浙江省台州市 2024-2025 学年高二上学期期末质量评估数学试题
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1,2,3)在坐标平面xOy内射影的坐标为( )
A. (0,1,2) B. (1,0,3) C. (1,2,0) D. (0,0,0)
2.已知直线l的一般式方程为x-2y+6=0，则( )
x y x y
A. 直线l的截距式方程为 + =1 B. 直线l的截距式方程为 - =1
-6 3 6 3
1 1
C. 直线l的斜截式方程为y=- x+3 D. 直线l的斜截式方程为y= x-3
2 2
x2 y2
3.已知椭圆的标准方程为 + =1，下列说法正确的是( )
4 3
A. 椭圆的长轴长为2 B. 椭圆的焦点坐标为(√7,0)，(-√7,0)
C. 椭圆关于直线 对称 D. 当点 在椭圆上时，
y=x (x ,y ) |y |≤√3
0 0 0
4.设等比数列 的前 项和为 ，若S ，则S 的值为( )
{a }(n∈N* ) n S 3=3 4
n n a a
2 3
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家
的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄
具有前后两个觇孔(觇孔的中心分别记为点A，B)，运动员需要确保靶纸上的黑色圆心(记为点C)与这两个
3 4 89
觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点A(0, )，点B( , )，则点
2 5 50
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1 16C的坐标为( )
9 11
A. (10, ) B. (10,5) C. (10, ) D. (10,6)
2 2
6.在四面体 中， ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ， ⃗ ⃗ ，若直线 与平面
OABC OC ABC
OA⋅OB=OA⋅OC=OB⋅OC=0 |OA|=|OC|=2
所成角为30∘，则|⃗OB|=( )
A. 1 B. √2 C. √3 D. 2
7.已知等差数列 的首项为 ，公差为 ，前 项和为 ，数列 满足： ，则下列
{a }(n∈N* ) a √2 n S {b } nb =S
n 1 n n n n
说法正确的是( )
A. ∀a ∈R，数列{S }为递增数列
1 n
B. ∃a ∈R，使得数列{b }为递减数列
1 n
C. ∃a ∈R及正整数p，q，r(1<p<q<r)，使得a ，a ，a 成等比数列
1 p q r
D. ，数列 的最小项为
∀a ∈(-1,+∞) {a ⋅b } a ⋅b
1 n n 1 1
8.已知椭圆 x2 y2 的左右焦点分别为 ， ，点 是椭圆 上第一象限的一点，
E: + =1(0<b<√5) F F M(x ,y ) E
5 b2 1 2 0 0
的内心为 ，若 ，则椭圆 的方程为( )
△M F F N(x ,y ) x =√5x E
1 2 1 1 0 1
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2 16x2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
A. + y2=1 B. + =1 C. + =1 D. + =1
5 5 2 5 3 5 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于曲线 ，下列说法正确的是( )
Γ:Ax2+B y2=1(A,B∈R,A2+B2≠0)
A. 若A=B>0，则曲线Γ表示圆 B. 若AB=0，则曲线Γ表示抛物线
C. 若AB>0，则曲线Γ表示椭圆 D. 若AB<0，则曲线Γ表示双曲线
10.对于数列 ，若存在正整数 ，使得对于任意正整数 ，都有 ，则称数列 为周
{a }(n∈N* ) T n a =a {a }
n n+T n n
期数列.下列数列{a }中为周期数列的是( )
n
1+(-1) n 1
A. a = B. a =2，a =1-
n 2 1 n+1 a
n
{2a ,n是奇数,
C. a =2nsin nπ D. a =1 ， a = 1 n
n 2 1 n+1 ,n是偶数.
