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昭通一中教研联盟 2025 年秋季学期高二年级期中考试
数学（A 卷）参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A B A C D A
【解析】
1．因为 ，所以 ，故选B．
2．直线 ： ， ： ， ，则 ，解得
或1，故选C．
3．因为 ， ，所以 ，则 ，由双曲线的定义可知，
点P的轨迹为双曲线的一支，故选A．
4．根据题意知圆心为 ，半径为 ，故圆方程为 ，故选B．
5 ． 当 时 ， ， ，
， ，…，无穷数列 周期性变化，周期
为2，所以 ，故选A．
6．因为直线 与抛物线 交于 两点，且 ，根据抛物线的对称
性，不妨设D点在第一象限，可以确定 ，所以 ，代入抛物线方
程 ，求得 ，所以其焦点坐标为 ，故选C．7．建立如图1空间直角坐标系 ，则 ，
， ，故点 到直线 的距离
，故选D．
图
8．如图 2，函数 的图象的两条渐近线为 和
，直线 为其实轴，易得：渐近线与实
轴 所 成 的 角 为 ， 则 ，
， 故 选
图2
A．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项
是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
题号 9 10 11
答案 BCD AC ABD
【解析】
9． 时， ， 时，
综上， ，所以，数列 是递减数列，故A错误； ，故
B正确； 时， ，故C正确； ，所以当 或 时， 取得最
大值，故D正确，故选BCD．
10．以 为原点建立如图3所示空间直角坐标系，则有 、
、 、 、 、 、
、 ；对A： 、
， 设 直 线 与 直 线 所 成 的 角 为 ， 则
图3，故直线 与直线 所成的角
为 ，故A正确；对B：由 轴 平面 ，则平面 的法向量可为 ，
又 ，则 ，设直线 与平面 所
成角为 ，则 ，则 ，故B错误；对C：
、 ， 设 平 面 的 一 个 法 向 量 为 ， 则 有
，取 ，则 ，设平面 与平面DCB的夹角为 ，
又平面 的一个法向量为 ，则 ，故
平面 与平面DCB的夹角为 ，故C正确；对D： 、
、 ，设平面 的法向量为 ，则有 ，
取 ，则 ，则点 到平面 的距离 ，故D错误，
故选AC．
11．对于A：由图可知，曲线 关于 轴对称，A选项正确；对于B：明显是 ， 到原点
的距离最小，最小值为 ，所以B正确；对于C： ， ， 所在的圆的方程分
别为 ， ， ，曲线 与 轴围成的图形是
一个半圆，一个矩形和两个 圆，其面积为 ，故C错误；对
于D：由对称性知：Ω截直线 所得弦长可由 所在的圆截得的弦长加上一个矩形的长4，而 所在的圆的方程为 ，圆心 ，圆心到直线 的距
离 ，截得的弦长为 ，则所求弦长为 ，故 D 正确，故选
ABD．
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
题号 12 13 14
答案
【解析】
12．在等差数列 中， ， ，所以 ，
．
13．在平行六面体 中， ， ， ，
，如图4， ，则
．
．
14．［方法一］：点差法
图4
设 ，则 ，所以 ，所以 ，
取AB中点 ，分别过点A,B作准线 的垂线，垂足分别为 ，因为
， ，因为 为AB中点，所以 平行于x轴，因为 ，所以 ，则 ，即 ．
［方法二］：【最优解】焦点弦的性质
记抛物线的焦点为F，因为 ，则以 为直径的圆与准线相切于点M，由抛
物线的焦点弦性质可知 ，所以 ．
［方法三］：【通性通法】暴力硬算
由题知抛物线 的焦点为 ，设直线 的方程为 ，代
入 中 得 ， 设 ， 则
，同理有 ，由 ，即 ．
又 ，所以
，得 ．
四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
解：（1）由题意对任意正整数 ，有 ，
令 时， ，即 ，可得 ； ……………………………………（2
分）
令 时， ，即 ，可得 ．
………………………………………………（4分）
由 ，猜想： ． …………………………………（6分）
（2）由（1）可知 ；
当 时，由 得 ，
则 ， ………………………（8分）即 ，即 ， ………………………………………（10分）
故 时， ，
………………………………（12分）
且 也适合上式，所以 ．
…………………………………………………（13分）
16．（本小题满分15分）
（1）证明：不妨设 ，以 为原点，
所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系， 如 图
5，………………………………………（2分）
, ， ， ，
图5
， ， ……………………………（4分）
因为 ， ………………………………………（6分）
所以 ． ………………………………………（7分）
（2）解： , ， ………………………………（9分）
易知平面 的一个法向量为 ， ………………………………（11分）
设直线 与平面 所成角为 ，则
， ……………………………（14分）
即直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
………………………………………………（15分）
（最后一句话不写也可不扣分1分，用几何法做酌情给分）
17．（本小题满分15分）
解：（1）因为双曲线E的渐近线方程为 ，所以 ，解得 ， ………………………………………（1分）
从而 ，即 ， ………………………………………（3分）
所以右焦点为 ，从而 ，解得 ， ………………………………（5分）
抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程依次分别为 ， ．
………………………………………（7分）（一个方程一分）
（2）由题意直线 ，它过抛物线的焦点 ，如图6，
联立抛物线方程得 ，化简并整理得 ，
…………………………………（9分）
显然 ， ，
图6
所以 ， ………………………………………（11分）
点 到直线 的距离为 ， …………………………………（13分）
所以 ，即 的面积为 ．
………………………………（15分）
18．（本小题满分17分）
解：（1） ， ，解得 ，
…………………………………（1分）
，
又 ，
， ………………………………………（3分）
即 ，解得 或 ， ………………………………………（5分）当 时， ；
当 时， ． ………………………………………（7分）
（2） 为等差数列，
，即 ，
，即 ，
解得 或 ， ………………………………………（9分）
， ，
又 ，由等差数列性质知， ，
即 ， ………………………………………（11分）
，即 ，解得 或 （舍去）．
………………………………………（13分）
当 时， ，解得 ；
…………………………………………（15分）
当 时， ，解得 ，与 矛盾，无解．
综上， ． ………………………………………（17分）
19．（本小题满分17分）
解：（1）由题可知 ，
直线 的方程为 ，可化为 ，
…………………………………………（1分）
直线 的方程为 ，可化为 ，
…………………………………（2分）则两式联立得 ，所以椭圆方程为 ．
…………………………………（3分）
（2）①设直线 的方程为 ， ， ，
…………………………………（4分）
与椭圆 的方程： 联立消去 可得： ，
则 ， ，………………………………………（6分）
所以
，
…………………………………………………（8分）
代入 ，可得 ． ………………………（10分）
②易得，直线 的斜率存在．设直线 的方程为 ，
， ，如图7，联立直线 与圆 的方程，
消去 可得 ，
则 ，
图7
………………………………………（12分）
所以
， …………………………（14分）代入 ，可得 ． ……………………（16分）
综上，直线 恒过定点 ． ………………………………………（17分）
