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昭通一中教研联盟 2025 年秋季学期高二年级期中考试
数学（B 卷）参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B A D C A B
【解析】
1．因为 ，所以 ，则 ，故选D．
2．因为 ，所以 ，故选C．
3．由双曲线 的离心率为2，得 ，解得 ，而双曲线
的渐近线方程为 ，即 ，所以该双曲线的渐近线方程为 ，故
选B．
4 ． 由 函 数 单 调 性 的 性 质 可 知 函 数 是 实 数 集 上 的 增 函 数 ， 因 为
，所以函数 的零点所在区间为(−1，0)，故选A．
5．因为 ，所以直线 ，设两条平行线间的距离
为d， ，故选D．
6．设圆锥的高为h，底面半径为r，又母线长为 ，而母线与底面所成的角是30°，则
， ，所以体积为 ，故选C．
7．因为 ， ，所以 ，由正弦定理， ，则 ，故选A．
8．若 在R上单调递增，需满足 ，解得 ；若 在R上单调递减，
需满足 ，无解，综上，a的取值范围是 ，故选B．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项
是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
题号 9 10 11
答案 AC BCD ABD
【解析】
9．据棱柱的定义可知 ，故A正确；由于ABCDEF为正六边形，则直线EF与AB
相交，所以直线EF与平面 不平行，故B错误；由于棱柱的上下两个底面互相平
行，点 和 都在上底面，故点 和 到下底面的距离相等，C正确；由于 ，
而直线AD与CF不垂直，所以D错误，故选AC．
10．对于A，当 不成立，A错误；对于B，由 ，得数据1，3，5，7，9，
11，13，15的第75百分位数是 ，B正确；对于C，充分性：不妨设 ，
则 ，因为 ，所以 ，所以 在R上单调递增．
必要性： ，不妨设 ，则 ，因为 在R上单调递增，
所以 ，所以 ，所以 ，C正确；对于D，由
单 位 向 量 满 足 ， 得 ， 解 得 ， 又
，则 ，D正确，故选BCD．11．设双曲线 的半焦距为c，因为 为双曲线的右焦点，则 ，所以
，则双曲线 C 的方程为 ，所以双曲线 C 的渐近线方程为
和 ，对于A，点 到渐近线 的距离 ，
点 到渐近线 的距离 ，所以点F到C的渐近线的距离为
2，A正确；设 ，因为P为右支上一点，所以满足 ，对于B，
，当 ， ，B正确；
对于 C，当 轴时，则 ，所以 ，又点 A 的坐标为(−1，0)，所以
， C 错 误 ； 对 于 D ， 圆
的圆心E的坐标为 ，半径为1，易知 为双曲线的
左焦点，所以 ，则 ，
当M为线段PE的延长线与圆 的交点时等号成立，所以 的
最大值为3，D正确，故选ABD．
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
题号 12 13 14
答案 1 0.1
【解析】
12．因为 ， 且 ，所以 ，解得 ．
13．因为 ，且A与B相互独立，则 ．14．由题意得圆心C为(1，0)，半径为2，圆心 到直线 的距离为 ，因为圆上到
直线的距离为1的点有且仅有2个，所以 ，解得 或 ．
四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
解：（1）由图可知， ，解得 ，
………………………………………………………………………………（4分）
（2）立定跳远距离在[160，200]内的人数为 ，
所以这200名学生立定跳远距离在[160，200]内的人数为50人．
………………………………………（7分）
（3）该校每个学生立定跳远的平均距离为
，
该校每个学生立定跳远的平均距离为218cm． …………………………………（13分）
16．（本小题满分15分）
解：（1）由题意得圆C的标准方程为 ，所以圆心坐标为(2，0)，
………………………………………………………………………………（1分）
由直线的点斜式方程可得直线方程为 ，
即 ． …………………………………………………………（5分）
（2）因为过点(1，0)的直线m与l垂直，所以直线m的方程为 ，
即 ， ……………………………………………………………（9分）
圆心(2，0)到直线m的距离为 ， …………………………（12分）
所以弦AB的长为 ． ………………………………………（15分）
17．（本小题满分15分）解：（1）
， ………………………………………（2分）
令 ，解得 ， ， ……………………………（4分）
所以 的最小正周期 ，对称中心为 ， ．
…………………………………………（6分）
（2）因为 的图象向右平移 个单位得到 的图象，
所以 ， ……………………………………（8分）
， ………………………………………（10分）
当 ，即 时， ， 取得最大值 ，
所以 在区间 上的最大值为 ，此时 ． ………………（15分）
18．（本小题满分17分）
解：（1）由条件可知， ，
，所以 ，
则椭圆的方程为 ． …………………………………………………（5分）
（2）设直线l的方程为 ，
联立方程组 ，消去y，得 ．
………………………………………（9分）于是 ，
又 ， ， ，可得 ，
………………………………………………（14分）
故 ，即 ，解得 ．
………………………………………（17分）
19．（本小题满分17分）
（1）证明：法一：在正方形 中，连接FG，
由条件易知 ，所以 ，
则 ，
故 ，即 ，
………………………………………（2分）
在正方体中，易知 ，且 ，
所以 ，
又 ，∴ ，
∵ ， ，
， ． ………………………………………（5分）
法二：如图，以D为中心建立空间直角坐标系，
则B(4，4，0)，E(2，0，4)，F(2，4，4)，G(0，4，3)，
………………………………………………（2分）
所以 ，
∵ ． ………………………………………（5分）
（2）解：同上法二建立的空间直角坐标系，
所以 ，设 是平面BEF的一个法向量，
则 ，令 ，则 ，
所以 ， ……………………………………（7分）
∴ ，
设平面BEG的一个法向量为 ，所以 ，
令 ，则 ，即 ， …………………………………（9分）
设平面BEF与平面BEG的夹角为 ，
则 ， ………………………………（10分）
∴ ． ………………………………………………………………………（11分）
（3）解：由（1）知 ， ，∴ ，
易知 ， ……………………………（14分）
又 ，则D到平面BEF的距离为 ，
………………………………………（16分）
由棱锥的体积公式知： ．
………………………………………………………………………………（17分）