a
n
11.已知正方体ABCD-A B C D 的棱长为1，M为A D 的中点，N为D C 的中点，P为平面ACB 内
1 1 1 1 1 1 1 1 1
的动点，则( )
A. MC //平面ACB
1 1
B. 平面ADD A 与平面ACB 所成角的正切值为√2
1 1 1
π
C. 若MP与BD 所成角为 ，则点P的轨迹为圆
1 3
√2+√14
D. △MPN周长的最小值为
2
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线 y2 的离心率为 ，则 ．
x2- =1(b>0) √5 b=
b2
13.已知曲线x2+ y2=|x|+|y|，则该曲线的一条对称轴方程为 .(写出满足条件的一个方程即可)
14.用 表示两数 ， 中的较大者，记 ， ，若
max{a,b} a b c =max{3n-1,λ·2n-1 }(λ>0 n∈N❑ * )
n
c +c +c +c +c ≥60，则λ的取值范围是 ．
1 2 3 4 5
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3 16四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知直线 ，圆 ．
l:x- y+4=0 C:(x-a) 2+(y-2) 2=2
(1)若直线l把圆C分成面积相等的两部分，求实数a的值;
(2)若直线l与圆C相切，求实数a的值．
16.(本小题15分)
π ⃗ 1 ⃗
如图，在直三棱柱ABC-A B C 中，AB=AC=A A =3，∠BAC= ，BD= BA ．
1 1 1 1 3 3 1
用 ， ， 表示
(1) ⃗AB ⃗AC ⃗A A ⃗CD;
1
(2)求直线CD与直线AC 所成角的余弦值．
1
17.(本小题15分)
设函数 ， ，数列 ， 满足： ， ，
f(x)=2x-1 g(x)=4x2-2x-1 {a } {b }(n∈N* ) a =√3 b =-1
n n 1 1
f(a )+g(a )， g(b )-[f(b )] 2 ．
a2 = n n b = n n
n+1 2 n+1 2
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4 16(1)若a >0，求数列{a }的通项公式;
n n
求数列 的前 项和 ．
(2) {b (a2-1)}(n∈N* ) n S
n n n
18.(本小题17分)
1
动点M(x,y)到直线y=x与直线y=-x的距离之积为 ，记点M的轨迹为曲线E．
2
(1)求曲线E的方程;
3
(2)若点A(x ,y )为曲线E与抛物线y2=2px(0<p≤ )的一个公共点，点B(4 p,0)．
0 0 4
①求x 的取值范围;
0
②当y >0，且y ≠1时，求直线AB斜率的取值范围．
0 0
19.(本小题17分)
把n元有序实数组(a ,a ,⋯,a )称为n维向量，类似平面向量与空间向量，对于n维向量
1 2 n
⃗ ，⃗ ，也可定义两个向量的加法运算和减法运算
i=(a ,a ,⋯,a ) j=(b ,b ,⋯,b )
1 2 n 1 2 n
⃗ ⃗ 数乘运算 ⃗ ， 向量的长度 模
i± j=(a ±b ,a ±b ,⋯,a ±b ); λi=(λa ,λa ,⋯,λa ) λ∈R; (
1 1 2 2 n n 1 2 n
)|
⃗
i|=
√
∑
n
a i 2;
两个向量的数量积⃗
i⋅
⃗
j=|
⃗
i|·|
⃗
j|cos
⟨⃗
i,
⃗
j
⟩
=∑
n
a i b i (
⟨⃗
i,
⃗
j
⟩表示向量⃗
i
，⃗
j
的夹角，
i=1 i=1
n
|∑a b |
i i
⟨⃗ ⃗⟩ 向量⃗在向量⃗上的投影向量的模 i=1 .n维向量为我们解决数学问题提供了更为广
i, j ∈[0,π]); j i
√ n
∑a2
i
i=1
阔的思维空间．
已知⃗ ，⃗ ，求向量 ， 的夹角的余弦值
(1) m=(1,2,3,4,5) n=(1,1,1,1,1) ⃗m ⃗n ;
已知 维向量 ⃗ ， ⃗ ， ⃗ ， ⃗ ，
(2) 4 OA=(1,2,3,0) OB=(1,2,0,4) OC=(1,0,3,4) OD=(0,2,3,4)
O
⃗
P=aO
⃗
A+bO
⃗
B+cO
⃗
C+dO
⃗
D
，且 6a+7b+8c+9d=1 ，求 |⃗OP| 的最小值 ;
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5 16n
|∑a |
n i
(3)a∈R(i=1,2⋯,n) ，∑ia =0 ，求 i=1 的最大值 ( 用含 n 的式子表示 ) ．
i i √ n
i=1 ∑a2
i
i=1
n(n+1)(2n+1)
(注：12+22+⋯+n2=
