文档内容
2024年10月
绵阳南山中学集团学校高2022级10月联考
数学试卷
命题人:李沙桐 何先俊 审题人:冯新凯 邓燕莉
一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.)
1.已知集合 ,则 ( )
A={x|x2−3x−4≤0},B={x|−20,ω>0)的图象如下,则其解析式可能是( )
y
O x
-1
A. ( 2π) B. ( π)
f (x)=2cos 2x− f (x)=2cos 2x−
3 3
C. ( π) D. 2π
f (x)=2cos 2x+ f (x)=2cos(2x+ )
3 3
Q
6.研究发现一种鸟类迁徒的飞行速度v(单位:m/s)与其耗氧量Q之间的关系式为:v ==a+blog 1(其中
1 310
a,b是实数).据统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,其飞行速度
Q
为1 m/s.大西洋鲑鱼逆流而上时其游速为v(单位:m/s),耗氧量单位数为Q ,统计发现:v 与 log 2
2 2 3100
成正比.当v =1 m/s时,Q =900.
2 2
1若这种鸟类与鲑鱼的速度v 与v 相同时,则Q 与Q 的关系是( )
1 2 1 2
A. B. C. D.
Q2=9Q Q2=9Q Q2=3Q Q2=3Q
2 1 1 2 2 1 1 2
7.已知 , 是函数 图象上两个不同的点,则下列4个式子中正确的是( )
(x ,y )(x ,y ) y=log x
1 1 2 2 2
①x
1
+x
2<2
y 1 +
2
y 2;②x
1
+x
2>2
y 1 +
2
y 2;③
log
2
<−
y
1
+ y 2;④
log
2
>−
y
1
+ y
2
2 2 2 x +x 2 2 x +x 2
1 2 1 2
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
8.设函数 , ,当 时,曲线 与 交点个数的情况
f(x)=a(x+1) 2−1 g(x)=cosx+2ax x∈(−1,1) y=f(x) y=g(x)
有( )种.
A.1 B.2 C.3 D.4
二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得
6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.)
9.下列叙述正确的是( )
A.若等差数列 的公差 ,则数列 为递增数列
{a } d>0 {a }
n n
B.若等比数列 的公比 ,则数列 为递增数列
{b } q>1 {b }
n n
C.若b2=ac,则a、b、c成等比数列
D.若 是等比数列 的前2n-1项和,则 无解
S {c } S =0
2n−1 n 2n−1
10.设函数f(x)=(−x+a)ln(x+b),若f(x)≤0,则a2+b2的最值情况是( )
A.有最大值 B.无最大值 C.有最小值 D.无最小值
11.定义在R上的函数f (x)的导函数为g(x),且满足下列条件:
f (2x)+f (−2−2x)=0,g(2x)=−g(2−2x),且f (1)=1.
则下列正确的是( )
A.函数y=g(x)的周期为8 B.函数y=g(2x)的图象关于点(1,0)对称
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C. D.
函数y=f (x)的图象关于点(−1,0)对称 ∑ f(i)=0
i=1
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上.)
12.若数列 的通项公式是 ,且等比数列 满足 , ,则 _____.
{a } a =2n {b } b =a b =a b =
n n n 2 1 5 8 n
π
13.设函数f(x)=|sinωx|(ω>0),已知f(x )=1,f(x )=0,且|x −x |的最小值为 ,则ω=_____.
1 2 1 2 2
14.在如下图的4×4的方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有1个方格被选中,在所有符合上述要求的
选法中,选中方格中的4个数之和的最小值是_____.
8 27 32 62
3 23 37 63
6 27 38 66
5 26 39 66
2四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(13分) 2021年8月,义务教育阶段“双减”政策出台,某初中在课后延时服务开设奥数、科技、体育等
特色课程.为了进一步了解学生选课的情况,随机选取了400人进行调查问卷,整理后获得如下统计表:
喜欢奥
不喜欢奥数 总计
数
已选奥数课(A组) 150 50 200
未选奥数课(B组) 90 110 200
总计 240 160 400
(1)若从样本内喜欢奥数的240人中用分层抽样方法随机抽取32人,则应在A组、B组各抽取多少人？
(2)依据小概率值α=0.005的独立性检验,能否认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关？
附:
参考公式: ,其中 .
16.(15分)阅读一元二次方程韦达定理的推导过程,完成下列问题:
设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c∈R)的两根为x ,x ,则ax2+bx+c=a(x−x )(x−x ),
1 2 1 2
展开得: ax2+bx+c=ax2−a(x +x )x+ax x ,比较系数得: b=−a(x +x ),c= ax x ,
1 2 1 2 1 2 1 2
b c
于是x +x =− ,x x = .
1 2 a 1 2 a
(1)已知一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0,a,b,c,d∈R)的三个根为x ,x ,x ,类比于上述推导过
1 2 3
程,求x x x ;
1 2 3
(2)已知f (x)=x3−6x2+9x+1,若存在三个不相等的实数m,n,t,使得f (m)=f (n)=f (t),求mnt的取值范
围.
17.(15分)如图所示,l 与l 之间的距离为2,l 与l 之间的距离为1,且点
1 2 2 3
π
A、B、C分别在l 、l 、l 上运动,∠CAB= ,令∠CAF=α.
1 2 3 3
3l C
3
l B
2
α
l
1
F A
(1)判断△ABC能否为正三角形？若能,求出其边长的值;若不能,请说明理由;
(2)求△ABC面积的最小值.
18.(17分)已知函数
f (x)=12ax2+4x−lnx(a∈R).
(1)若函数y=f (x)在(0,+∞)上是减函数,求实数a的取值范围;
(2)“若函数y=f (x)在(0,1)上只有一个极值点,求实数a取值的集合”,某同学给出了如下解法:
1 24ax2+4x−1 1
由f'(x)=24ax+4− = =0在(0,1)上只有一个实数根,所以△=16+96a=0,得a=− ,
x x 6
1 1
此时x= ∈(0,1).所以,实数a取值的集合为{− }.
2 6
上述解答正确吗？若不正确,说明理由,并给出正确的解答;
(3)若函数 有两个极值点
f (x) x ,x ,证明:f (x )+f (x )>3+2ln2.
1 2 1 2
19.(17分)设函数 .
f (x)=ex
(1)设g(x)=f (x)−ax−1,讨论g(x)的单调区间;
(2)设曲线 在点 处的切线与x轴、y轴围成的三角形面积为 ,令 S ,求
y=f (x) (n,f (n))(n≥2,n∈N) S c = n
n n n2
4n
;
∑lnc
n
i=2
(3)若 ,f (ax)≥sinx−cosx+2,求实数a的取值范围.
5
