 ，设 ，甲： ；乙： ，则甲
是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条
件
8．已知 ，则
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合
要承。全部选对的得6分．部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．函数 的最小正周期是
B．把函数 的图象向右平移 个单位长度可得到函数 的图象
C．函数 的图象关于点 中心对称
D．函数 的图象在区间 上单调递增
10．现有一组各不相同且从小到大排列的样本数据 ，下列说法正确的是（ ）
A． 的下四分位数为
B． 的中位数为
C． 的平均数小于 的平均数
D． 的方差是 的方差的4倍．
11．设 与其导函数 的定义域均为 ，若 的图象关
于 对称， 在 上单调递减，且 ，则（ ）A． 为偶函数 B． 的图像关于原点对称
C． D． 的极小值为3
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分．共15分。
12．㷊市高三年级1万名男生的身高 （单位：cm）近似服从正态分布 ，则身高超过180cm的
男 生 约 有 ____________ 人 ． （ 参 考 数 据 ： ，
， ）
13．已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时． ，则 ____________；
当 时， ____________．（第一个空2分，第二个空3分）
14．已知函数 相邻两条对称轴之间的距离为 ，且 ，
则 在 上的零点个数为____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
在 中，角 所对的边分别为 ．已知 ．
（1）求 的值；
（2）求 的面积．
16．（本小题满分15分）
已知每门大炮击中目标的概率都是0.5，现有 门大炮同时对某一目标各射击一次．
（1）当 时，求给好击中目标2次的概率（精确到0.01）；
（2）如果使目标至少被击中一次的概率超过 ，至少需要多少门大炮？（ ）
17．（本小题满分15分）
如图，在直四棱柱 中，底面 为矩形， ．点 分别
在棱 上， ．（1）若 ，证明：平面 平面 ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
18．（本小题满分17分）
已知函数 图象的对称中心为 ．
（1）求 和 的值；
（2）若对于任意的 ，很有 植成立。求实数 的取值范围．
19．（本小题满分17分）
已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为2，过圆心在原点，半径为 的圆 上一动
点 作椭圆 的两条切线 ，切点分别为 ， ，延长 与圆交于另一点 ，延长 与四交于另
一点 。
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）假设向量 的夹角为 ，定义： ．
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）求 的取值范围．2025 届清远市普通高中毕业年级教学质量检测（一）·高三数学
参考答案、提示及评分细则
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B D B A A C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合
要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
题号 9 10 11
答案 ACD BCD AB
1．C 因为 ，故 ，故选C．
2．D 由题得 ．故选D．
3．B 由 得 ，故选B．
4．D ，当且仅当 ，即 时
取等号，故选D．
5．B 由题可知C、D是奇函数，故排除；对于选项A，图像是开口向下的抛物线，在 上单调递减，
故排除；对于选项B， ，所以函数 在定义域内是偶函数，当
时， 在 上单调递增，故选B．
6．A 在 上单调递减，在 上单调递增，故 ，
解得 （也可以用求导解得），故选A．
7．A 由题得，乙：．
因为甲： ，故 ．所以 ；
所以 ，故甲是乙的充分条件；
令 ，则 ．
故 ，
故 ，
故 ，
因此甲不是乙的必要条件，因此甲是乙的充分不必要条件，故选A．
8．C ，
构造 ，则 在 上恒成立，
故 在 上单调递减，所以 ，
故 ，即 ，
，而 ，
其中 ，所以 ，即 ，又 ，所以，
故 ，故 ．故选C．