)
6
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6 16答案和解析
1.C
【解析】
在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1,2,3)在坐标平面xOy的射影坐标是(1,2,0)．
故选：C．
2.A
【解析】
因为直线l的一般式方程为x-2y+6=0，
x y
所以直线l的截距式方程为 + =1，故A正确，B错误；
-6 3
1
直线l的斜截式方程为y= x+3，故C，D错误．
2
故选A．
3.D
【解析】
x2 y2
对于A、椭圆的标准方程为 + =1，
4 3
其中a=√4=2，b=√3，则其长轴长2a=4，故A错误；
x2 y2
对于B、椭圆的标准方程为 + =1，
4 3
其中 ， ，则 ，
a=2 b=√3 c=√a2-b2=1
则其焦点坐标为(1,0)、(-1,0)，故B错误；
x2 y2
对于C、椭圆的标准方程为 + =1，其中a=2，b=√3，
4 3
则其焦点在x轴上，关于直线y=x不对称，故C错误;
x2 y2
对于D、椭圆的标准方程为 + =1，其中a=2，b=√3，
4 3
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7 16则 的最大值为 ，则必有 ，故D正确．
y √3 |y |≤√3
0 0
故选：D．
4.D
【解析】
设等比数列{a }的公比为q，
n
当 时，满足S 3a ，则S 4a ，
q=1 3= 1=3 4= 1=4
a a a a
2 1 3 1
当 时，S a (1+q+q2) ，则 ，矛盾，
q≠1 3= 1 =3 q=1
a a q
2 1
综上，S 的值为 ．
4 4
a
3
故选：D．
5.B
【解析】
根据题意可设C(10,y)，
因为A，B，C三点共线，
则⃗AB=λ⃗AC，
即(4 7 ) ( 3) ( ( 3))，
, =λ 10,y- = 10λ,λ y-
5 25 2 2
4
{ 10λ= { 4
5 λ=
则 ⇒ 50 ,
( 3) 7
λ y- = y=5
2 25
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8 16则点C的坐标为(10,5)．
故选：B．
6.B
【解析】
由题可知OA⊥OB，OA⊥OC，OB⊥OC，
以O为原点，OA，OB，OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
设 ⃗ ，
|OB|=m(m>0)
则O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,m,0)，C(0,0,2)，
则 ⃗ ， ⃗ ，
AB=(-2,m,0) AC=(-2,0,2)
设平面ABC的法向量为⃗n=(x,y,z)，
{⃗ ⃗
由 n⋅AB=0，可得{-2x+my=0，
⃗ ⃗ -2x+2z=0
n⋅AC=0
令x=m，则y=2，z=m，
所以平面 的一个法向量为⃗ ，
ABC n=(m,2,m)
直线 的一个方向向量为 ，
OC ⃗OC=(0,0,2)
已知直线OC与平面ABC所成角为30∘，
⃗ ⃗
OC⋅n 1
则有sin30∘=| |= ，
⃗ ⃗ 2
|OC||n|
即1 |m| ，化简得： ，
= 2m2+4=4m2
2 √2m2+4
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9 16又因为 m>0 ，所以 m=√2 ，即|
O
⃗
B
|
=√2
．
故选：B．
7.C
【解析】
选项A，显然当 时， 为先减后增数列，故A错误；
a <-√2 {S }
1 n
n(n-1)
选项B，由题意，可得S =na + ×√2
n 1 2
√2 √2 √2 √2
=na + n2- n= n2+(a - )n，
1 2 2 2 1 2
S √2 √2
又nb =S ，可得b = n= n+a - ，
n n n n 2 1 2
√2 √2 √2 √2 √2
则b -b = (n+1)+(a - )-[ n+(a - )]= >0，
n+1 n 2 1 2 2 1 2 2
√2
所以数列{b }是公差为 的等差数列，且为递增数列，故B错误；
n 2
选项C，假设 ， ， 成等比数列，则 ，
a a a a2=a a
p q r q p r
因为 ，
a =a +√2(n-1)
n 1
所以有 ，
[a +√2(q-1)] 2=[a +√2(p-1)][a +√2(r-1)]
1 1 1
可得： ，
2√2a (q-1)-√2a [(p-1)+(r-1)]=2(p-1)(r-1)-2(q-1) 2
1 1
整理可得 2[(p-1)(r-1)-(q-1) 2 ]，可知 不恒为 ，
