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永春一中2025年11月高二年期中考数学科试卷（2025.11）
考试时间长度：120分钟，总分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．已知 ，则 （ ）
A．11 B． C．45 D．3
2．若直线 的倾斜角是直线 的倾斜角的两倍，则实数
（ ）
A． B． C． D．
3．若直线 与直线 平行，则 （ ）
A．0 B． 或0 C． D． 或1
4．若平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，直线 的方向向
量为 ，则（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
5.已知直线 ： ，“ 或 ”是“直线 与双曲线 有且
仅有一个公共点”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件
6．若两定点 ， ，点 满足 ，则点 的轨迹围成区域的面积为
（ ）
A． B． C． D．7．已知椭圆 ，直线l过坐标原点并交椭圆于 两点（P在第一
象限），点A是x轴正半轴上一点，其横坐标是点P横坐标的2倍，直线 交椭圆于点
B，若直线 恰好是以 为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知在四棱锥 中，底面是边长为2的正方形，
是以 为斜边的等腰直角三角形， 平面 ，点
是线段 上的动点（不含端点），若线段 上存在点 （不含
端点），使得异面直线 与 成 的角，则线段 长度的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．“直线 与直线 互相垂直”是“ ”的充分不必要条件
B．直线 的倾斜角 的取值范围是
C．若圆 上恰有两点到点 的距离为1，则 的取值
范围是
D．过点 且在 轴， 轴上的截距互为相反数的直线方程是
10．已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，直线 与椭圆
第2页，共2页交于 、 两点，且 ， 是椭圆 上与 、 不重合的点.下列说法正确的是
（ ）
A．若 （其中 ），则椭圆 的离心率
B．若 ，则 的最大值为
C．若 ， ，则
D．若 ，直线 、 的斜率之积为 ，则
11．在正方体 中， ，点P满足 ，其中
，则下列结论正确的是（ ）
A．当 平面 时， 不可能垂直
B．若 与平面 所成角为 ，则点P的轨迹长度为
C．当 时，正方体经过点 、P、C的截面面积的取值范围为
D．当 时， 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知空间向量 ，则向量 在向量 上的投影向量是 ．
13．2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗
又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺
术性最强的一部分．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，
黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火
之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直
角坐标系中，设将军的出发点是 ，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为 ，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营
（“将军饮马”）的总路程最短，则将军在河边饮马地点的坐标为 ．
14．如图，已知圆 是椭圆 的内接 的内切圆，其中
是椭圆的左顶点，则 ；过点 引圆 的两条切线，交椭圆于 两点，则
的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明，证明过程或演
算步骤．
15．(13分)已知圆过点 ， 且圆心 在直线 上.
(1)求圆 的方程；
(2)若直线 经过点 ，且与圆 相交截得的弦长为 ，求直线 的方程.
16．(15分)已知动点 与定点 的距离和它到定直线 距离的比是常数
.
(1)求动点 的轨迹；
(2)过 且斜率为1的直线 交动点 的轨迹于 ， 两点，求 .
17．(15分)如图，三棱锥 中， 是边长为 的正
三角形， ， 底面 于点 ， ，且
.
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值；
(3)在棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求 的值；若不存在，说明
第4页，共2页理由.
18．(17分)已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为2，椭圆 上有两
点 关于原点对称，动点 与 两点的连线分别交椭圆 于点 ，满足 ，
.
(1)求椭圆 的方程；
(2)求动点 的轨迹方程；
(3)过 点作椭圆 的两条切线（与坐标轴不垂直），试探究两切线斜率乘积是否为定值？
19．(17分)空间直角坐标系 中，任何一个平面的方程都能表示成
（其中 均为常数， ）， 为该平面的一个法向量.已知球
的半径为4，点 均在球 的球面上，以 所在
直线分别为 轴建立空间直角坐标系 ，如图所示.平
面 内的点 在球面上，点 在 轴上的投影在 轴的正
半轴上， ，过直线 作球 的截面 ，使得平面
平面 ，设截面 与球 球面的交线为圆 （ 为线段 的中点）.
(1)求点 的坐标.
(2)若平面 ，证明：平面 平面 .
(3)已知点 在平面 内，设线段 在平面 内绕着点 逆时针旋转 弧
度至 ，点 在圆 上，且 ，过 作 平面 ，垂足为点 .
①用 表示点 的坐标；
②若 ，求点 到平面 距离的最大值；③若 ，当直线 与平面 所成的角最小时，求 的值.
第6页，共2页
