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洛阳一高2024—2025学年高二（上）开学摸底考
数 学
考生注意：
1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题
卡上填写清楚；
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试
卷上作答无效；
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知定义在 上的函数 满足 ，且当
时， ，则不等式 的解集为（ ）
A. 或 B. 或
C. D.
2.已知函数 满足： ， ，则下列说法正
确的有（ ）
A. 是周期函数 B.
C. D. 图象的一个对称中心为
3.已知函数 的零点分别为a，b，c，则a，
b，c的大小顺序为（ ）
A. B. C. D.
4.若一枚质地均匀的骰子连续抛两次，则点数之和不小于8的概率是（ ）
A. B. C. D.
5.已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ，则
（ ）
A. B. C. D.
6.在某城市正东方向200km处有一台风中心，它正向西北方向移动，移动速度的大小
为20km/h，距离台风中心150km.以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动
趋势不变，大约几小时后该城市所在地开始受到影响.(参考数据： （ ）
A.2 B.4.5 C.9.5 D.10
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学科网（北京）股份有限公司7.若函数 在 内恰好存在8个 ，使得
，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.若某圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球表面积为 ，则该圆锥的体积
为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共 18分.在每小题给出的选
项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2
个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.
9.已知 ，集合 ，若存在 ，使得集合
恰有五个元素，则 的可能取值为（ ）
A. B. C.3 D.
10.如图，直线 与半径为1的圆 相切于 点，射线 绕着 点逆时针方向旋转
到 ，在旋转过程中射线 交圆 于 点，设 ，且恒满足
，射线 扫过圆 内部（阴影部分）的面积为 ，则下列
正确的是（ ）
A. B. 的单调递增区间为
C.点 为 的对称中心 D. 在 瞬时变化率最大
11.已知函数 ，则（ ）
A. 在 上的最大值为 B. 为偶函数
C. 为奇函数 D. 在 上单调递减
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
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学科网（北京）股份有限公司12.若函数 ，存在 ，使得 ，则实数 的值为
.
13.2023年11月，国家自然资源部公布了四川省9座名山的高度数据，其中最高的
是贡嘎山，它的高度数据为7508.9米，三角高程测量法是测量山体高度的方法之
一.如图是三角高程测量法的一个示意图， 三点在同一水平面上的投影
，满足 ， .由 点测得
点的仰角为 ，由 点测得A点的仰角为 ，则 的高度为 .
14.已知三个复数 ， ， ，且 ， ， ， 所对应的向量 ，
满足 ；则 的最大值为 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤.
15.（13分）已知函数 .
(1)当 时，求 在 上的最值；
(2)设函数 ，若 存在最小值 ，求实数a的值.
16.（15分）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标
有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方
图：
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学科网（北京）股份有限公司利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳
性，小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概
率，记为 ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为 .假设数据在组内
均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1)当漏诊率 ％时，求临界值c和误诊率 ；
(2)设函数 ，当 时，求 的解析式，并求 在区间
的最小值.
17.（15分）在 中，内角 的对边分别为 ，且
.
(1)求角 的大小；
(2)点 是 上的一点， ，且 ，求 周长的最小值.
18.（17分）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形，平面
平面 ， ， ， ，点E，F分别为棱PD，BC的中
点，点G在线段AF上.
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学科网（北京）股份有限公司(1)证明： 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离；
(3)设直线 与平面 ，平面 ，平面 所成的角分别为 ， ， ，求
的最大值.
19.（17分）设函数 .
(1)设 ， 在 处取得最大值，求 ；
(2)关于x的方程 在区间 上恰有12个不同的实数解，求实数k的取
值范围.
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学科网（北京）股份有限公司数学参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】B
【解析】因为 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，且 ，则 ，
整理得 ，
因为 ，则 ，可得 ，
所以 ，即 ，
可知 在定义域在 上单调递增，
又因为 ，即 ，
可得 ，即 ，
结合 在定义域在 上单调递增，可得 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集为 或 .
故选：B.
2.【答案】A
【解析】对于A，由于
，故
.
从而 ，这就得到
，所以 ，即
.
所以 是周期函数，故A正确；
对于B，C，D，取 ，则 满足条件，但
， ，同时由于 ，
，从而 关于 的对称点 并不在函数图象上，故B，C，D错误.
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学科网（北京）股份有限公司故选A.
3.【答案】B
【解析】解：由 得 ， ，
由 得 ，由 得 .
在同一平面直角坐标系中画出 、 、 的图象，
由图象知 ， ， .
故选B.
4.【答案】C
【解析】一枚质地均匀的骰子连续抛两次，两次点数共有36种情况，
其中点数之和为8的情况如下： ，
点数之和为9的情况如下： ，
点数之和为10的情况如下： ，
点数之和为11的情况如下： ，
点数之和为12的情况如下： ，
故点数之和不小于8的情况共有 种，
则点数之和不小于8的概率为 .
故选C.
5.【答案】B
【解析】在 中，由 ，得
，
整理得 ，而 ，
解得 ，而 ，所以 .
故选B.
6.【答案】B
【解析】
如图，当台风中心向西北方向移动到达点 时， 的距离恰好150km，此时该城市
所在地开始受到影响，
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学科网（北京）股份有限公司设 小时后该城市所在地开始受到影响, 台风中心移动速度的大小为20km/h，所以
km，由题意知， km,
又台风中心向西北方向移动，所以 ,
由余弦定理可得，
解得 或 （舍），
则开始受到影响在 之后.
故选B.
7.【答案】D
【解析】由题意可得：
，
由 可得 ，
因为 ， ，则 ，
由题意可得 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
故选D.