a = 2q-p-r 0
1 √2(2q-p-r)
因此∃a ∈R及正整数p，q，r(1<p<q<r)，
1
使得a ，a ，a 成等比数列，故C正确；
p q r
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10 16√2 √2 √2
选项D，a =a +√2(n-1)，b = n+a - = (n-1)+a ，
n 1 n 2 1 2 2 1
√2 3√2
则a ⋅b =(a +√2(n-1))( (n-1)+a )=(n-1) 2+ (n-1)a +a2
n n 1 2 1 2 1 1
3√2a 3√2a ，
=n2+( 1-2)n+1+a 2- 1
2 1 2
3√2a 3√2a 可看成关于 的二次函数，
y=n2+( 1-2)n+1+a 2- 1 n
2 1 2
3√2
2- a
图象开口向上，对称轴 2 1 3√2 ，
n= =1- a
2 4 1
4
因此当a =- 时，对称轴n=2，此时{a ⋅b }的最小项为a ⋅b ，
1 3√2 n n 2 2
4
而- >-1，故D错误．
3√2
故选：C．
8.D
【解析】
如图所示：设内切圆的切点分别为P，Q，R，
则|MP|=|MQ|,|RF |=|PF |,|RF |=|QF |，
1 1 2 2
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11 16得|M F |-|M F |=|RF |-|RF |=x +c-(c-x )=2x ，
1 2 1 2 1 1 1
|M F | c |M F | c
1 = , 2 =
由椭圆的焦半径公式得 a2 a a2 a，
x + -x
0 c c 0
c c
得|M F |= x +a,|M F |=a- x ，
1 a 0 2 a 0
(c ) ( c ) 2c
则|M F |-|M F |= x +a - a- x = x ，
1 2 a 0 a 0 a 0
2c
得 x =2x ，
a 0 1
2c
又因为x =√5x ，所以 ·√5x =2x ，
0 1 a 1 1
而a=√5，得c=1，
即b2=a2-c2=5-1=4，
x2 y2
故椭圆E的方程为 + =1．
5 4
故选：D．
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12 169.AD
【解析】
1
对于A、若A=B>0，则方程可化为x2+ y2= ，
A
√ 1
表示以(0,0)为圆心， 为半径的圆，故A正确；
A
对于B、若AB=0，取A=0，B=1，
则方程可化为y2=1，不表示抛物线，故B错误；
对于C、若AB>0，取A=B=-1，
则方程可化为-x2- y2=1，不表示椭圆，故C错误；
x2 y2
+ =1
对于D、若AB<0，则方程可化为 1 1 ，表示双曲线，故D正确．
A B
故选：AD．
10.ABD
【解析】
1+(-1) n 1+(-1) n+2 1+(-1) n
对于A，a = ，a = = =a ，
n 2 n+2 2 2 n
从而数列{a }是周期为2的周期数列，故A正确；
n
1 1 -1 -1
a =1- =1- = = =a
对于B， n+1 a 1 a -1 1 n-2，
n 1- n-1 1- -1
a a
n-1 n-2
从而数列{a }是周期为3的周期数列，故B正确；
n
对于C，当n为偶数时，a =0，满足a =a ，
n n n+2
当
n
为奇数时，
|a |=2n
，从而不存在正整数
T
，使得
a =a
，故C错误；
n n+T n
对于D，①当n为奇数时，a =2a ，
n+1 n
1 1 1 1
则a = = ，a =2a = ，a = =a ，
n+2 a 2a n+3 n+2 a n+4 a n
n+1 n n n+3
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13 16当 为偶数时， 1 ， 2 ， 1 a ， ，
② n a = a =2a = a = = n a =2a =a
n+1 a n+2 n+1 a n+3 a 2 n+4 n+3 n
n n n+2
由①②得数列{a }是周期为4的周期数列，故D正确．
n
故选：ABD．
11.BCD
【解析】
对于A项，如图
连接A C ，显然四边形ACC A 为平行四边形，
1 1 1 1
则A C //AC，而AC⊂平面ACB ，A C ⊄平面ACB ，
1 1 1 1 1 1
所以A C //平面ACB ，
1 1 1
而A C ∩MC =C ，
1 1 1 1
故MC 不会与平面ACB 平行，故A错误；
1 1
对于B项，因为平面ADD A //平面BCC B ，
1 1 1 1
所以平面ADD A 与平面ACB 所成角即为平面BCC B 与平面ACB 所成角，
