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渝北中学2023-2024学年高三11月月考质量监测
数学 试题
（全卷共四大题22小题 总分150分 考试时长120分钟）
注意事项：
1.答题前，考生务必将姓名、班级填写清楚.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清晰.
3.请按照题号顺序在答题卡相应区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在试卷和草稿纸上答题无效.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合 ， ， ，则(∁ A)∪B=（ ）
U
A． B． C． D．
2.已知角 终边上有一点 ，则 是（ ）
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
3．现有一张正方形剪纸，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到2张纸片，再从中
任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，得到3张纸片，……，以此类推，每次从
纸片中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，若经过10次剪纸后，则得到的所
有多边形纸片的边数总和为（ ）
A．33 B．34 C．36 D．37
4．设 ， 是两个平面，直线 与 垂直的一个充分条件是（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
5．已知 ，且 ，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
6．如图，在边长为2的等边三角形 中，点 为中线 的三等分
点
(靠近点B)，点F为BC的中点，则 （ ）
A. B. C. D.
7．若 都是正实数，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B. C．4 D．
8．若a，b是函数 的两个不同的零点，且a，b，-1这三个数可
适当排序后成等比数列，也可适当排序后成等差数列，则关于 的不等式 的解集
为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项
是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
9. 已知向量 a=(-1,3) ， b=(x,2) ，且 (a-2b)⊥a ，则（ ）
A. ⃗b=(1,2) B. |2 ⃗ a- ⃗ b|=25
C. 向量⃗a与向量⃗b的夹角是45° D. 向量⃗a在向量⃗b上的投影向量的坐标是(1,2)
10．如图，在棱长为 的正方体 中， ， ， ， 分别是 ， ， ，
的中点，则下列说法正确的有（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． ， ， ， 四点共面
B． 与 所成角的大小为
C．若 是线段 中点，则 平面
D．在线段 上任取一点 ，则三棱锥 的体积为定值
11．已知函数 的定义域为 ， 是奇函数， ，函数 在 上
递增，则下列命题为真命题的是（ ）
A． B．函数 在 上递减
C．若 ，则 D．若 ，则
12．已知函数 的部分图象如图1所示， 分别为图象的最
高点和最低点，过 作 轴的垂线，交 轴于 ，点 为该部分图象与 轴的交点，将绘
有该图象的纸片沿 轴折成直二面角，如图2所示，此时 ，则下列四个结论正
确的有（ ）
A．
B．
C．图2中，
D．图2中， 是 及其内部的点构成的集合.设集合 ，则 表示的区
域的面积大于
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
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学科网（北京）股份有限公司13．已知等比数列 的前 项和为 ， ， ，则 ．
14．正四棱锥P－ABCD的所有棱长均相等， 是 的中点，那么异面直线 与 所成角
的余弦值为 .
15．已知函数 在区间 上的值域为 ，则 ．
16．设函数 ， ，若 在区间 上有且只有一个零点，
则实数 的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）已知 是首项为 的等比数列，且 ， ， 成等差数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ， ，求数列 的前 项和 .
18．（本小题满分12分） 内角A，B，C的对边分别为 ， ， ，已知 ， ，
的面积为 ．
（1）求 的值；
（2）若点 是边 上一点，且 ，求 的长．
数学试卷第4页 共6页
学科网（北京）股份有限公司19．（本小题满分12分）某商场对 ， 两类商品实行线上销售（以下称“ 渠道”）和
线下销售（以下称“ 渠道”）两种销售模式． 类商品成本价为120元件，总量中有
40%将按照原价200元/件的价格走 渠道销售，有50%将按照原价8.5折的价格走 渠道
销售； 类商品成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格走 渠道
销售，有40%将按照原价7.5折的价格走 渠道销售．这两种商品剩余部分促销时按照原
价6折的价格销售，并能全部售完．
（1）通过计算比较这两类商品中哪类商品单件收益的均值更高（收益＝售价－成本）；
（2）某商场举行让利大甩卖活动，全场 ， 两类商品走 渠道销售，假设每位线上购买
， 商品的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买商品的顾客中购买
类商品的概率为 ．已知该商场当天这两类商品共售出5件，设 为该商场当天所售 类
商品的件数， 为当天销售这两类商品带来的总收益，求 和 的期望 ．
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学科网（北京）股份有限公司20．（本小题满分12分）如图，在几何体 中， 是边长为2的正三角形，D，E
分别是 ， 的中点， ， 平面 ， ．
（1）若 ，求证： 平面 ；
（2）若 ，且平面 与平面 夹角的余弦值为 ，
求直线 与平面 所成角的正弦值．
21．（本小题满分12分）“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”，“大衍数列”
来源于《乾坤谱》，用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.“大衍数列” 的前几
项分别是：0，2，4，8，12，18，24，…，且 满足 其中 .
（1）求 （用 表示）；
（2）设数列 满足： 其中 ， 是数列 的前 项的和，
求证： ， .
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学科网（北京）股份有限公司22．（本小题满分12分）已知 ；
（1）若 有两个零点，求 的取值范围；
（2）若方程 有两个实根 ， ，且 ，证明： ．
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