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阆中中学校高 2021 级 2023 年秋一模
数 学 试 题（理）
（满分：150分 考试时间：120分钟）
一、单选题。(每小题5分，共计60分)
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．在等比数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．若曲线 在 处的切线与直线 垂直，则实数 （
）
A．1 B． C． D．2
5．已知函数 的部分图像如图，则函数 的解析式可能为（
）
A． B．
C． D．
6．已知向量 满足 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7．设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为（ ）
A．-8 B．-15 C．-20 D．-21
1
学科网（北京）股份有限公司8． 已知函数 的最小正周期为T，若 ，且 是
的一个极值点，则 （ ）
A． B．2 C． D．
9． 已知函数 ，则对任意非零实数x，有（ ）
A． B．
C． D．
10．圆O是边长为 的等边三角形ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M圆上
任意一点， （x， ），则 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
11．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣
传
和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文
化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如
图
所示，该伞的伞沿是一个半径为 的圆，圆心到伞柄底端距
离
为 ，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，
北京的阳光与地面夹角为 ），若伞柄底端正好位于该椭圆的
焦点位置，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．定义在 上的奇函数 满足 ，且在 上单调递减，若方程
在 上有实数根,则方程 在区间 上所有实根之和是（
）
A．30 B．14 C．12 D．6
二、填空题。（每小题5分，共计20分）
13．在某市的一次高三测试中，学生数学成绩X服从正态分布 ，已知
，若按成绩分层抽样抽取100份试卷进行分析，其中120分以
上的试卷份数为 .
14． 的展开式中 的系数为 （用数字作答）．
215．点M是双曲线 渐近线上一点，若以M为圆心的圆与圆C：x2+y2-4x+3=0
相切，则圆M的半径的最小值等于 .
16．如图，菱形ABCD的边长为2， .将 沿AC折到PAC的位置，连接PD
得三棱锥 .
①若三棱锥 的体积为 ，则 或3；
②若 平面PAC，则 ；
③若M，N分别为AC，PD的中点，则 平面PAB；
④当 时，三棱锥 的外接球的体积为 .
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题。（共70分，第17——21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第
22,23
题为选考题，考生根据要求作答）
17．(12分)某工厂甲、乙两套设备生产相同的电子元件，现分别从这两套设备生产的电
子元件中随机抽取100个电子元件进行质量检测，检测结果如下表：
测试指
标
数量/个 8 12 20 110 50
已知测试指标大于或等于80为合格品，小于80为不合格品，其中乙设备生产的这
100个电子元件中，有10个是不合格品．
（1）请完成以下 列联表：
甲设备 乙设备 合计
合格品
不合格
品
合计
（2）根据以上 列联表，判断是否有 的把握认为该工厂生产的这种电子元
件是否合䅂与甲、乙两套设备的选择有关．
参考公式及数据： ，其中 ．
3
学科网（北京）股份有限公司0.00
0.100 0.050 0.010 0.001
5
7.87
2.706 3.841 6.635 10.828
9
18．（12分）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
.
（1）求 ；
（2）若点 在边 上， ， ， ，求 的面积.
19．（12分）如图，平面 平面ABS，四边形ABCD为矩形， 为正三角形，
， 为AB的中点．
（1）证明：平面 平面BDS；
（2）求二面角 的正弦值．
20．（12分）已知斜率为 的直线 与抛物线 相交于 两点．
（1）求线段 中点纵坐标的值；
（2）已知点 ，直线 分别与抛物线相交于 两点（异于 ）．
求证：直线 恒过定点，并求出该定点的坐标．
21．（12分）已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 ，求实数a的取值范围.
22．（10分）在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 参
4数），
以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
，其中 .
（1）求曲线 与曲线 的交点的极坐标；
（2）直线 与曲线 ， 分别交于M，N两点（异于极点O），P为
上的动点，求 面积的最大值.
23．（10分）已知 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 时不等式 成立，求 的取值范围。
5
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