9 ． ACD 函 数 的 最 小 正 周 期 是 ， 所 以 A 正 确 ； 函 数
的图象向右平移 个单位长度可得到
的图像，所以 B 错误； ，所以 C 正确；由 ，解得
，所以函数 的增区间是 ，令
，得到增区间 ，因为 ，所以D正确，故选ACD．
10．BCD 下四分位数足第25百分位数， 的下四分位数为 ，所
以A错误； 共有21个数据，中位数是这组数据的第11项，所以B正确；因为数据是
从小到大排列， 成立，所以C正确； ，
的方差是 的方差的 倍，所以D正确．故选BCD．
11．AB 因为 的图象关于 对称，所以 的图象关于 对称，则 为偶函数，
A正确；
由 得 ， ， 两 边 取 导 数 得 ， ， 即
，所以 的图象关于点 对称，则 的图象关于点 对称，B正确；
由 上 可 知 ， ， 又 ， 所 以 ， 所 以，
则 ，所以8为 的周期，则 ，C错
误；
由 在 上单调递减，又 的图象关于点 对称可知， 在 上单调递减，所以
在 上单调递减，又 的图象关于 对称，所以 在 上单调递增，由周期性
可知， 在 上单调递增，所以当 时， 取得极小值，为 ，
D错误，故选AB．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．230 ，身高超过180cm的男生的人数
约为 ．
13 ． ； 当 ，
．
14．6 由函数 相邻两条对称轴之间的距离为 ，得 ，故 ．又因为 ，
即 ， 所 以 或 ， 所 以
或 ， 又 因 为 ， 所 以 ， 故
，因为 ，故 ，结合正弦函数的图象可知，函数在
上的零点个数为6．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．解：（1）根据正弦定理得 ，．
由余弦定理 ，
得 ，
，
（负值舍去），
．
（2） ，
．
，
．
6．解：（1）5门大炮同时对某一目标各射击一次，
设击中目标的次数为 ，
则 ，
故恰好击中目标2次的概率为 ．
（2）由题意， 门大炮同时对某一目标各射击一次，
击中0次的概率为 ，
则至少击中一次的概率为 ，则 ，
即 ，
解得 ，
因为 ，所以如果使目标至少被击中一次的概率超过 ，至少需要3门大炮．
17．解：（1）由题得，在直叫棱柱 中，
，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，
故 ．
又因为 ，所以平面 平面 ．
（2）以 为坐标原点， 所在直线分別为 轴建立空间直角坐标系．
则 ，
则 ．
设平而 的法向量 ，
则 ，令 ，得 ．
，
又 ，．
故直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
18．解：（1）由 ，可得 ，
令 ，得 ，
因为函数 图像的对称中心为 ，
因此 ，解得 ．
（2）由（1）可知 ，对于任意的 ，都有 恒成立，即
恒成立．
令 ，可得 ，
令 ，即 ，即 ，
①当 时， ，则 在 上单调递增， ，符合题意；
②当 时， ，则 ，
则 在 上单调递增， ，符合题意；
③当 时， ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调递减，
当 时， ，则 在 1：单调递增，所以 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，不合题意；
综上所述， ．
19．解：（1）椭圆 ，短轴长为2，所以 ，
离心率 ，又 ，解得 ，
椭圆 的标准方程为 ．
（2）（ⅰ）证明：设 ，
①当直线 的斜率都存在时，设过 与椭圆相切的直线方程为 ，
联立直线与椭圆的方程 ，
整理可得 ，
，
由题意可得 ，整理可得 ，设直线 的斜率分別为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
，即 为圆 的直径，
．
．
②当直线 或 的斜率不存在时，不妨设 ，
则直线 的方程为 ，
所以 ，也满足 ，
所以 ，
综上， 。
（ⅱ）设点 ，
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
联立直线 与椭圆的方程 ，
消 可得 ，
，
由题意 ，整理可得 ，
由求根公式得 ，
所以直线 的方程为 ，化简可得 ，即 ，
经验证，当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 或 也满足 ，
同理可得直线 的方程 ，
因为 在直线 上，所以 ，
所以可得直线 的方程为 ，而 在圆 上，所以 ，
联立直线 与椭圆的方程 ，整理可得 ，
，
弦 长
，
又点 到直线 的距离 ，
令 ，
则 ，而 ，所以 的面积的取值范围是 ，
，
的取值范围为 ．