8.【答案】B
【解析】
如图，由题意知 内切圆和外接圆同圆心，即 的内心与外心重合，则
为正三角形，
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学科网（北京）股份有限公司因为内切球表面积为 ，设内切圆的半径为 ，则 ，所以内切圆的半径为
1，所以 的边长为 ，
所以圆锥的底面半径为 ，又高为 ，
故圆锥体积 ，
故选B.
二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共 18分.在每小题给出的选
项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2
个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.
9.【答案】AB
【解析】函数 ，
则 ,
所以 ，或 ，
因为 ，所以 ，
因为使得集合 恰有五个元素，
则 ， ， ，
，或 ，
所以 ，解得 .
故选AB.
10.【答案】ACD
【解析】A ，所
以本选项正确；
B：因为 ，故 的单增区间为 ，因此本选项错误；
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学科网（北京）股份有限公司C：因为 ，
所以点 为 的对称中心，因此本选项正确；
D：因为 ，故 在 瞬时变化率最大，因此本选项正确.
故选：ACD.
11.【答案】BD
【解析】
,
对于A， ，所以 ，所以 ，则 在
上的值域为 ，函数的最大值为 ，故A错误；
对于B，设 ，则
，所以 为偶函数，故B正确；
对于C，设 ，则
，所以 不是奇函数，故C错误；
对于D， ， ，令 ，设
，则 时， 单调递减，所以原函数 在 上单调
递减，故D正确；
故选BD.
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】
【解析】由余弦函数的性质，可得 ，所以 的值域为
，则 ，
当 或者 时， 均大于零或者均小于零， 不可能等
于-1，不满足题意；
当 时，此时 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为存在 ，使得 ，则满足 ，即 ，所以
，所以实数 的值为 .
13.【答案】
【解析】因为 ，
，
分别过 做 ，垂足分别为 ，
在 中，则 ，
由正弦定理 ，
可得 ， ，
在 ， ，
则 ，
在 中， ，
则 ，
所以 .
故答案为： .
14.【答案】
【解析】设复数 ， ， 在复平面内对应的点分别为A， ， ，
因为 且 ， 所对应的向量 ， 满足 ，即 ，
不妨令 ， ，则 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司又 ，设 ，即 ,
则 ，
所以
，
所以当 时 取得最大值，即 .
故答案为 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤.
15.（13分）【答案】(1)最小值为 ，最大值为0； (2)6
【解析】（1）当 时， ,
设 ，则 ，开口向上，对称轴 ，
所以函数 在 单调递减， 单调递增，
所以
所以 在 上的最小值为 ，最大值为0.
（2）
,
设 ，当且仅当 ，即 时取得等号，
所以 ，对称轴 ，
当 ，即 时， 在 单调递增，
则 ，解得 ，不满足题意；
当 ，即 时， 在 单调递减， 单调递增，
所以 ，解得 或 （舍去），
综上，实数a的值为6.
高二数学试卷 第 12 页（共 16 页）
学科网（北京）股份有限公司16.（15分）【答案】(1) ， ； (2)
，最小值为 .
【解析】（1）依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为 ，所以
，
所以 ，解得： ，
.
（2）当 时，
；
当 时，
,
故 ，
所以 在区间 的最小值为 .
17.（15分）【答案】(1) ； (2) .
【解析】（1）由二倍角公式得，
故由正弦定理得 ，而
，
故 ，
则 ；
（2）设 ，设 ，则 ，
在 中， ，即
在 中， ，即
周长 .
高二数学试卷 第 13 页（共 16 页）
学科网（北京）股份有限公司令 ，则
.
即周长最小值为 .
18.（17分）【答案】(1)证明见解析； (2) ； (3)
【解析】（1）连接 ，取 的中点 ，连接 ，因为底面 为菱形，且
，
所以 、 为等边三角形，所以 ，又平面 平面 ，平面
平面 ，
平面 ，所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）因为 平面 ， 平面 ，所以 ， ，
又 ， ， ，所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
设点 到平面 的距离为 ，则 ，即 ，
解得 ，即点 到平面 的距离 .
（3）连接 ， ，则 且 ，
又 平面 ，所以 平面 ，则 为直线 与平面 所成
的角，即 ，所以 ，
取 的中点 ，连接 ，则 且 ，
又 为 中点，所以 ，又 ，所以 ，
高二数学试卷 第 14 页（共 16 页）
学科网（北京）股份有限公司由 平面 ， 平面 ，所以 ， ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，则 平面 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
连接 ， ，则 为直线 与平面 所成的角，即 ，
所以 ，
为直线 与平面 所成的角，即 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，设 ， ，
所以 ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以
，
因为 ，所以 ，
所以当 时 取得最大值，且最大值为 ，
所以 .
19.（17分）【答案】(1) ； (2)
【解析】（1）解：因为 ，
所以函数 关于直线 对称，
高二数学试卷 第 15 页（共 16 页）
学科网（北京）股份有限公司因为当 时， ，其中 ，
，
所以存在 ，使得 为函数 在区间 上的最大值，由对称性可知
也为 在区间 上的最大值，
所以 ，
所以 ， ，
，
由对称性可知还存在 ，使得 为函数 在区间 上的最大值，
所以 ， ，
综上， ；
（2）解：因为 ，
所以函数 为周期函数，周期为 ，
所以原问题等价于关于 的方程 在区间 上恰有 个不同的实数解，
又由对称性可知关于 的方程 在区间 上恰有 个不同的实数解，
当 时， ， ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
高二数学试卷 第 16 页（共 16 页）
学科网（北京）股份有限公司