1 1 1 1 1 1
连接BC 交B C于点Q，连接AQ，如图所示，
1 1
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14 16得AQ⊥B C,BQ⊥B C，
1 1
则∠AQB即为平面BCC B 与平面ACB 所成角的平面角(或其补角)，
1 1 1
AB 1
tan∠AQB= = =√2
在Rt△ABQ中，则 BQ √2 ，故B正确；
2
对于C项，连接BD ，
1
以D为原点，DA，DC，DD 所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
1
则A(1,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，B (1,1,1),D (0,0,1)，
1 1
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15 16⃗ ⃗ ⃗
则BD =(-1,-1,1),AC=(-1,1,0),AB =(0,1,1)，
1 1
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
得BD ·AC=0,BD ·AB =0，
1 1 1
则BD ⊥AC,BD ⊥AB ，
1 1 1
而AC∩AB =A,AC,AB ⊂平面ACB ，
1 1 1
得BD ⊥平面ACB ，
1 1
连接A B交AB 于点H，连接MH，则MH//BD ，
1 1 1
π
得MH⊥平面ACB ，且MP与BD 所成角为 ，
1 1 3
π
即MP与MH所成角为 ，
3
1 √3 3
MH= BD = ，则PH=MH·tan60°= ，
2 1 2 2
3
故点P的轨迹是以点H为圆心，半径为 的一个圆，故C正确;
2
对于D项，
延长MH交CB的延长线与点M'，
显然四边形MM'BD 为平行四边形，则△A HM≌△BHM'，
1 1
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16 16得点H为MM'的中点，如图所示：
由于MH⊥平面ACB ，
1
则点M关于平面ACB 的对称点为M'，
1
连接M'N，交平面ACB 于点P，连接PM，MN，
1
此时△MPN周长的最小，
√2
其最小值为M'N+MN=√M'C2+CN2+
2
= √ ( 1+ 1) 2 +12+ (1) 2 + √2 = √2+√14 ，故D正确．
2 2 2 2
故选：BCD．
12.2
【解析】
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17 16由双曲线方程可知 a=1,又离心率为√5，
可得 c2 a2+b2，
e2= =
a2 a2
代入可得 b2=4，
则 b=2．
故答案为：2．
13.x=0(答案不唯一，y=-x，y=x，y=0均可)
【解析】
因为曲线x2+ y2=|x|+|y|，
则 也成立，
(-x) 2+ y2=|-x|+|y|
故若点(x,y)在曲线x2+ y2=|x|+|y|上，(-x,y)也在曲线上，
故该曲线的一条对称轴方程为x=0．
故答案为：x=0(答案不唯一，y=-x，y=x，y=0均可)．
15
14.[ ,+∞)
8
【解析】
1 1
由题意可知：c =max{2,λ}= max{16,8λ}，c =max{5,2λ}= max{20,8λ}，
1 8 2 4
1
c =max{8,4λ}= max{16,8λ}，c =max{11,8λ}，c =max{14,16λ}=2max{7,8λ}，
3 2 4 5
7
当0<8λ⩽7，即0<λ⩽ 时，
8
c +c +c +c +c =2+5+8+11+14=40<60，
1 2 3 4 5
不满足题意；
7 11
当7<8λ⩽11，即 <λ⩽ 时，
8 8
c +c +c +c +c =2+5+8+11+16λ⩾60，
1 2 3 4 5
13
解得λ⩾ ，则λ∈⌀；
8
第 页，共 页
18 1611 16
当11<8λ⩽16，即 <λ⩽ 时，
8 8
c +c +c +c +c =2+5+8+8λ+16λ⩾60，
1 2 3 4 5
15 15 16
解得λ⩾ ，所以 ⩽λ⩽ ；
8 8 8
16 20
当16<8λ⩽20，即 <λ⩽ 时，
8 8
c +c +c +c +c =λ+5+4λ+8λ+16λ⩾60，
1 2 3 4 5
55 55 20
解得λ⩾ ，所以 ⩽λ⩽ ；
29 29 8
20
当8λ>20，即λ> 时，
8
20
c +c +c +c +c =λ+2λ+4λ+8λ+16λ=31λ>31× >62>60，满足条件．
1 2 3 4 5 8
15
综上，λ的取值范围是[ ,+∞).
8
15
故答案为：[ ,+∞).
8
15.解：(1)由题意得，圆心(a,2)在直线l上，即a+2=0，即a=-2；
(2)圆C的半径为√2，
|a+2|
圆心到直线l的距离d= =√2，
√2
解得a=0或a=-4．
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 1 ⃗
16.解：(1)CD=CB+BD=CB+ BA
3 1
⃗ ⃗ 1 ⃗ ⃗
=AB-AC+ (A A -AB)
3 1
2 ⃗ ⃗ 1 ⃗
= AB-AC+ A A ；
3 3 1
(2)设直线CD与直线AC 所成角为θ，
1
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19 16| ⃗ | 2 ⃗ ⃗ 1 ⃗
且 CD =| AB-AC+ A A |
3 3 1
√ 2 ⃗ ⃗ 1 ⃗ √4 ⃗ ⃗ 1 ⃗ 4 ⃗ ⃗ 4 ⃗ ⃗ 2 ⃗ ⃗
= ( AB-AC+ A A ) 2= AB2+AC2+ A A 2- AB·AC+ AB·A A - AC·A A
3 3 1 9 9 1 3 9 1 3 1
=2√2，
⃗ ，
|AC |=3√2
1
⃗ ⃗ 2 ⃗ ⃗ 1 ⃗ ⃗ ⃗
CD⋅AC =( AB-AC+ A A )⋅(AC+A A )=-3，
1 3 3 1 1
⃗ ⃗
所以 CD·AC 1，
cosθ=| 1 |=
⃗ ⃗ 4
|CD||AC |
1
1
所以直线CD与直线AC 所成角的余弦值为 ．
1 4
17.解： 2a -1+4a2-2a -1 ，
(1)a2 = n n n =2a2-1
n+1 2 n
得 ，又 ，
a2 -1=2(a2-1) a2-1=2
n+1 n 1
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
{a2-1} 2 2
n
所以 ，
a2-1=2×2n-1
n
则 ，
a2=2n+1
n
因为 ，所以 的通项公式为
a >0 {a } a =√2n+1;
n n n
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20 16g(b )-[f(b )] 2 ，
(2)b = n n =b -1
n+1 2 n
所以数列{b }是以-1为首项，-1为公差的等差数列，
n
b =-1+(n-1)×(-1)=-n，
n
，
b (a2-1)=-n⋅2n
n n
，
S =-1×2-2×22-3×23-···-n×2n
n
，
2S =-1×22-2×23-3×24-···-n×2n+1
n
两式相减得 ，
-S =-2-22-23-···-2n+n×2n+1
n
所以 ，
S =2+22+23+⋯+2n-n×2n+1=(1-n)⋅2n+1-2
n
故 ．
S =(1-n)⋅2n+1-2
n
|x- y| |x+ y| 1
18.解：(1)由题意得 ． = ，
√2 √2 2
化简得|x2- y2|=1，故曲线E的方程为：x2- y2=1或y2-x2=1；
由 可知， 或 ，
(2)① (1) x2- y2=1 y2-x2=1
0 0 0 0
{y2-x2=1 x2+1
当 y2-x2=1 时，由 0 0 ,得 p= 0 ，
0 0 y2=2px 2x
0 0 0
3
因为p≤ 时，x 无解(舍去);
4 0
{x2- y2=1 x2-1
当 x2- y2=1 时，由 0 0 ,得 p= 0 ，
0 0 y2=2px 2x
0 0 0
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21 163
由0<p≤ ，得1<x ≤2，
4 0
故x 的取值范围为(1,2]；
0
y √x2-1 √x2 (x2-1)
k = 0 = 0 = 0 0 (x ≠√2)
② 直线 AB 的斜率 AB x -4 p x2-1 2-x2 0 ，
0 x -4 0 0
0 2x
0
√(2-t)(1-t)
令t=2-x2，则t∈[-2,0)U(0,1)，所以k = ，
0 AB t
√ 1 1
当t∈(0,1)时，k = 2( ) 2-3( )+1>0，
AB t t
√ 1 1
当t∈[-2,0)时，k =- 2( ) 2-3( )+1≤-√3，
AB t t
所以直线AB的斜率取值范围为(-∞,-√3]⋃(0，+∞).
19.解： ⃗ ⃗ ，
(1)m⋅n=1+2+3+4+5=15
⃗ ， ⃗ ，
|m|=√12+22+32+42+52=√55 |n|=√5
⃗ ⃗
⟨⃗ ⃗⟩ m·n 15 3√11
所以cos m,n = = = ，
|⃗| ⃗ √55×√5 11
m ·|n|
3√11
所以向量⃗m，⃗n的夹角的余弦值为 ;
11
由 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
(2)
OP=aOA+bOB+cOC+dOD
=(a+b+c,2a+2b+2d,3a+3c+3d,4b+4c+4d);
设⃗ ，
k=(1,1,1,1)
则有⃗ ⃗ ，
k⋅OP=(a+b+c)+(2a+2b+2d)+(3a+3c+3d)+(4b+4c+4d)=6a+7b+8c+9d=1
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22 16由⃗ ⃗ |⃗| | ⃗ | ⟨⃗ ⃗ ⟩ |⃗| | ⃗ |，
k⋅OP= k ⋅OP cos k,OP ⩽ k ⋅OP
得 ⃗ ，
2|OP|≥1
1
故|⃗OP|的最小值为 ；
2
1 13 7 -11
当且仅当a= ，b= ，c= ，d= 时取等；
9 144 144 144
解法 设⃗ ，⃗ ，⃗ ，
(3) 1: n =(a ,a ,···,a ) n =(1,1,···,1) n =(1,2,···,n)
1 1 2 n 2 3
n
|∑a | |⃗ ⃗|
i n ·n
i=1 = 1 2 ，表示向量 ⃗n 在 ⃗n 上投影向量的模．
√ n ⃗ 2 1
∑a2 |n
1
|
i
i=1
下求该投影向量模的最大值，
设以⃗为法向量的“平面”为 ，
α
n
3
因为 n ⃗ ⋅n ⃗ =0 ，所以 ⃗n 1 在“平面” α 内，
3 1
设⃗n 与“平面”α夹角为θ，
2
向量⃗n
2
在⃗n
1
上投影向量模的最大值为⃗n
2
在“平面”α投影|
n
⃗|
cosθ
，
2
⃗ ⃗
⟨⃗ ⃗ ⟩ n ·n
故 sinθ=|cos n ,n |= 2 3
2 3 |⃗||⃗|
n · n
2 3
1+2+···+n √6√ n+1 ，
= =
√12+12+···+12-√12+22+···+n2 2 2n+1
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23 163n+3 n-1
cos2θ=1- = ，
4n+2 4n+2
所以|⃗| √ n-1 √n(n-1)，
n cosθ=√n =
2 4n+2 4n+2
n
|∑a |
i
故 i=1 的最大值为√n(n-1)，
√ n 4n+2
∑a2
i
i=1
n n n
解法 因为 ，所以 对任意 恒成立，
2: ∑ia =0 ∑a =∑(1-ci)a c∈R
i i i
i=1 i=1 i=1
3
取c= ，
2n+1
由 n n √ n √ n ，
|∑a |=|∑(1-ci)a |≤ ∑(1-ci) 2 ⋅ ∑a2
i i i
i=1 i=1 i=1 i=1
n
|∑a |
1 √ n √ n(n+1) [n(n+1)(n+1)] √n(n-1)
得 i=1 ≤ ∑(1-ci) 2= n-2c +c2 = ，
√ n i=1 2 6 4n+2
∑a2
2
i=1
3
当且仅当a =1- i时取等号，
i 2n+1
n
∑a
1
故 i=1 的最大值为√n(n-1)．
√ n 4n+2
∑a2
i
i=1
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24 16
